ПРМЗD Variant 11-20

Варіант 11

1. Відомі дві вершини трикутника: А (— 3; 2; 3) і B (4; 6; 2). Знайти третю вершину С, знаючи, що середина сторони АС лежить на осі Оz, а середина сторони BС на площині хОу.

2. Розкласти вектор а = (3; 2; 1) за базисом векторів т= (2; 5;-1),n = (3; 0; - \),р = (-4; 5; 3).

3. Використовуючи елементи векторної алгебри, довес­ти, що медіана трикутника з сторонами а, Ь, с виражається формулою

т_а =

4. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки А (3; 0; —4), В (—2; 1; 4) і перпендикулярна до площини х — Зу + 5z — 6 = 0.

5. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А (1; 2; —3) паралельно осі: а) Ох; б) Оy в) Оz.

6. Знайти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки М (— 1; 2; — 4) на площину z = 8.

7. Скласти рівняння та побудувати зображення сфери, яка дотикається до кожної з координатних площин і до площини х + 2у + z — 3 = 0.

8. Довести, що квадратична форма 2х²₁ + х²₂ + Зx²₃ додатньо визначена.

Варіант 12

1. Знайти напрямні косинуси бісектриси кута А три­кутника, вершини якого знаходяться в точках А (—1; 1; 3),B(-1;-3; 0), С (1; 3; 4).

2. Знайти площу чотирикутника A BCD, заданого вершинами А (—4; 5; 6), В (2; — 3; 6), С (— 1; 1, 1), І), D(2; — 3; 1).

3. За допомогою векторної алгебри довести, що в чоти­рикутнику з взаємно перпендикулярними діагоналями суми квадратів протилежних сторін рівні між собою.

4. Скласти рівняння площин, які проходять через точку М (2; — 1; 3) і паралельні координатним площинам.

5. Звести до канонічного вигляду рівняння прямої

6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину площини х — Зy + 2z — 4 = 0 з віссю Оy перпендикулярно до прямої

7. Знайти точку перетину поверхні з прямою .

8. Ортогональним перетворенням звести до канонічного вигляду квадратичну форму і записати формули перетворення.

Варіант 13

1. Знайти центр ваги піраміди, вершини якої лежать у точках А (6; 8; 3), В (2; 3; 4), С (— 3; 7; — 4), D(1; — 2; — 3).

1. Обчислити об'єм тетраедра, якщо його вершинами є точки А (3; 7; 6), В (3; 1; 2), С (1; — 2; 4), О (4; —8; 5),

2. Довести, що довжина вектора обчислюється за фор­мулою | а | = .

3. Через точки А (5; 2; 0) і В (—1;3; 2) провести пло­щину, яка б відтинала на осях координат Ох і Оz рівні до­датні відрізки.

4. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А (1; — 2; 3) паралельно прямій

6.Знайти проекцію точки М(3;2;1) на пряму

7. Скласти рівняння та побудувати зображення поверхні, утвореної обертанням навколо осі Оу кривої

8. Звести рівняння квадрики до канонічного вигляду і визна­чити його тип. Записати формули перетворення.

Варіант 14

1. Знайти довжину і напрямні косинуси відрізка, кін­цями якого є точки А (2; 0; — 3), В (3; — 2; 2).

2. Знайти вектор 2а - 3b+ с, якщо дано вектори а = (2; 5; -1), b = (0; —3; 4), с = (3; 5; -6).

3. За допомогою векторної алгебри довести, що трикут­ник з вершинами А (—3;2; 1), В (3; — 1; 2), С (0; — 4; 2) рівнобедрений.

4. Скласти рівняння площини, перпендикулярної до вектора a = (12; 3; 4) і віддаленої від початку координат на відстань 4 лінійних одиниць.

5. Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини А трикутника ABC з вершинами А (1; 2; — 1), В (—4; 7; 5), С(2; - 1; 3).

6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (2; — 1; 1) паралельно площині х + у + z = 0 і перпен­дикулярно прямій

7. Дослідити вид поверхні за допомогою її перерізів координатними площинами та побудувати зображення поверхні

8. Знайти центр квадрики

Варіант 15

1. Визначити довжину медіан трикутника з вершинами А (-4; 2; -3), В (3; -2; -1), С (— 3; -4; 2).

2. В прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ задано вектори, що збігаються з його ребрами: АВ = а, AD = b, АА₁ = с. Побудувати вектори: т = а +b-с, п =а-b+0.5c , p=.

3. За допомогою векторної алгебри довести, що трикут­ник з вершинами А (—1; 7; — 2), В (3; —1; 6), С(1; —3; 2) прямокутний.

4. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (1; — 1; 2) і перпендикулярна до лінії перетину заданих площин 2х — 3y + z — 1 = 0 і х –y+ 3z + 4 = 0.

5. Скласти рівняння перпендикуляра, проведеного через точку А (1; —3; 2) до прямої

6. Визначити точку, симетричну точці N (2; 4; 3) від­носно прямої, яка проходить через точки А (2; 3; — 1) і B(5; 2; -4).

7. Скласти рівняння та побудувати зображення конічної поверхні, яка має вершину в точці М (0; 1; —2) і напрямну лінію .

8. Ортогональним перетворенням звести до канонічного вигляду квадратичну форму

і записати формули перетворення.

Варіант 16

1. Задано три точки: С (1; —2; —1), А (6; —2; —5), В (—3; 1; — 1). Обчислити координати проекції Н точки А на сторону ВС і площу трикутника ABC.

2. Знайти довжину і напрямні косинуси вектора, що збігається з бісектрисою кута А трикутника з вершинами А (4; 0; 1), В (2; - 1; 3), С (- 10; 5; 3).

3. За допомогою векторної алгебри довести, що внутріш­ні кути трикутника з вершинами в точках А (—2; 1;—3), В (3; — 2; 5), С (5; 1; — 1) гострі.

4. Скласти рівняння площини, яка проходить через точ­ки М (2; 3; 1), N (3; 5; — 2) і паралельна осі Ох.

5. Знайти рівняння прямої, яка паралельна прямій і перетинає прямі

6. Знайти проекцію точки М (3; 2; 1) на пряму

7. Знайти рівняння та побудувати зображення сфери, для якої точки М (— 3; — 4; 1) і N (1; — 4; — 5) є діаметраль­но протилежними.

8. Звести рівняння квадрики до канонічного вигляду, визначити його тип. Записати формули перетворення.

Варіант 17

1. Знайти координати і побудувати точки, симетричні точці А (2; 4; 3) відносно осі Оу, координатної площини xOz, початку координат.

2. Обчислити висоту АD трикутника, дві сторони якого суміщаються з векторами АВ = (3; 2; -6) і ВС = (2; —4;

3. Засобами векторної алгебри довести, що чотирикутник буде паралелограмом, якщо в нього діагоналі в точці пере­тину поділяються навпіл.

4. На осі Оy знайти точку, рівновіддалену від точки М (1; —2; 4) і від площини 8x+5y-3z+7=0.

5. Скласти рівняння спільного перпендикуляра до пря­мих

3. Визначити відстань між прямими

7. Скласти рівняння та побудувати зображення поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох кривої

8. Знайти центр квадрики

Варіант 18

1. Визначити координати центра ваги та площу трикут­ника, заданого вершинами А (—2; — 1; 1), В (0; — 1; — 1), С(2;6; -2).

2. Обчислити кут між стороною АВ і медіаною ВК три­кутника з вершинами А (1; 2; 0), В (3; 0; —3), С (5; 2; 6).

3. Засобами векторної алгебри довести, що можна побу­дувати трикутник, сторони якого рівні і паралельні медіанам даного трикутника ABC.

4. Скласти рівняння площини, яка проходить через точ­ки А (1; -1; 1), В (2; 0; -2), С (3; 4; -1).

5. Вершинами трикутника є точки А (1; 2; — 1), В (- 4; 7; 5), С (2; —1; 3). Скласти рівняння висоти, проведеної з вершини В.

6.Визначити кут між прямою і площиною x+y+z-1=0.

7. Скласти рівняння поверхні, в яку перетвориться еліпсоїд при трьох послідовних рівномір­них стисканнях простору до координатних площин, якщо ко­ефіцієнт стискання до площини хОу дорівнює , до площини хОz дорівнює і до площини yOz дорівнює

8. Звести рівняння квадрики до канонічного вигляду, визначити його тип і написати формули перетворення.

Варіант 19

1. Знайти координати проекцій заданих точок А (2; — 3; 5), В(—4; 1; 3), С (0; 2; —3) на координатні площини і ко­ординатні осі.

2. Обчислити довжини діагоналей і площу паралелогра­ма, побудованого на векторах a = Зі + к, b = і + 2j+ к.

3. Використовуючи елементи векторної алгебри, довести, що в кожному трикутнику з сторонами а, b, с b² = а² + с² — 2ас cos B.

4. У в'язці площин, яка визначається заданими трьома площинами x-y+z+2=0, 2x-y+3z-1=0, y+z=0, знайти ту площину, яка проходить через поча­ток координат і точку М (5; 1; — 3).

5. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (0; 1; 0) і перетинає під прямим кутом пряму

6. Площина відтинає на осях координат відрізки а = = 9, b =3, с = 2. Знайти напрямні косинуси прямої, перпендикулярної до цієї площини.

7. Скласти рівняння прямолінійних твірних гіперболіч­ного параболоїда , які проходять через точ­ку М (4; —2; 1).

8. Знайти центр квадрики

Варіант 20

1. На координатних площинах знайти точки, які разом з початком координат були б вершинами правильного тет­раедра з ребрами, рівними одиниці довжини (для першого октанта).

2. Знаючи, що вектори a i b взаємно перпендикулярні і i , обчислити

3. Яку умову повинні задовольняти вектори т і п, щоб вектори Зт + nіm-3n були колінеарні?

4. Скласти рівняння площини, коли відомо, що точка М (2; 9; —6) є основою перпендикуляра, опущеного з по­чатку координат на цю площину.

5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А (1; — 2; 3) паралельно прямій

6. Визначити відстань між прямими .

7. Визначити координати центра і довжину радіуса сферичної поверхні x²+y²+z²+2x+10y=0.

8. Звести рівняння квадрики до канонічного вигляду, визначити його тип. Записати формули перетворення.