I. Множества

1. Известно, что из 100 студентов увлекается живописью 28; спортом 42; музыкой 30; живописью и спортом 10; живописью и музыкой 5; живописью, спортом и музыкой 3 человека; музыкой и спортом 8 человек.

Определить: 1) количество студентов, увлекающихся только живописью;

2) количество студентов , ничем не увлекающихся.

2. Дифференциальное исчисление

1. Найти область определения действительных значений функций:

1) y= 1 – (1/2)^x; 2)y=sin²x, учитывая, чтоsin²x=1/2(1-cos2x); 3)y=lg(1+x)-2

2. Найти пределы:

1) lim x²-9 2) lim sin3x 3) lim tgx 4) lim ((x²+ax)^1/2-(x²-ax)^1/2)

^x→3 x²-2x^{3 x→0} (x+2)^1/2-2^{1/2 x→π} sin2x ^x→∞

3. Найти производные функции:

1) у = 10/x³; 2) у =sin²x; 3) у =x²sinx; 4)y=x(x²-1)^1/2

4. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1) lim e^x 2) lim (

^X→∞ x^{3 x→π}

5. Выполнить полное исследование функции и построить ее график:

1) у = x²(1+x); 2)y= 4x^1/2/(x+2)

6. Для функций нескольких переменных:

1) Указать область определения функции: z=

2) Найти частные производные функции: z=x²y-

3) Исследовать на экстремум функцию: z=xy+ 50/x+ 20/y(x>0,y>0)

2. Интегральное исчисление и ряды

1. Найти интегралы:

1) ∫ (x²-1)/x³ dx; 2) ∫ e ^-3x dx; 3) ∫ x ln (x-1) dx

2. Вычислить интегралы:

_{4 ∞}

1) ∫ x^1/2dx; 2) ∫dx/xⁿ

^{1 1}

3. Найти общий интеграл: x²y′ +y= 0

4. Исследовать сходимость числовых рядов:

1) 2/3+4/9+6/27+8/81+…

2) 1/104 – 1/201+1/301 – 81/401+…

Вариант № 19

Контрольная работа по курсу: «Математический анализ»

1. Множества

1. В коллоквиуме по математике приняло участие 40 студентов. Им были предложены задачи из 3-х разделов: по множествам, по алгебре, по анализу. По множествам решили задачу 20 человек, по алгебре – 18, по математическому анализу – тоже 18 человек. Не решили ни одной задачи 3 человека. По множествам и алгебре успешно справились с заданиями 7 человек, по множествам и анализу – 8 человек, по алгебре и анализу решили задачи 9 человек.

Сколько человек решили все три задачи?

Сколько человек решили ровно 2 задачи?

2. Задать множества перечислением его элементов: А = {xєR|x²-12x-28≤0, x – целые числа}.

2. Дифференциальное исчисление

1. Найти область определения действительных значений функций:

1) y= 1 – (1/2)^x; 2)y= 3)y=lg(x+1)^-2

2. Найти пределы:

1) lim x²-9 2) lim tgx 3) lim sin3x

^x→3 x² -2x-3 ^x→π sin2x ^x→0 (x+2)^1/2-2^1/2

4)

3. Найти производные функции:

1) у = 10/x³; 2) у =x²sinx; 3) у =sin²x; 4)y=x(x²-1)^1/2

4. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1) lim2) (

^X→∞

5. Найти экстремум функции и построить ее график:

1) у = x²(1-x); 2)y=x(1-x)^1/2

6. Для функций нескольких переменных:

1). Указать область определения функции: z= √x²–y²;

2). Найти частные производные функции: z= (x²+y²)^1/2;

3). Исследовать на экстремум функцию: z=

2. Интегральное исчисление и ряды

1. Найти интегралы:

1) ∫ (x²+2x+1/x) dx; 2) ∫ dx/(cos²5x); 3) ∫ xe^2x dx

2. Вычислить интегралы:

_{1 ∞}

1) ∫ dx/(4-x²)^1/2; 2) ∫e^-xdx

^{0 0}

3. Найти общий интеграл: x+xy+y′(y+xy) = 0

4. Исследовать сходимость числовых рядов:

1) 1+2/2!+4/3!+8/4!+…

2) 1/2 – 1/5 + 1/8 – 1/11