8 / розв8_5

Задача № 5. 8клас

На зеленому лугу пасуться два козлики. Сірий козлик увесь час рухається на захід і до вечора проходить 800 метрів. Білий козлик увесь час рухається на північ і до вечора проходить 600 метрів. При цьому відстань між ними ввечері виявилася такою ж, як вранці – 1300 метрів. Яка мінімальна відстань була між козликами, якщо вони рухалися з постійною швидкістю? На яку мінімальну відстань могли б зблизитися козлики, якби їм було дозволено довільно змінювати величину своєї швидкості (не змінюючи, однак, напрямки руху й величини кінцевих переміщень)?

Розв’язання

Складно стежити за двома козликами, що рухаються одночасно, тому перейдемо у систему відліку, пов’язану, наприклад, з сірим козликом. У цій системі відліку сірий козлик нерухомий, а білий козлик матиме дві компоненти швидкості: одну напрямлену на схід та іншу, напрямлену на північ (рис. 1, а). Переміщення за день білого козлика буде складати 800 метрів на схід та 600 метрів на північ.

1) Знайдемо відстань у випадку мінімального зближення. Якщо швидкості козликів не змінюються, то їх траєкторія – відрізок УВ довжиною 1000 метрів. А мінімальну відстань між козликами дає перпендикуляр, проведений з точки С на цей відрізок. Його довжину можна знайти, записуючи теорему Піфагора для трикутника УПС:

Це перша відповідь.

Рис. 1

2) Якщо величини швидкостей можна змінювати довільно (при цьому залишаючи незмінними напрямки руху), то білий козлик може прийти у будь-яку точку трикутника УВК (рис. 1, б). Тут точка У – початкове положення білого козлика. Найближчою до точки С точкою цього трикутника є точка К Довжина відрізка КС і буде відповіддю на друге питання. Знайдемо її. З рисунка 1,в видно, що прямокутні трикутники УП₁К і УКВ подібні. Тоді, т.я. УВ = 1000 метрів, справедливо співвідношення:

За теоремою Піфагора . З попереднього пункту відомо, що ПС = 1200 м, отже К₁С = 720 м, и за теоремою Піфагора остаточно отримуємо

.

Відповідь: 1) 1200 метрів; 2) 733 метри.

,

2