10

Часть I

Темы: линейная алгебра; элементы матричного анализа; аналитическая геометрия.

1 Вычислите определитель

Отв.{87} Отв.{50}

Отв. (17) Отв.(150)

2 Найдите определитель произведения матриц │A∙B│

А= В= Отв. –2

А=, В= Отв. –1

Найдите произведения матриц A∙B

А= , В= Отв.

А= В= Отв.

3 Решите уравнения

=-6 Отв. {1;-1/2} =-4 Отв. {2;-1}.

4 Приведите матрицу А к ступенчатому виду:

A= Отв. A= Отв.

A= Отв.

A= Отв.

5 Найдите ранг матрицы

Отв. r(A)=2 Отв. r(A)=3.

Отв. r(A)=3 Отв. r(A)=3

6 Найдите обратную матрицу А^-1

A= Отв. A^-1=1/3 A= Отв. А^-1 не существует

A= Отв A^-1= A= Отв. A^-1=1/41

7 Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера

Отв. (3;-4)

Отв. {3;-2;5}

8 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса

Отв. {1; -2; 3}

Отв. {-1;-1;0;1}

Отв. {14c; 21c; c; c}

Отв. {1;-1;1 }

9 Решите систему линейных уравнений методом обратной матрицы

Отв. {1; 2; 3}

Отв. {3;1;1}

Отв. {1;2;-2}

10. Решите матричное уравнение

X*= Отв.

*X*= Отв.

*X= Отв. 1/7

11 Найдите базисные решения системы уравнений

Отв.{-5/2;7/2;0;0},{0;0;3/2;5/4},{-5/2;0;-7/2;0},

{-3/4;0;0;7/8},{0;-3/2;0;5/4}.

12 Даны точки А ( 3;-1; 2 ) и В (-1; 2; 1 ). Найдите координаты векторов АВ, ВА.

Отв. АВ={-4;3;-1}, ВА={4;-3;1}.

13 Даны две координаты вектора а: x=4, y=-12. Определите его третью координату z при условии, что ׀ а ׀ =13. Отв. z = 3.

14 Определить координаты начала вектора а={2;-3;-1},если его конец совпадает с точкой (1;-1;2). Отв. (-1;2;3)

15 Даны | а | =2 и углы α = 45⁰; β =60⁰; γ =120⁰. Вычислить проекции вектора а на координатные оси. Отв {;1;-1}.

16 Даны два вектора: а ={3;-2;6} и b ={-2;1;0}. Определите проекции на координатные оси следующих векторов: a + b; a – b; 2a; - 0.5b; 2a + 3b; 1/3a – b.

Отв.{1;-1;6}; {5;-3;6}; {6;-4;12}; {1;-0.5;0}; {0;-1;12}; {3;-5/3;2}.

17 Определите при каких значениях α и β векторы a=-2i+3j- βk и b= αi-6j+2k коллинеарны. Отв. α = 4, β =1.

18 Выяснить, являются ли векторы линейно-зависимыми: а) a{1;2;3}, b{2;3;4}, c{3;4;5};

в) a{1;3;4}, b{2;2;3}, c{1;-3;2}. Отв. а) да, в) нет.

19 Показать, что векторы a {1;2;0}, b {3;-1;1}, c {0;1;1}, заданные в базисе e₁, e₂, e₃, сами образуют базис.

20 Разложить вектор c=(5;1) по векторам a=(1;2) и b=(-1;1). Отв. c=2a –3b.

21 Разложить вектор c=(0;17) по векторам a=(3;4) и b=(2;-3). Отв. c=2a - 3b.

22 Разложить вектор c=(15;0) по векторам a=(3;7) и b=(-8;-2). Отв. c=6a +21b.

23 Дано разложение вектора c по базису c=16i-15j+12k. Определите разложение по этому же базису вектора d, параллельного вектору c и противоположно с ним направленного при условии, что |d | = 75. Отв. d=-48i+45j-36k.

24 Даны векторы a=e₁+e₂+e₃, b=2e₂+3e₃, c=e₂+5e₃, где e₁, e₂, e₃ – базис линейного пространства. Доказать, что векторы a, b, c образуют базис. Найти координаты вектора d=2e₁-e₂+e₃ в базисе a, b, c. Отв. d= 2a-2b+c.

25 Векторы e_1, e₂, e₃, e₄, e₅ образуют ортонормированный базис. Найдите скалярное произведение и длины векторов x= e₁-3e₂+e₄, y=-e₂+3e₃-2e₅. Отв. (x y)=3, | x | =

| y | = .

26 В базисе e₁, e₂, e₃ заданы векторы a₁{0;1;1}, a₂{1;-1;2}, a₃{-1;0;3}. Вектор b{4;-4;5}, заданный в базисе e₁, e₂, e₃ выразить в базисе a₁, a₂,a₃. Отв. b=-1/2a₁ +21/6a₂ -1/2a_3.

27 Найдите собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных матрицей Отв. X_λ=1= c (4;-1)

X_λ=-2= c(1;-1).

28 Квадратичную форму записать в матричном виде L(x₁,x₂,x₃)= 2x₁²+3x₂²-6x₁x₂+8x₂x₃-

-4x₃²

Отв.

29 Привести к каноническому виду квадратичную форму L(x₁,x₂,x₃)= x₁²+4x₁x₂+6x₂x₃-2x₂²+3x₃².

30 Выясните, какие из точек М₁=(3;1), М₂=(2;3), М₃=(-2;1) лежат на прямой 2x+3y-13=0.

Отв. М₂.

31 Составить уравнение прямой, проходящей через точки: а) А(3;1) и В(5;4); б) А(3:5) и

В(-4;1); Отв. а) 3x-2y-7 = 0; б) 7y-4x-23 = 0

32 Дан треугольник с вершинами А(-2;0), В(2;4) и С(4;0). Найти уравнения сторон треугольника. Отв. АВ: y-x-2=0; ВС: y+2x-8 =0; АС: y = 0.

33 На прямой, проходящей через точку А(-3;-3) и В(5;1) найти точку с абсциссой x=7.

Отв. (7;2).

34 На оси ординат найти точку принадлежащую прямой, которая соединяет точки А(-2;0) и В(3;3). Отв. (0; 6/5).

35 Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OY отрезок b=3 и проходящей через точку (-6;-3). Отв. y= x+3/

36 Составить уравнение прямой, проходящей через точку (0;-3) и параллельной прямой, заданной уравнением y=(-3/4)x+12. Отв. y=(-3/4)x-3.

37 Составить уравнение перпендикуляра к прямой 8x+4y-3=0 в точке пересечения её с прямой x-y=0. Отв. 4x-8y+1=0.

38 Составить уравнение прямой проходящей через точку М₀(1;0;-2) и параллельной вектору S=(2;1;0). Отв.

39 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2;-3;-1) и параллельной прямой (x-4)/4 = (y+1)/3 = (z+3)/2. Отв. (x-2)/4 = (y+3)/3 = (z-1)/2.

40 Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-2;-1;-3) и В(0;2;1).

Отв. (x+2)/2==(y+1)/3=(z+3)/4.

41 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-3;0;2) и перпендикулярной вектору n =(2;3;5). Отв. 2x+3y+5z-4=0.

42 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀=(1;2;-3) и перпендикулярной вектору а=(1;-2;3). Отв. (x-1)-2(y-2)+(z+3)=0.

43 Составить уравнение плоскости перпендикулярной оси OX и проходящей через точку М₀(2;-1;3). Отв. x-2=0.

44 Составить уравнение плоскости проходящей через три данные точки М₁(-2;1;0),

М₂(4;-3;1), М₃(1;0;-5). Отв. 21x+33y+6z+9=0

45 Составить уравнение плоскости проходящей через три данные точки М₁(1;1;1),

М₂(1;-1;0), М₃(2;1;3). Отв. –4x-y+2z+3=0

46 Найти координаты центра и радиус окружности:

а) x²+y²-8x-10y-8=0 Отв. О(4;5), R=7.

б) x²+y²+4x-2y-4=0 Отв. О(-2;1), R=3.

в) x²+y²-6x+4y-12=0 Отв. О(3;-2) R=5.

г) x²+y²+8x+12=0 Отв. О(-4;0), R=2.

47 Составить уравнение окружности проходящей через точки А(3;1), В(-2;6) и С(-5;-3).

Отв. (x+2)² = (y-1)² =25.

48 Точки (0;1), (0;-1), (-2;0) лежат на окружности. Составить уравнение этой окружности.

Отв. 2x²+2y²+3x-2=0.

49 Составить уравнение радиуса проведенного в точке А(5;-6) окружности x²+y²-6x+2y-19=0.

Отв. 5x+2y-13=0.

50 Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6 и большая ось равна 10. Отв. x²/25 + y²/16 =1

51 Найдите длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса x² +25y² =400

Отв. F₁(-3;0), F₂(3;0), e =3/5.

52 Составьте каноническое уравнение гиперболы:

а) 7x²-12y² =84 Отв. x²/12 – y²/7=1.

b) x²-2y²-2x-7=0 Отв. (x-1)²/8-y²/4=1.