Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Е. Б. Павельева, В. Я. Томашпольский

Линейная алгебра

Методические указания к выполнению типового расчета

Для студентов всех специальностей

УДК: 512.64

Москва

2010

Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

Оглавление

Введение……………………………………………………………………….. 2 Глава I. Линейное пространство………………………………........................ 2

1.1.Определение и примеры линейных пространств………………............ 2

1.2.Линейная зависимость…………………………………………………... 4

1.3.Базис и размерность линейного пространства…………………............ 7

1.4.Матрица перехода от старого базиса к новому базису.

Преобразование координат вектора при переходе к новому базису…	11
1.5. Линейное подпространство……………………………………………..	16
Глава II. Евклидово пространство…………………………………………….	19
2.1. Определение и примеры евклидовых пространств……………………	19

2.2.Определение и примеры нормированных пространств………………. 21

2.3.Ортогональные и ортонормированные базисы конечномерного

евклидова пространства. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.. 24

Глава III. Линейные операторы………………………………………………. 28

3.1.Определение и примеры линейных операторов. Матрица линейного оператора………………………………………………………………… 28

3.2.Действия над линейными операторами………………………………... 32

3.3.Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к

новому базису……………………………………………………………. 34 3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 35 3.5. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду…. 39 Глава IV. Линейные операторы в евклидовых пространствах……………... 44

4.1.Сопряженные и самосопряженные операторы и их матрицы в ортонормированном базисе. Свойства собственных значений и

собственных векторов самосопряженного оператора………………… 44

4.2.Ортогональные операторы и ортогональные матрицы……………….. 45

4.3.Приведение симметрической матрицы ортогональным

преобразованием к диагональному виду………………………………. 47

Глава V. Квадратичные формы………………………………………………. 51

5.1.Определение квадратичной формы, матрица квадратичной формы, преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису……………………………………………………………. 51

5.2.Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм…………………………………………… 54

5.3.Знакоопределенные квадратичные формы……………………………. 59 Глава VI. Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка

к каноническому виду………………………………………………………… 62

Глава VII. Разбор типового расчета по линейной алгебре………………….. 70

Список литературы …………………………………………………………… 77

1