Типовые задачи по предмету «высшая математика» для студентов экономических специальностей

I семестр

1. Вычислить определитель .

2. Определить ранг матрицы .

3. Вычислить если,.

4. Найти , если.

5. Решить систему

6. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и.

7. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и.

8. Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.

9. Определить ранг системы векторов ,,.

10. Показать, что векторы ,,образуют базис. Найти разложение векторапо этому базису.

11. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами ,,,.

12. Найти вектор, дополняющий следующую систему до ортонормированного базиса: ,.

13. Даны точки и. Найти точку, которая в два раза ближе к, чем к.

14. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси отрезоки образующей с осьюугол.

15. Две прямые заданы уравнениями и. Найти угол между этими прямыми.

16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых ии перпендикулярной прямой.

17. Даны вершины A(-2; 4), B(3; 1), C(10; 7) треугольника. Найти точку пересечения медиан.

18. Дан треугольник A(-2; 4), B(3; 1), C(10; 7). Найти длину высоты AD.

19. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(-2; 4), B(3; 1), C(10; 7)

20. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(2;1;-4), В(1;3;5), С(7;2;3), D(8;0;-6) есть параллелограмм. Найти длины его сторон.

21. Даны вершины четырехугольника А(1;2;3), В(7;3;2), С(-3;0;6), D(9;2;4). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

22. Можно ли провести плоскость через 4 точки А(4;4;8), В(1;-1;0), С(1;3;5), D(2;-5;7)? Ответ обосновать.

23. Можно ли провести плоскость через 2 прямые, заданные уравнениями и? Ответ обосновать.

24. На оси OX найти точку, равноудаленную от точек А(1;2;3) и В(5;4;-5).

25. Даны две плоскости и. Найти угол между ними.

26. Найти расстояние между параллельными плоскостями: и.

27. Найти угол между плоскостями, проходящими через точку , одна из которых содержит осьOy, другая – ось Oz.

28. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и точку .

29. Написать канонические уравнения прямой

30. Найти угол между прямыми: и

31. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости.

32. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

33. Найти расстояние между параллельными прямыми: ,.

34. Уравнение линии второго порядка привести к простейшему виду. Определить вид и расположение этой линии.

35. Уравнение линии второго порядка привести к простейшему виду. Определить вид и расположение этой линии.

36. Вычислить

37. Вычислить

38. Вычислить

39. Вычислить

40. Вычислить

41. Вычислить

42. Вычислить .

43. Сравнить порядок бесконечно малых функций ипри.

44. Как следует вабрать число , чтобы функция была непрерывна в точке ? Построить график функции .

45. Установить в каких точках и какого рода разрывы имеет функция, и построить ее график:

46. Доказать, что функции ,,эквивалентны в окрестности точки.

47. Вычислить производную функции

48. Вычислить производную функции

49. Вычислить производную функции

50. Вычислить производную функции , заданную неявно .

51. Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с помощью производных высших порядков:

52. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

53. Составить уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой :

54. Составить уравнение касательной к данной кривой в точке с абсциссой :

55. Найти дифференциал функции

56. Найти асимптоты и построить схематично график функции

57. Найти асимптоты и построить схематично график функции

58. Найти асимптоты и построить схематично график функции

59. Вычислить производную третьего порядка функции

60. Найти экстремумы функции .

61. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой .

62. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой .

63. Определить промежутки монотонности функции .

64. Вычислить неопределенный интеграл

65. Вычислить неопределенный интеграл

66. Вычислить неопределенный интеграл

67. Вычислить неопределенный интеграл

68. Вычислить неопределенный интеграл