Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Modul-5_ppi

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
14.02.2016
Размер:
718.84 Кб
Скачать

ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

Изгиб – это деформация, при которой происходит искривление прямых осей стержней или изменение кривизны кривых брусьев.

Стержни, работающие на изгиб, называют балками. Рассматриваем изгиб балок, сечения которых имеют хотя бы одну ось симметрии.

При деформации изгиба часть продольных волокон балки будет сжиматься, а часть – растягиваться. Между этими волокнами располагаются нейтральные волокна, которые не растягиваются и не сжимаются, а только искривляются.

Плоский поперечный изгиб (ППИ) реализуется при приложении всех сил в плоскости симметрии балки, причем все силы должны быть перпендикулярны к оси.

При ППИ деформация балки (искривление ее оси) будет происходить в плоскости, которая называется плоскостью деформаций.

Плоскость, в которой приложена нагрузка, называется силовой плоскостью. При ППИ все три плоскости (симметрии, силовая и деформаций) совпадают.

Таким образом, балка при ППИ представляет собой плоскую систему. Поэтому в дальнейшем балку нагрузку и опоры будем изображать в плоскости, заменяя балку ее осью.

Типы опор

Для обеспечения равновесия плоской системы, в частности, балки при ППИ на нее необходимо наложить три связи в направлении ее свобод (ограничить линейные перемещения в двух взаимно перпендикулярных направлениях: вверх-вниз, влево-вправо, а также поворот). Это осуществляется при помощи опорных устройств.

Различают следующие типы опор: 1. Шарнирно подвижная опора

1

Такая опора накладывает на перемещение опорного сечения одно ограничение (одну связь). В направлении связи возникает опорная реакция RК.

2. Шарнирно неподвижная опора

Накладывает две связи. Возникают две опорные реакции RА и HК.

3. Защемление (жесткая заделка)

Накладывает три ограничения. Возникают три опорные реакции RК, HК и

МЗ.

Типы балок

В зависимости от типа опор и их расстановки различают следующие типы балок:

1.Шарнирно (свободно) опертая или простая балка

2.Шарнирно опертая балка с консолями

3.Защемленная балка (консоль)

2

На этих рисунках обозначено: l – пролет балки (расстояние между центрами шарниров); a и b – вылет консоли.

Балки, реакции опор которых можно определить при помощи только уравнений статики, называются статически определимыми (СО балки). Число связей у СО балок n=3. Приведенные выше 5 типов балок являются СО.

Если число связей n 3, реакции опор из уравнений статики определить невозможно. Балка в этом случае является статически неопределимой (СН балкой). Пример СН балки

В дальнейшем будем рассматривать СО балки.

Внутренние силовые факторы при ППИ Понятие об изгибающем моменте и поперечной силе

Простая балка КВ находится в состоянии ППИ. Определим внутренние усилия, возникающие в произвольном сечении балки, расположенном на расстоянии х от левой опоры.

Используем систему координат: ось х – вдоль оси балки; ось у – в плоскости симметрии балки, вниз; ось z – перпендикулярно плоскости симметрии.

Поскольку в случае использования метода сечений система внешних сил должна быть полной, перед определением внутренних усилий необходимо определить реакции опор. С этой целью используем систему уравнений

равновесия для плоской системы. Из уравнения X 0 получим HK 0.

Заметим, что опорная реакция, направленная вдоль оси стержня, при ППИ не возникает, что обусловлено отсутствием у рассматриваемой деформации составляющих активной внешней нагрузки, действующих вдоль оси х.

Вертикальные реакции определяем из уравнений равновесия для моментов внешних сил

M B 0 RK ; M K 0 RB .

Уравнение Y 0 используем для проверки правильности определения опорных реакций.

3

Для определения внутренних усилий применяем метод сечений.

В сечении действует плоская система распределенных сил с интенсивностью и . Равнодействующими этих сил могут быть только три внутренних усилия: нормальная (продольная) сила – N, поперечная (перерезывающая) сила – Qy, изгибающий момент – Mz. Поскольку при ППИ составляющие внешних сил вдоль оси х отсутствуют, отсутствует также в сечении балки нормальная сила (N = 0).

Таким образом, при ППИ в сечении балки возникают Q и M (здесь и далее при исследовании ППИ индексы у внутренних усилий будем упускать).

Очевидно, что:

поперечная сила Q является равнодействующей касательных напряжений, действующих в сечении в направлении у;

изгибающий момент M является равнодействующей, нормальных напряжений относительно оси, лежащей в плоскости сечения и перпендикулярной плоскости симметрии балки.

Примем для Q и M следующее правило знаков:

- поперечная сила Q – положительна, если стремится развернуть ближайший к ней элемент по ходу часовой стрелки;

изгибающий момент M – положителен, если приводит к сжатию верхних волокон балки.

Определим внутренние силы Q и M в произвольном сечении на расстоянии х от левой опоры. Для этого выделим, согласно методу сечений, левую часть балки, заменив отброшенную часть положительными усилиями Q и M.

Для определения поперечной силы Q запишем условие равновесия отсеченной левой части балки для сил

Y RК F Q 0 .

4

Из этого уравнения получим

Q RК F .

Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой алгебраическую сумму всех внешних сил, расположенных слева от сечения. На основании этого можно записать

л ев

Q Fв неш .

Заметим, что в эту сумму со знаком «+» входит внешняя сила RК, а со знаком «-» – сила F. Поскольку внутреннее усилие Q на расчетной схеме положительно, можно установить на основе знаков для RК и F правило знаков

л ев

для внешней силы, входящей в сумму Fв неш : знак внешней силы

положительный, если сила стремится повернуть рассматриваемый элемент балки относительно сечения по ходу часовой стрелки.

Очевидно, что аналогичный результат получим, рассматривая

правую

 

 

 

 

прав

 

часть балки (естественно, что в этом случае в сумму

Fв неш

войдет

равнодействующая распределенной нагрузки).

 

 

Таким образом, можно записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л ев

прав

 

 

 

 

Q Fв нешн Fв нешн

,

 

(1)

т.е. поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, причем внешняя сила считается положительной, если стремится повернуть рассматриваемый элемент балки относительно сечения по ходу часовой стрелки.

Для определения изгибающего момента в сечении M запишем для левой части балки уравнение равновесия моментов относительно сечения (точки С)

MC RK x F x a M 0 ,

откуда получим

M RK x F x a .

Правая часть уравнения представляет собой алгебраическую сумму моментов всех внешних сил, расположенных слева от сечения, т.е.

л ев

M M силв нешних.

При положительном изгибающем моменте M формулы со знаком «+» вошел момент от способствует сжатию верхних волокон балки

в правую часть полученной внешней силы RК, который (момент от силы F верхние

5

волокна растягивает). Отсюда вытекает правило знака для момента внешней силы: момент от внешней силы положителен, если приводит к сжатию верхних волокон балки.

Аналогичный результат получим, рассматривая правую часть балки. В

прав

этом случае, наряду с моментом от силы RB, в сумму M M силв нешних войдет

сосредоточенный внешний момент Mi, а также момент от распределенной нагрузки.

Исходя из вышеизложенного, запишем

л ев

прав

 

M M силв нешних M силв нешних,

(2)

т.е. изгибающий момент в сечении равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения относительно сечения, причем момент от внешней силы считается положительным, если вызывает сжатие верхних волокон балки.

Дифференциальные соотношения между q, Q и M (теоремы Д.И.Журавского)

Простая балка КВ находится в состоянии ППИ. Выделим на участке действия распределенной нагрузки, интенсивность которой q = q(х), элемент длиной dx и рассмотрим его равновесие под действием внешней нагрузки и внутренних усилий. Внутренние силы задаем положительными. Из-за малости длины элемента полагаем, что по его длине нагрузка распределена равномерно (q=const). Заметим, что, поскольку при переходе от левого сечения элемента к правому независимая переменная х получила бесконечно малое приращение dx, изгибающий момент M и поперечная сила Q, как функции, также получат малые приращения dM и dQ.

Условие равновесия для сил, действующих на элемент балки, имеет вид

Y Q qdx (Q dQ) 0 , откуда qdx dQ , либо в другой форме

 

dQ

q(x)

,

(I)

 

dx

 

 

 

 

т.е. производная от поперечной силы равна интенсивности распределенной нагрузки с обратным знаком. Эту формулу называют первым

6

дифференциальным соотношением теории изгиба балок либо первой теоремой Журавского.

Запишем уравнение равновесия для моментов относительно центра тяжести левого сечения (точки С)

MC M qdx dx2 (Q dQ)dx (M dM ) 0 ,

откуда, приводя подобные члены и отбрасывая член второго порядка малости, будем иметь

Qdx dM 0 .

Из этого уравнения получим второе дифференциальное соотношение Журавского, согласно которому производная от изгибающего момента в сечении равна поперечной силе в этом сечении

 

dM

Q

.

(II)

 

dx

 

 

 

 

Подстановка (II) в (I) даст третье дифференциальное соотношение Журавского: вторая производная от изгибающего момента в сечении равна интенсивности поперечной нагрузки в этом сечении (с обратным знаком)

dM 2

 

dx2 q(x) .

(III)

Некоторые замечания Можно утверждать следующее:

1)max│ │ отмечается в сечениях, в которых M = max│M│;

2)max│ │ отмечается в сечениях, в которых Q = max│Q│.

Сечения, в которых M = max│M│ либо Q = max│Q│, называются опасными. С целью отыскания положения опасных сечений строятся эпюры Q и M – графические изображения распределения Q и M по длине балки.

При построении эпюр широко используются полученные выше дифференциальные соотношения Журавского.

Построение эпюр Q и M Последовательность построения эпюр

1.Определяются опорные реакции (в случае консольной балки реакции в заделке можно не определять, при этом построение эпюр следует начинать со свободного края).

2.Балка разделяется на участки. Участок балки характеризуется единственностью формы записи аналитических выражений для Q=Q(х) и M=М(х). Границами участка являются сечения:

- концевые и опорные;

7

-в которых приложены сосредоточенные силы либо моменты;

-в которых начинаются (заканчиваются) распределенные нагрузки.

3. На каждом участке в произвольном сечении записываются аналитические выражения для Q и M в форме

Qi=Qi(хi);

Mi=Мi(хi).

4. Определяются значения Q и M в характерных сечениях (на границах участков, а также в сечениях экстремумов Q и M).

5.На базах, параллельных оси балки, по значениям на границах участков

изначениям экстремумов, с учетом аналитических выражений для Q и M строятся огибающие эпюр Q и M. Положительные значения Q откладываются от базы вверх, отрицательные – вниз. Положительные значения М откладываются от базы вниз, отрицательные – вверх, т.е. эпюра моментов строится со стороны растянутых волокон. Эпюры штрихуются перпендикулярно к базе. На эпюрах Q ставится знак, на эпюрах M знак не ставится. Длина каждой линии штриховки с учетом масштаба равна величине внутреннего усилия в соответствующем сечении балки.

При построении эпюр необходимо соблюдать горизонтальный и вертикальный масштабы. Поэтому расчетная схема балки должна изображаться в масштабе (это обеспечит горизонтальный масштаб эпюр).

Общие правила построения эпюр, вытекающие из соотношений Д.И.Журавского

(доказательства см. в конспекте)

1.Если на участке балки q = 0, то Q = const (прямая, параллельная к базе),

аM будет изменяться по линейному закону (прямая, наклонная к базе).

2.Если на участке балки действует q = q0 = const, то Q изменяется на участке по линейному закону, а М – по закону квадратной параболы;

3.Если на участке балки Q плавно меняет знак, то на этом участке будет отмечаться экстремум для М. Причем экстремальное значение М достигается в сечении, где Q = 0.

Рис. к пунктам 2, 3, 4

8

4.Если Q > 0, то, при рассмотрении балки слева направо, M, в алгебраическом смысле, возрастает (эпюра M уходит вниз), если Q < 0, M убывает (эпюра М уходит вверх). Отсюда следует, что при смене знака Q на участке с (+) на (–) изгибающий момент M в алгебраическом смысле достигает максимального значения; при смене знака с (–) на (+) изгибающий момент достигает минимального значения.

5.Внешняя сосредоточенная сила в сечении на эпюре Q отражается в виде скачка на величину силы, в соответствии с ее направлением, а на эпюре М

ввиде излома с острием, направленным в сторону действия силы.

6.Сосредоточенный внешний изгибающий момент на эпюре Q не отражается, а на эпюре М отражается в виде скачка на величину момента, в соответствии с его направлением.

7.Начало (конец) распределенной нагрузки на эпюре Q отражается виде излома, а на эпюре М в виде плавного перехода от прямой к кривой (и наоборот).

8.Выпуклость кривой, ограничивающей эпюру М, направлена в соответствии с направлениями действия распределении нагрузки.

9.Если концевые сечения балки свободны от внешней активной или реактивной нагрузки, то Q и М в этих сечениях равны нулю. При наличии внешней активной нагрузки или реакции Q и М в этих сечениях должны соответствовать их величине.

Рис. к пунктам 5 и 6

Рис. к пунктам 7 и 8

Пункты с 4 по 9 справедливы только для принятого правила знаков для Q и M при построении эпюр слева направо.

Чистый плоский изгиб. Формула для

Чистый плоский изгиб такой случай плоского изгиба, когда на участке балки Q = 0, а M = const (при отсутствии нагрузки в виде распределенного по длине момента).

Построим для простой балки КВ эпюры Q и M (см. рис. ниже). Анализ эпюр показывает, что второй участок балки находится в состоянии чистого

9

изгиба (Q=0; M=const). Очевидно, что в сечениях балки на этом участке будут возникать только нормальные напряжения ( = 0).

Определим нормальные напряжения , действующие в сечениях участка чистого изгиба балки.

Напомним, что задача определения напряжений является внутренне статически неопределимой. Поэтому для ее решения необходимо привлекать соображения, связанные с деформацией балки. Эти соображения отражаются гипотезами и допущениями, которые использует сопротивление материалов при построении расчетных моделей. В частности, для определения деформаций и нормальных напряжений при чистом изгибе балки используем следующие гипотезы и допущения:

1)гипотезу плоских сечений Я.Бернулли: сечения плоские и перпендикулярные к оси балки до деформации остаются плоскими и перпендикулярными к оси после деформации;

2)продольные волокна балки не надавливают друг на друга;

3)материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль Юнга Е одинаков при растяжении и сжатии.

Рассмотрим вначале геометрическую сторону задачи. Предварительно введем ряд новых понятий, связанных с особенностями деформации при изгибе балок:

-нейтральное волокно – волокно балки, которое не испытывает продольные деформации при изгибе, а только искривляется;

-нейтральный слой – совокупность нейтральных волокон по ширине балки;

-нейтральная ось (н.о.) – линия пересечения нейтрального слоя с силовой плоскостью (плоскостью симметрии) балки;

-нейтральная линия (н.л.) – линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью сечения балки.

На участке чистого изгиба выделим элемент балки длиной dx и изобразим

его в исходном и деформированном состоянии. Введем нейтральную ось – н.о.

10