241

Міністерство освіти та науки України

Тернопільський національний педагогічний університет

імені Володимира Гнатюка

Фізико-математичний факультет

кафедра математичного аналізу

Паскевич Тетяна Іванівна магістерська робота електронний посібник для поглибленого вивчення математики учнями математичних ліцеїв та шкіл

Науковий керівник

доцент

Лотоцький В.А.

Науковий консультант

доцент

Лещук С.О.

Тернопіль – 2009

Зміст

Зміст 2

ВСТУП 5

РОЗДІЛ І. ЕЛЕКТРОННИЙ ПІДРУЧНИК ЯК ЗАСІБ ІНФОРМАТИЗАЦІЇ ОСВІТНЬОЇ ГАЛУЗІ 8

1. 1. Поняття про електронний підручник 8

1. 2. Основні вимоги до електронного підручника 9

1. 3. Структуризація та оформлення електронного підручника 12

1. 3. 1. Особливості мови HTML 12

1. 3. 2. Редагування тексту 15

1. 3. 3. Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках 19

1. 3. 4. Робота з таблицями 20

1. 4. Програма Advanced Grapher. 22

1. 5. Етапи створення посібника 23

РОЗДІЛ ІІ. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ 31

2. 1. Границя послідовності 31

2. 1. 1. Деякі позначення і термінологія 31

2. 1. 2. Числові послідовності та їх класифікація 32

2. 1. 3. Нескінченно малі послідовності та їх властивості 35

2. 1. 4. Границя послідовності 40

2. 1. 5. Граничний перехід в нерівностях 44

2. 1. 6. Нескінченно великі послідовності 46

2. 2. Теорія дійсних чисел 47

2. 2. 1. Теорія дійсних чисел 48

2. 2. 2. Точні грані множини 60

2. 2. 3. Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування 62

2. 2. 4. Критерій Коші збіжності послідовності 66

2. 3. Границя і неперервність функції 68

2. 3. 1. Гранична точка множини. Означення границі функції 68

2. 3. 2. Границя функції на нескінченності (випадок, коли ) 72

2. 3. 3. Односторонні границі функції в точці 72

2. 3. 4. Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація 77

2. 3. 5. Арифметичні операції над неперервними функціями 80

2. 3. 6. Властивості неперервних функцій 82

2. 3. 7. Обернена функція 89

2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості 94

2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості 94

2. 4. 2. Логарифмічна функція 100

2. 4. 3. Загальностепенева функція і її властивості 103

2. 4. 4. Друга та інші цікаві границі 104

2. 4. 5. Гіперболічні функції та їх графіки 106

РОЗДІЛ 3.ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ 110

3. 1. Похідна та її обчислення 110

3. 1. 1. Поняття дотичної до кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної 110

3. 1. 2. Диференційованість функції в точці. Зв’язок її з неперервністю і існуванням похідної 113

3. 1. 3. Правила диференціювання 116

3. 1. 4. Диференціал функції та його застосування 123

3. 1. 5. Похідні і диференціали вищих порядків 124

3. 1. 6. Параметрично задані функції і обчислення їх похідних 127

3. 1. 7. Теореми про середнє. І, ІІ правила Лопіталя. Критерій строгої монотонності функції 128

3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку 140

3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум 140

3. 2. 2. Дослідження функції диференційованої на відрізку на найбільше та найменше її значення на цьому ж відрізку 144

3. 2. 3. Опуклість і вгнутість графіка функції. Теорема про достатні умови опуклості, вгнутості функції на проміжку 145

3. 2. 4. Точки перегину графіка функції та їх відшукання 147

3. 2. 5. Асимптоти графіка функції 149

РОЗДІЛ IV. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ 155

4. 1. Невизначений інтеграл 155

4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл 155

4. 1. 2. Заміна змінних у невизначеному інтегралі. Інтегрування за частинами 159

4. 2. Інтегрування різних класів функцій 162

4. 2. 1. Інтегрування раціональних функцій 162

4. 2. 2. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій 167

4. 2. 3. Інтегрування ірраціональних функцій з квадратним тричленом під квадратним коренем. Підстановки Ейлера 168

4. 2. 4. Підстановки Чебишева 169

4. 2. 5. Інтегрування тригонометричних функцій 170

4. 3. Інтеграл Рімана 172

4. 3. 1. Суми Дарбу. Їх властивості та означення інтеграла Рімана 172

4. 3. 2. Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора 178

4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана 185

4. 3. 4. Властивості інтеграла Рімана 188

4. 3. 5. Інтеграл із змінною верхньою межею. Його властивості 194

4. 3. 6. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). Інтегрування методом підстановки та за частинами 196

4. 4. Застосування інтеграла Рімана 199

4. 4. 1. Площа криволінійної трапеції 199

4. 4. 2. Площа криволінійного сектора. 203

(Аналог криволінійної трапеції, але в полярних координатах) 203

206

4. 4. 3. Об’єм тіла обертання 206

4. 4. 4. Довжина дуги кривої 208

4. 4. 5. Площа поверхні обертання 211

4. 4. 6. Координати центра ваги матеріальної дуги та пластинки. Теореми Гульдена 214

РОЗДІЛ V. ОЛІМПІАДНІ ЗАДАЧІ 220

ВИСНОВКИ 230

ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 231

ВСТУП

Добре відомо, що зараз в нашій державі є чимало закладів, в яких учні поглиблено вивчають математику. В таких закладах на вивчення математики виділяється значно більше годин, ніж в загальноосвітніх школах, а раз так, то тут можна значно глибше розглядати певні розділи шкільної програми. Разом з тим ми знаємо, що в школах вкрай незадовільно вивчається математичний аналіз, як через відсутність часу, так і через невисокий рівень підготовки з математики учнів таких шкіл. А ось в математичних школах та ліцеях цей важливий розділ можна вивчати значно краще і глибше. Автор цієї роботи в свій час закінчила такий заклад, а її науковий керівник тривалий час викладав в ньому і на основі нашого досвіду появилась ця робота, яка, з нашої точки зору, зможе допомогти учням розібратися з границею, неперервністю, диференційованістю та інтегрованістю функцій, а також показати де і як це можна використовувати. Поряд з цим, ця робота може бути корисною не тільки для школярів, а й для студентів молодших курсів вищих навчальних закладів, які не поверхово вивчають математичний аналіз.

Магістерська робота включає такі розділи математичного аналізу:

1. вступ до аналізу (теорія границь, неперервність функції);

2. диференціальне числення функції однієї змінної (поняття похідної, дослідження функції);

3. інтегральне числення функції однієї змінної (невизначений інтеграл, інтеграл Рімана);

4. застосування інтеграла Рімана.

Крім того, ми приводимо деякі задачі для майбутніх учасників різних олімпіад. Відповідно до змісту, дані розділ поділені на пункти та підпункти, логічно пов’язані між собою. В кінці кожної теми проводиться коротка мотивація на вивчення нового матеріалу. В роботі здійснюється повний виклад теоретичного матеріалу, подаються означення понять, теорем і їх доведення, наслідки з них та зауваження.При розгляді кожної теми наведені приклади розв’язування типових задач, деяких складних прикладів та,де треба, ілюстрації до них. В теоретичному матеріалі з диференціального та інтегрального числення подані таблиціпохідних таінтегралів для подальшого практичного використання. Для зручності вивчення ми створили термінологічний словник, який в будь-який момент допоможе пригадати певне означення. Як окрему сторінку, виділено список літератури дляглибшоговивчення предмету.

Одним з важливих завдань курсу математики є розвиток графічної культури учнів, зокрема уміння графічного зображення і інтерпретації об`єктів, що вивчаються. Слід зауважити, що робота з графічними об`єктами є потужним інструментом як теоретичної математики, так і прикладної (графічне зображення об`єктів і процесів, робота з графіками, діаграмами, схемами). Тому особливу увагу ми приділили впровадженню НІТ (Нових Інформаційних Технологій) при вивченні функцій. До роботи додається праграма Advanced Grapher, яка дозволяє будувати графіки функцій, заданих різними способами.

Як ми вже говорили вище, в роботі розміщений важливий, з нашої точки зору, для учнів математичних шкіл та ліцеїв розділ «Олімпіадні задачі». В ньому подані ідеї та способи виведення основних класичних нерівностей, зокрема встановлені зв’язки між середніми геометричним, арифметичним, квадратичним та гармонічним; показано як розв’язуються деякі задачі з їх використанням.

Поряд з тим, що вказаний вище матеріал надрукований на традиційному папері, він ще розміщений і на електронних носіях у вигляді так званого елекронного підручника. Подібно до паперового аналога він містить титульну сторінку, де вказана назва, автори та кнопка переходу на основне вікно. Там користувач може ознайомитися з навігаційним меню та змістом посібника. Для зручності в використанні ми розділили електронний підручник на такі частини: програма курсу, лекції, термінологічний словник, олімпіадні задачі, список літератури. При наведенні курсору на потрібний розділ та кліку мишкою на екран виводиться відповідний матеріал. Учень, ознайомившись із змістом підручника, може перейти до конкретного розділу чи параграфу, який його цікавить. За необхідності можна роздрукувати частину підручника та видати його необхідним тиражем.

Зважаючи на те, що елементарних підручників з математичного аналізу для учнів подібних шкіл майже намає, ми надіємся, що наша робота допоможе тим учням, які в майбутньому хочуть займатися на професійному рівні математикою, вивчити класичний математичний аналіз функцій однієї змінної.

РОЗДІЛ І. ЕЛЕКТРОННИЙ ПІДРУЧНИК ЯК ЗАСІБ ІНФОРМАТИЗАЦІЇ ОСВІТНЬОЇ ГАЛУЗІ