рівн.з парам.Рогівська

УДК 512

ББК 22.14 Р59

Рогівська Т. С.

Р59 Рівняння з параметрами. Розробки занять елективного курсу для 8 класу. — Х. : Вид. група «Основа», 2012. — 140, [4] с. (Б-ка журн. «Математика в школах України»;

Вип. 4 (112)).

ISBN 978-617-00-1285-2.

Пропонований посібник містить розробки занять елективного курсу «Рівняння з параметрами».

Для вчителів математики, учнів загальноосвітніх шкіл та гімназій.

УДК 512

ББК 22.14

ISBN 978-617-00-1285-2	© Рогівська Т. С., 2012
	© ТОВ «Видавнича група “Основа”», 2012

Зміст
Передмова ...................................................................	6
Пояснювальна записка ..................................................	7
Зміст навчального матеріалу та вимоги до рівня
навчальних досягнень учнів ...........................................	8
Календарно-тематичне планування
(1 година на тиждень, усього 35 годин) ............................	10
Заняття 1. Систематизація й узагальнення знань учнів
із теми «Рівняння». Перехід від однотипних рівнянь
до рівнянь із параметрами .............................................	12
Заняття 2. Поняття виразу з параметром. Параметр як
«тимчасова» змінна. Область зміни параметрів .................	15
Заняття 3. Лінійне рівняння та його розв’язування
в загальному вигляді. Кількість коренів лінійного рівняння
та їх залежність від значення параметра ..........................	19
Заняття 4. Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами,
складання схеми-алгоритму розв’язування лінійного
рівняння з параметрами. Поняття «розгалуження
рівняння» ...................................................................	22
Заняття 5. Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами,
складання схеми-алгоритму розв’язування лінійного
рівняння з параметрами. Поняття «розгалуження
рівняння» ...................................................................	28
Заняття 6. Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами
в знаменнику ...............................................................	31
Заняття 7. Розв’язування задач на дослідження кількості
коренів лінійного рівняння залежно від значень
параметра ....................................................................	35
Заняття 8. Графічне зображення лінійного рівняння
з параметром. Поняття «сім’я прямих», зумовлене
наявністю параметра: паралельні прямі та прямі,
що проходять через спільну точку ...................................	39

2

3

4	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
	Заняття 9. Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами
	графічним способом ......................................................			46
	Заняття 10. Практична робота з теми «Параметри
	в лінійних рівняннях­		» ..................................................	49
	Заняття 11. Систематизація й узагальнення навчальних
	досягнень учнів із теми «Системи лінійних рівнянь із двома
	змінними». Кількість розв’язків системи в загальному
	вигляді .......................................................................			52
	Заняття 12. Розв’язування систем лінійних рівнянь із двома
	змінними та параметрами ..............................................			56
	Заняття 13. Розв’язування систем лінійних рівнянь із двома
	змінними та параметрами. Розв’язування вправ ...............			60
	Заняття 14. Дослідження систем лінійних рівнянь із двома
	змінними і параметрами ................................................			64
	Заняття 15. Дослідження систем лінійних рівнянь із двома
	змінними і параметрами ................................................			67
	Заняття 16. Поняття визначника системи лінійних рівнянь
	із двома змінними .........................................................			73
	Заняття 17. Розв’язування і дослідження систем рівнянь
	із параметрами за допомогою методу Крамера ..................			77
	Заняття 18. Розв’язування і дослідження систем рівнянь
	із параметром за допомогою методу Крамера ....................			80
	Заняття 19. Практична робота з теми «Системи лінійних
	рівнянь із двома змінними з параметром» ........................			83
	Заняття 20. Модуль, властивості модуля. Геометричний
	зміст модуля ................................................................			84
	Заняття 21. Рівняння з модулем. Рівняння із сумою
	та різницею модулів­	......................................................		87
	Заняття 22. Модуль і параметри в рівняннях.
	Розв’язування рівнянь та систем рівнянь із модулем
	і параметром. Різні способи розв’язування рівнянь
	із модулем і параметром ................................................			92
	Заняття 23. Модуль і параметри в рівняннях.
	Розв’язування рівнянь та систем рівнянь із модулем
	і параметром. Різні способи розв’язування рівнянь
	із модулем і параметром ................................................			96

Зміст			5
Заняття 24. Модуль і параметри в рівняннях.
Розв’язування рівнянь із модулем і параметром різними
способами ....................................................................			100
Заняття 25. Дробово-раціональні рівняння з параметром.
Область зміни параметра та область допустимих значень
змінної ........................................................................			105
Заняття 26. Дробово-раціональні рівняння з параметром.
Розв’язування вправ .....................................................			110
Заняття 27. Розв’язування дробово-раціональних рівнянь
із параметром­	..............................................................		114
Заняття 28. Квадратні рівняння з параметром.
Дослідження кількості коренів квадратного рівняння
залежно від значень параметра .......................................			119
Заняття 29. Квадратні рівняння з параметром.
Дослідження кількості коренів квадратного рівняння
залежно від значень параметра .......................................			121
Заняття 30. Розв’язування квадратних рівнянь, які
містять параметр у знаменнику ......................................			123
Заняття 31. Розв’язування квадратних рівнянь, які
містять параметр у знаменнику ......................................			127
Заняття 32. Теорема Вієта в рівняннях із параметрами ......			131
Заняття 33. Теорема Вієта в рівняннях із параметрами ......			134
Заняття 34. Практична робота з теми «Параметри
в рівняннях із модулем, дробово-раціональні та квадратні
рівняння з параметром» ................................................			137
Заняття 35. Рівняння з параметрами. Узагальнення
матеріалу, вивченого­		за рік ............................................	139
Література...................................................................			141

Передмова

Вивчення багатьох фізичних процесів та геометричних закономірностей часто передбачає розв’язування задач із параметрами. В учнів необхідно сформувати не тільки навички розв’язування рівнянь за алгоритмом, а й уміння досліджувати їх. Саме рівняння з параметрами відкриває значну кількість евристичних прийомів загального характеру, важливих для математичного розвитку особистості. На жаль, шкільна програма не передбачає набуття стійких навичок розв’язування таких задач усіма учнями, тому ці питання доцільно розглядати під час поглибленого вивчення алгебри або на заняттях елективного курсу.

Порівняно зі звичайними задачі з параметрами видаються школярам набагато складнішими. Це, дійсно, один із найскладніших у логічному й технічному розумінні розділів елементарної математики, оскільки під час розв’язування такого виду задач доводиться «гнатися за двома зайцями»: відстежувати незалежну змінну й параметри, їх уплив один на одного.

Тому у 8 класі з поглибленим вивченням математики введено елективний курс «Рівняння з параметрами».

Курс розрахований на 35 годин (1 година на тиждень) відповідно до вивчення основного курсу математики у 8 класі з поглибленим вивченням математики, вміщує такі теми:

99 параметри в лінійних рівняннях; 99 системи лінійних рівнянь із двома змінними і параметрами;

99 параметри в рівняннях із модулем, дробово-раціональні та квадратні рівняння з параметром.

Пояснювальна записка

Доцільність програми зумовлена становленням у 8 класі передпрофільних інтересів, необхідністю різнорівневого вивчення курсу математики та проведенням фахової орієнтації.

Завдання курсу:

99 сприяти становленню передпрофільних інтересів учнів;

99 реалізувати різнорівневе вивчення курсу математики методами розвивального навчання;

99 забезпечувати високий рівень математичної підготовки шляхом систематизації, узагальнення навчальних досягнень учнів з алгебри під час вивчення параметрів;

99 формувати уявлення про задачі з параметрами, навички їх розв’язування за допомогою складання схем, алгоритмів;

99 усунути розбіжність між рівнем навчальних досягнень із математики випускників школи та вимогами до математичної підготовки абітурієнтів вищих навчальних закладів.

Програму побудовано відповідно до тем, які входять до основної програми з математики, що забезпечує глибше засвоєння курсу алгебри. Специфіка задач із параметрами полягає в тому, що вони охоплюють усі теми алгебри, тому є унікальним засобом для систематизації й узагальнення навчальних досягнень учнів. Високий рівень абстрагування та алгоритмізації, що містять задачі з параметрами, розвиває навички застосовувати евристичні, дослідницькі прийоми роботи, вміння встановлювати причиново-наслідкові зв’язки, культуру мислення, ініціативу, творчість, а також забезпечує інтелектуальний розвиток особистості.

6

7

Зміст навчального матеріалу та вимоги до рівня навчальних досягнень учнів

	Тема,	Зміст навчального	Вимоги до рівня загально­
	кількість
		матеріалу	освітньої підготовки учнів
	годин
	Параме-	Систематизація й узагаль-	Учень повинен мати уявлен-
	три	нення знань учнів із теми	ня про: однорідні рівняння,
	в лінійних	«Рівняння». Перехід від	узагальнення однорідних
	рівняннях	однотипних рівнянь до	рівнянь; параметри, область
	(10 годин)	рівнянь із параметрами. По-	зміни параметра лінійного
		няття виразу з параметром.	рівняння; «розгалуження
		Параметр як тимчасова	рівняння»; множину графіків
		змінна. Область зміни пара-	прямих, що мають спільну
		метрів. Лінійне рівняння та	властивість «сім’я прямих».
		його розв’язки в загально-	Знати: означення рівняння
		му вигляді. Розв’язування	з параметрами; означення
		лінійних рівнянь із пара-	допустимих значень параме-
		метрами, складання схеми-	тра; означення області зміни
		алгоритму розв’язування	параметра.
		лінійного рівняння з пара-	Уміти: порівнювати вира-
		метрами. Поняття «розгалу-	зи з параметрами; складати
		ження рівняння». Дослі-	схеми-алгоритми для дослі-
		дження кількості коренів	дження й розв’язування ліній-
		лінійного рівняння залежно	них рівнянь із параметрами
		від значення параметра.	в загальному вигляді
		Поняття «сім’я прямих»,
		зумовлене наявністю пара-
		метра: паралельні прямі та
		прямі, що проходять через
		спільну точку
	Системи	Дослідження систем ліній-	Учень повинен мати уявлення
	лінійних	них рівнянь із двома змінни-	про: розв’язки системи ліній-
	рівнянь	ми і параметрами. Поняття	них рівнянь із двома змінни-
	із двома	визначника системи ліній-	ми і параметром; визначник
	змінними	них рівнянь із двома змінни-	системи двох лінійних рів-
	і параме-	ми. Розв’язування й дослі-	нянь із двома змінними; метод
	трами	дження системи лінійних	Крамера.
	(9 годин)	рівнянь методом визначни-	Знати: алгоритм аналітично-
		ка. Метод Крамера	го розв’язання систем двох

Зміст навчального матеріалу та вимоги до рівня навчальних досягнень учнів 9

	Тема,	Зміст навчального	Вимоги до рівня загально­
	кількість
		матеріалу	освітньої підготовки учнів
	годин
			рівнянь із параметром; алго-
			ритм методу Крамера.
			Уміти: графічно розв’язувати
			системи рівнянь із двома
			змінними з параметром; дослі-
			джувати кількість розв’язків
			систем рівнянь залежно від
			параметрів
	Параме-	Модуль, властивості мо-	Учень повинен мати уявлення
	три в рів-	дуля. Геометричний зміст	про: рівняння з модулем і па-
	няннях із	модуля. Рівняння з моду-	раметром; квадратне рівняння
	модулем,	лем. Рівняння із сумою та	з параметрами; застосування
	дробово-	різницею модулів. Модуль	теореми Вієта в рівняннях із
	раціо­	і параметри в рівняннях.	параметром.
	нальні та	Розв’язування систем	Знати: означення рівняння
	квадратні	рівнянь із модулем і параме-	з модулем і параметром; озна-
	рівняння	тром. Дробово-раціональні	чення квадратного рівняння
	з параме-	рівняння з параметром.	з параметром.
	тром	Область зміни параметра та	Уміти: розв’язувати рівнян-
	(16 годин)	область допустимих значень	ня з модулем і параметром,
		змінної. Квадратні рівняння	квадратні рівняння з параме-
		з параметром. Дослідження	тром; досліджувати кількість
		кількості коренів квадрат-	коренів рівняння залежно
		ного рівняння залежно	від значення параметрів;
		від значення параметра.	розв’язувати задачі, пов’язані
		Теорема Вієта в рівняннях iз	з розташуванням коренів
		параметром	квадратного рівняння віднос-
			но заданих чисел на числовій
			прямій

8

Календарно-тематичне планування (1 година на тиждень, усього 35 годин)

Номер		Кіль-	Дата про-
занят-	Тема заняття	кість	ведення
тя		годин	заняття
	Тема 1. Параметри в лінійних рівняннях	10
1	Систематизація та узагальнення знань учнів	1
	із теми «Рівняння». Перехід від однотипних
	рівнянь до рівнянь із параметрами
2	Поняття виразу з параметром. Параметр як	1
	«тимчасова» змінна. Область зміни параметрів
3	Лінійне рівняння та його розв’язування в загаль-	1
	ному вигляді. Кількість коренів лінійного рів-
	няння та їх залежність від значення параметра
4, 5	Розв’язування лінійних рівнянь із параметра-	2
	ми, складання схеми-алгоритму розв’язування
	лінійного рівняння з параметрами. Поняття
	«розгалуження рівняння»
6	Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами	1
	в знаменнику
7	Розв’язування задач на дослідження кількості	1
	коренів лінійного рівняння залежно від значен-
	ня параметра
8, 9	Графічне зображення лінійного рівняння з па-	2
	раметром. Поняття «сім’я прямих», зумов-
	лене наявністю параметра: паралельні прямі
	та прямі, що проходять через спільну точку.
	Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами
	графічним способом
10	Практична робота з теми «Параметри в ліній-	1
	них рівняннях»
	Тема 2. Системи лінійних рівнянь із двома	9
	змінними з параметром
11	Систематизація й узагальнення знань учнів із	1
	теми «Системи лінійних рівнянь із двома змін-
	ними». Кількість розв’язків системи в загаль-
	ному вигляді

Календарно-тематичне планування (1 година на тиждень, усього 35 годин) 11

Номер		Кіль-	Дата про-
занят-	Тема заняття	кість	ведення
тя		годин	заняття
12,	Розв’язування систем лінійних рівнянь із двома	2
13	змінними та параметрами
14,	Дослідження систем лінійних рівнянь із двома	2
15	змінними і параметрами
16–	Поняття визначника системи лінійних рівнянь	3
18	із двома змінними. Розв’язування і досліджен-
	ня системи лінійних рівнянь із параметрами за
	допомогою методу Крамера
19	Практична робота з теми «Системи лінійних	1
	рівнянь із двома змінними з параметром»
	Тема 3. Параметри в рівняннях із модулем,	16
	дробово-раціональні та квадратні рівняння
	з параметром
20	Модуль, властивості модуля. Геометричний	1
	зміст модуля
21	Рівняння з модулем. Рівняння із сумою та різ-	1
	ницею модулів
22–	Модуль і параметри в рівняннях. Розв’язування	3
24	рівнянь та систем із модулем і параметром.
	Різні способи розв’язування рівнянь із модулем
	і параметром
25–	Дробово-раціональні рівняння з параметром.	3
27	Область зміни параметра та область допустимих
	значень змінної
28,	Квадратні рівняння з параметром. Дослідження	2
29	кількості коренів квадратного рівняння залеж-
	но від значення параметра
30,	Розв’язування квадратних рівнянь, які містять	2
31	параметр у знаменнику
32,	Теорема Вієта в рівняннях із параметрами	2
33
34	Практична робота з теми «Параметри в рівнян-	1
	нях із модулем, дробово-раціональні та ква-
	дратні рівняння з параметром»
35	Урок узагальнення та систематизації знань	1
	учнів із теми «Параметри в рівняннях із моду-
	лем, дробово-раціональні та квадратні рівняння
	з параметром»

10

Заняття 1

Тема. Систематизація й узагальнення знань учнів із теми «Рівняння». Перехід від однотипних рівнянь до рівнянь із параметрами

Мета: систематизувати й узагальнити знання учнів із теми «Рівняння»; домогтися свідомого розуміння учнями понять однотипного рівняння та рівняння з параметрами; розвивати евристичні прийоми мислення, вміння узагальнювати здобуті знання.

Хід заняття

І. Організаційний етап

ІІ. Актуалізація і корекція опорних знань

1.Повторення теоретичних відомостей про рівняння (робота з та­ блицями)

						Таблиця 1
		Рівняння
	Поняття	Означення				Приклад
	Рівняння	рівність, що містить змінні				x+20 =28
	Корінь	значення змінної, що пере-				x = 8
	(або розв’язок)	творює рівняння на правильну				8+20 =28
	рівняння	числову рівність
	Розв’язати	означає знайти всі його корені				(x+3)(x−1) = 0,
	рівняння	або показати, що їх немає				x = −3 або x =1
						Таблиця 2
	Основні властивості рівнянь				Приклади
	1. У будь-якій частині рівняння		а) 6x−4x =3x+2x+3,
	можна:				2x =5x+3;
	а) звести подібні доданки;
			б) 4x−2(x−4) = 0,
	б) розкрити дужки
				4x−2x+8 = 0
	2. Будь-який член рівняння можна			8x+4 =6x+5,
	перенести з однієї частини рівнян-			8x−6x =5−4
	ня в іншу, змінивши його знак на
	протилежний

Заняття 1				13
Основні властивості рівнянь							Приклади
3. Обидві частини рівняння можна	а) 5x =10						:5, x =2;
помножити або поділити на одне й те
		x
саме число, відмінне від нуля	б)		=7		3, x =21
		3

2.

Тренувальні вправи

1)

Укажіть рівняння, для якого число 3 є коренем:

а) 7x −12 = 9x;

б) 2x −4x+8 = 4;

в) 3(8 −y) =5y.

2)

Скільки коренів має рівняння:

а)

x

= 0;

б)

x

=1;

в)

x

= −1?

3)

Складіть рівняння, яке має:

а)

єдиний корінь — число 4;

б) два корені — числа –4; 4.

4)

Розв’яжіть рівняння:

а) (3x+1)(3x −2) = 0;

б) 3

x

= 6;

в) 8

x

= −4;

г) x2 +8 = 4.

5) Знайдіть корені рівняння, скориставшись властивістю рівнянь:

а) 2y −18 = −3y+67;

б) 8 −1,2z = −6z+152;

в) −3(10 −2x) = 6x −30;

г)

0,8(2,2(x −1) −1) −1,4x = −0,4;

д) −

2x+1

+

2−1+x

=

2

−

x −3

;

е)

x+1

+

2−x

=

1

+

x −3

.

9

3

6

8

6

2

4

12

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Поняття рівняння є провідним у шкільному курсі алгебри (з поняттям рівняння ви ознайомлені з початкових класів), тож розв’язування лінійних рівнянь не викликає труднощів. Мета нашого курсу — засвоєння способів розв’язання рівнянь із параметрами. Завдання заняття — з’ясувати, що таке однотипні завдання, та отримати уявлення про «тимчасову» змінну (параметр).

Розглянемо декілька задач.

Задача 1. У прямокутному трикутнику один із гострих кутів у чотири рази більший за другий. Знайдіть ці кути.

Розв’язання. Якщо один кут x, то другий — 4x. Маємо рівняння:

x+4x = 90, 5x = 90, x =18.

12

14	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Отже, менший із гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 18°, а більший — 72°.

Відповідь. 18°, 72°.

Задача 2. У прямокутному трикутнику один із гострих кутів у п’ять разів більший за другий. Знайдіть ці кути.

Розв’язання. Якщо один кут x, то другий — 5x. Маємо рівняння:

x+5x = 90, 6x = 90, x =15.

Отже, менший із гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 15°, а більший — 75°.

Відповідь. 15°, 75°.

Задача 3. У прямокутному трикутнику один із гострих кутів у дев’ять разів більший за другий. Знайдіть ці кути.

Розв’язання. Якщо один кут x, то другий — 9x. Маємо рівняння:

x+9x = 90, 10x = 90, x = 9.

Отже, менший із гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 9°, а більший — 81°.

Відповідь. 9°, 81°.

Рівняння

x+4x = 90,

x+5x = 90, x+9x = 90,

які ми склали для розв’язання задач 1–3, називають однотипними­ . Чим ці рівняння відрізняються одне від одного?

Якщо коефіцієнт біля другого доданка позначимо буквою a і запишемо в загальному вигляді кожне з рівнянь, то дістанемо:

x+ax = 90.

Складіть задачу, яку можна розв’язати за допомогою цього рівняння.

Задача 4 (узагальнювальна). У прямокутному трикутнику один із гострих кутів в a разів більший за другий. Знайдіть ці кути.

Розв’язання. Якщо один кут x, то другий — ax. Маємо рівняння:

x+ax = 90.

Зрозуміло, що така задача вміщує безліч задач, але їх можна розв­ ’язати­ за допомогою записаного рівняння. При цьому невідомим у рівнянні­ є змінна x, а буква a визначає величину змінної x, її можна назвати «тимчасовою» змінною, вона за певних умов стає числом.

Заняття 2	15

IV. Закріплення нових знань

Виконання вправ

1) При яких значеннях a коренем рівняння 2x+a = −1 є число 1? 2) Рівняння 5x = a −3 має такий самий корінь, що й рівняння

2x −7 =1. Знайдіть a.

Як ви помітили, у рівняннях з’явилася ще одна невідома — a — «тимчасова» змінна. Нею позначено невідоме число, залежно від значення якого задані рівняння мають певний корінь.

Докладніше про «тимчасову» змінну ми будемо говорити на наступному занятті.

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Які рівняння вважають однотипними?

2.Як називають невідому, що визначає величину змінної x?

3.Як ви зрозуміли поняття «тимчасова» змінна?

VІ. Домашнє завдання

1.Скласти задачі, що розв’язують за допомогою однотипних рівнянь. Узагальнити ці задачі.

2.Розв’язати рівняння:

1)	x	−	x+3	−	x −3	=	x	;	2) 40(5x −8(x −1)) =160(x+9).
	2
		3		4		6

Заняття 2

Тема. Поняття виразу з параметром. Параметр як «тимчасова» змінна. Область зміни параметрів

Мета: здійснювати поступову адаптацію учнів до поняття параметра через усвідомлення його як «тимчасової» змінної; формувати вміння розв’язувати завдання з параметрами, збагачувати математичну культуру та розвивати логічне мислення учнів.

Хід заняття

І. Організаційний етап

ІІ. Актуалізація опорних знань

1.Повторення теоретичних відомостей

1)Які рівняння називають однотипними?

2)Як можна узагальнити однотипні рівняння?

3)Як називають невідому, відмінну від змінної рівняння?

16	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

2.Перевірка домашнього завдання (розв’язання заздалегідь за­ писано на дошці)

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Що ж таке «тимчасова» змінна або параметр у рівняннях та виразах? Поговоримо про це докладніше.

Проаналізуємо узагальнення однотипних рівнянь із попе­редньо­ го уроку.

x+ax = 90.

Розв’яжемо його при a > 0:

x(1+a) = 90, x = 190+a.

Це рівняння вміщує безліч рівнянь, але їх можна розв’язати за допомогою записаного рівняння, причому невідомим у рівнянні є x, а букву a ми назвали «тимчасовою» змінною, вона за певних умов стає числом.

«Тимчасову» змінну називають параметром.

У рівняннях параметр позначають й іншими буквами: m, n, p, k, b...

Параметр (грецьке слово « παραµετρων» — той, що відміряє) — це стала величина, значення якої слугують для встановлення відмінності між елементами деякої множини «змінних величин».

Числа, позначені буквами (значення яких не вказано, але вважають відомими та заданими на деякій числовій множині — області зміни параметрів), що входять до рівняння (нерівності, системи рівнянь, системи нерівностей), крім невідомих величин, називають параметрами.

З’ясуємо, що таке «величина стала», що таке «величина змінна» і що означає «розв’язати задачу з параметром».

Якщо нагрівати газ у закритій посудині, то маса газу буде величиною сталою, а температура і тиск газу — змінними.

Якщо нагрівати газ, що знаходиться упосудині, закритій поршнем, який може вільно рухатися, то тиск газу і його маса — сталі, а температура й об’єм — змінні величини.

Неважко уявити дослід, коли об’єм буде сталим, а, наприклад, значення тиску в рідині буде змінюватися.

Кажуть, що величина є:

99 сталою, якщо вона набуває в цьому розгляді одного й того ж значення;

99 змінною, якщо вона набуває в цьому розгляді різних значень.

Заняття 2	17

Розв’язати завдання з параметром означає, що потрібно вказати у відповіді сімейство розв’язків відносно невідомої величини (невідомі змінні) для всіх можливих розглядів сталих величин (параметрів).

Властивості області зміни параметрів

1.Під час розв’язування задач із параметрами область зміни параметрів може бути заданою. Якщо межі зміни параметрів не вказані, то вважають, що параметр набуває всіх своїх допустимих значень.

2.Підкреслимо, що параметр у відповіді повинен «пробігати» всю числову вісь або всі значення, обумовлені умовою задачі.

ІV. Закріплення нових знань

1. При якому значенні параметра a рівняння:

1)3ax+96 = 0 має корінь x = 8;

2)1− a4x = −12 має корінь x = 2;

3)4(a −3)x =72 має корінь x = 6?

Відповідь. 1) При a = −4; 2) при a = 3; 3) при a = 6.

2. При якому значенні параметра m рівняння:

1) 2(x+3) = 36 і					x	+2m =19;				2) (8 −x)7 = 28 і 5(2x −3m) = 0;
					3
	x						3x −2
3)			+8	2m = 48 і				=	17	матимуть спільний корінь?
							2
	3

Відповідь. 1) При m =7; 2) при m = 223; 3) при m = 2.

3. При яких значеннях параметра k рівняння:

1) x2 = k;	2)		x		+k = 0;

3) k+2x = 2(x −3) не має коренів?

Відповідь. 1) При k< 0; 2) при k< 0; 3) при k ≠ −6.

4. При яких значеннях параметра a рівняння:

1)2(x −1) = 4 −x і ax = x+ a;

2)(1−a)x = x і x2 = 0 рівносильні?

Відповідь. 1) При a = 2; 2) при будь-якому значенні a.

18	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

5. Вираз

3(x+a) +0,5х+3 2

дорівнює 4 при x = −1. Чому дорівнює вираз при x =5? Розв’язання. Знаходимо значення параметра a:

3(−1+a) +0,5(−1) +3 = 4. 2

За допомогою рівносильних перетворень дістанемо:

−3+3a −1+6 = 8, 3a = 6, a = 2.

Отже, при x =5 значення виразу дорівнює

	3(5+2)	+0,5 5+3 =	21+5+6	=16.
	2		2

Відповідь. 16.

6.Знайдіть значення параметрів a і b, при яких пара чисел (−2;3) є розв’язком системи рівнянь

ax+2y = −12,7x+by =1.

Відповідь. При a = 9, b =5.

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Що називають параметром?

2.Якими буквами позначають параметри в рівняннях?

3.Що таке область визначення параметра?

4.Назвіть властивості області визначення параметра в рівнянні.

VІ. Домашнє завдання

1.Опрацювати конспект у зошиті.

2.Виконати завдання.

1) Покажіть, що при будь-якому значенні a рівняння

(a+2)x −(a+3)x =5

має один корінь. Знайдіть цей корінь.

2)При яких значеннях параметра a рівняння ax =12 не має коренів?

Заняття 3	19

Заняття 3

Тема. Лінійне рівняння та його розв’язування в загальному вигляді. Кількість коренів лінійного рівняння та їх залежність від значення параметра

Мета: узагальнити поняття лінійного рівняння та його розв’язання в загальному вигляді; формувати вміння визначати кількість коренів лінійного рівняння та їх залежність від значення параметра.

Хід заняття

І. Організаційний етап

ІІ. Актуалізація опорних знань

1.Перевірка домашнього завдання

(розв’язання заздалегідь записано на дошці.)

2.Повторення властивостей лінійного рівняння та знаходження його коренів

Учні заповнюють таблицю.

	Лінійне рівняння	Коефіцієнти			Корені
	ax = b,
		a ≠ 0	x =	b	— єдиний корінь
	де a і b — деякі
				a
	числа, x — змінна
		a = 0,			0 x = b ≠ 0,
		b ≠ 0	коренів немає
		a = 0,			0x = 0,
		b = 0	коренем є довільне
			число (рівняння має
			безліч коренів)

3.Усне розв’язування рівнянь

Розв’яжіть рівняння і вкажіть, якому з розглянутих випадків

відповідає кожне з них:
1) 3(x+1) =7x −5;	2) 1−(3x+1) = 2x;
3) 2(x+5) = 2(x −4);	4) 3x+1= 3(3−x);
5) −3(10 −2x) = 6x −30;	6) 6x −2 = −2(1−3x).

ІІІ. Розв’язування тренувальних вправ

Використовуючи властивості лінійного рівняння, виконайте завдання.

20	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

1.Після знака рівності замість крапок допишіть такі вирази, щоб утворені рівняння мали:

а) один корінь; б) безліч коренів; в) жодного кореня. 1) 5x −4+2x =...; 2) 2(1,5x −7) −3x =...;

3) 3x5+2 =...

2.	Доведіть, що при будь-яких значеннях a рівняння:
1) (a2 +6)x =5;		2) (a2 +1)x = a;
3) a2 −x = −2x;		4) 4 −5x = a2x
	має єдиний корінь.
3.	При яких значеннях k рівняння:
1) kx = −8;		2) (k+5)x =5;
3) kx = k;		4) (3−k)x = 3−k:

а) має єдиний корінь; б) не має коренів; в) має безліч коренів?

4. Знайдіть усі значення a, при яких корінь рівняння ax =5+2x є цілим числом.

Розв’язання. ax =5+2x.

Виконавши рівносильні перетворення, дістанемо:

	ax −2x =5, x(a −2) =5, x =	5	.
		a −2

Значення x буде цілим числом, коли знаменник дробу a −2 буде дільником числа 5, тобто дорівнюватиме –5, –1, 1, 5. Знайдемо

ці значення:
a −2 = −5,	a = −3;
a −2 = −1,	a =1;
a −2 =1,	a = 3;
a −2 =5,	a =7.

Відповідь. –3, 1, 3, 7.

5. Порівняйте −a і 3a.

Розв’язання. Розглянемо такі випадки:

1)Якщо a < 0, то за властивістю нерівностей −a > 0 і −a >3a;

2)якщо a = 0, то −a = 3a;

3)якщо a > 0, то за властивістю нерівностей −a < 0 і −a <3a.

Відповідь. −a >3a при a < 0; −a = 3a при a = 0; −a <3a при a > 0.

Заняття 3		21
6.	Розв’яжіть рівняння (a2 −1)x = a+1 відносно x.
	Розв’язання. Рівняння (a2 −1)x = a+1 — лінійне, a — пара­ ­метр.
	Знайдемо значення параметра a, при яких коефіцієнт при змін-
ній x дорівнює нулю: a2 −1= 0 при a =1 або a = −1.
	Тоді:
1)	якщо a =1, то рівняння набуває вигляду 0x = 2	і коренів не
	має;

2)якщо a = −1, то рівняння набуває вигляду 0x = 0 і має безліч коренів;

3)якщо a ≠ ±1, то рівняння має єдиний корінь

			а+1			a+1		1
		х =			=		=		.
			а2 −1			(a+1)(a −1)		а −1
Відповідь. При a =1 коренів немає; при a = −1 безліч коренів;
при a ≠ ±1 x =	1	.
	a −1

7. Знайдіть корені рівняння (a2 −1)x = a2 +3a −4 відносно x.

Розв’язання. Задане рівняння — лінійне з параметром a. Для його розв’язання скористаємося досвідом попереднього завдання.

1)Якщо a2 −1≠ 0, то

x = a2 +3a −4 = ((a −1))((a+4)) = a+4; a2 −1 a −1 a+1 a+1

2) якщо a2 −1= 0, то дістанемо рівняння 0x = a2 +3a −4.

При a =1 воно набуває вигляду 0x = 0 і будь-яке дійсне значення x є його коренем.

При a = −1 дістанемо рівняння 0x = −6, яке не має коренів.

Відповідь. При a ≠ ±1 x = aa++14; при a =1 безліч коренів; при

a = −1 коренів немає.

Зауважимо, що сьогодні ми починали з розв’язування рівнянь із параметром, які мають єдиний корінь (завдання 2), але тепер ви бачите, що лінійне рівняння з параметром при певних значеннях a може мати і безліч коренів чи не мати коренів.

ІV. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1. Що таке лінійне рівняння з параметром?