Студентам ИТ / 2 УПП_ИТ / Основн_литература / ИТ (Excel) / ИТ_прогноз_сост_ОУ
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Московский государственный университет технологий и управления им. К.Г. Разумовского
(Первый казачий университет)
_________________________________________
Кафедра Информационных технологий
Краснов А.Е., Сагинов Ю.Л., Чернов Е.А., Феоктистова Н.А.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЙ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Учебно-практическое пособие для аспирантов, магистров,
а также студентов и бакалавров управленческих направлений подготовки
Москва – 2015
УДК 681.3.06 ББК 65.26с.я73
Краснов А.Е., Сагинов Ю.Л., Дишель Ю.Г., Феоктистова Н.А.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЙ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Учебно-практическое пособие для аспирантов, магистров, студентов и бакалавров управленческих направлений подготовки.
- М.: МГУТУ им. К.Г. Разумовского, 2015. - 34 с.
Пособие написано в соответствии с Государственным образовательным стандартом 3-го поколения и позволяет обучающимся освоить теоретические основы автоматизированного управления, а также численные методы формального описания реальных объектов управления.
Рецензенты: |
Жиров М.В., |
д.т.н., профессор МГУТУ; |
|
Бородин А.В., |
д.т.н., профессор МГУПП. |
Редактор |
Феоктистова Н.А. |
|
МГУТУ им. К.Г. Разумовского, 2015. 109004, Москва, Земляной вал, 73
©Краснов А.Е., Сагинов Ю.Л., Дишель Ю.Г., Феоктистова Н.А.
2
Содержание
Введение ………………………………………………. . 4
Глава 1. Прогнозирование состояний объектов управления на
основе их динамических моделей ……….. 6
1.1.Оперативное планирование и прогнозирование ………………………………….. 6
1.2.Стратегическое планирование и прогнозирование ………………………………….. 13
1.3.Критерии качества регрессионных моделей и
прогнозирования …………………………………. 15 Вопросы для самопроверки к главе 1 ………………… 17
Глава 2. Прогнозирование состояний объектов управления на
основе их стохастических моделей ………. 19
2.1.Условные математические ожидания ……………. 19
2.2.Оптимальный стохастический прогноз .................. 22
2.3.Синтез предикторов ……………………………….. 23 Вопросы для самопроверки к главе 2 ……………….... 27
Тренировочные задания ……………………………….. 28 Тесты по темам модуля ………………………………... 29 Список рекомендуемой литературы ………………….. 31 Словарь основных понятий и сокращений…………..... 31
3
Введение
Учебно-практическое пособие «Информационные технологии прогнозирования состояний объектов управления» является важнейшей составной частью многомодульного курса, предназначенного для подготовки аспирантов и соискателей, обучающихся по специальностям 05.13.01 – «Системный анализ, управление и обработка информации», 05.13.06 – «Автоматизация технологических процессов» и 05.13.18 – «Моделирование, численные методы и комплексы программ», а также бакалавров направления 09.03.01 (230100) – «Информатика и вычислительная техника».
Целью изучения пособия является освоение обучающимися практических методов прогнозирования состояний объектов управления в условиях неопределенности на базе единого системного подхода теории систем и системного анализа, теории управления.
Изучение пособия предполагает, что обучающиеся уже освоили общеобразовательные дисциплины: «Математика», «Теория вероятностей», «Информатика».
Пособие предоставляет обучающимся сконцентрированные знания, содержащиеся в многочисленных источниках отечественных и зарубежных авторов. При желании обучающиеся могут самостоятельно ознакомиться с литературой, рекомендуемой для дополнительного изучения. Однако, изложенный в пособии материал является самодостаточным для освоения основ информационных технологий прогнозирования состояний финансовых, производственных и коммерческих процессов.
Пособие содержит большое количество математических выражений, которые полезны как справочные данные при решении задач на компьютере.
Всвязи с тем, что в пособии затронут широкий круг вопросов, а объем материала в целом выходит за рамки часов, отведенных для конкретных тем, специальные акценты будут сделаны преподавателями на лекциях и лабораторных занятиях.
Впособии в центре внимания находится информационная технология прогнозирования состояний объектов управления в условиях помех. Напомним, что помехи обусловлены неполнотой и неточностью информации как о самом объекте управления, так и среде, в которой он действует.
С формальных позиций информационных технологий, опирающихся на теорию систем и управления, предприятие в
4
целом, производственный, финансовый или коммерческий процесс, или отдельная операция рассматриваются как некий объект управления (ОУ), имеющий конкретную структуру, определяемую как внутренними свойствами самого объекта, так и его связями с внешним рынком. Важнейшим является выделение главных составляющих структуры и описание их связей с помощью совокупности различных параметров (констант и переменных). После описания структуры ОУ необходимо выделить основные переменные, которые при неизменной структуре объекта подвержены изменению в процессе его функционирования. Собственно, ради изменения этих переменных (например, количества продукции, прибыли) создается и поддерживается сама структура ОУ. Совокупность данных переменных полностью определяет динамическое состояние ОУ. Изменение динамического состояния в нужном направлении осуществляется с помощью управления - совокупности денежных, материальных и информационных средств. Замена начального состояния ОУ на требуемое его конечное состояние является целью управления. Однако в силу наличия помех и определенных ограничений, присущих конкретному ОУ, каждому управлению ставят в соответствие количественные критерии ограничения и критерии качества управления.
Пособие состоит из 2-х глав, которые заканчиваются вопросами для самоконтроля.
В конце пособия приводятся тренировочные задания и тесты по его темам. Правильные ответы на тесты студенты могут найти в соответствующих разделах пособия.
Глава 1 пособия содержит информационную технологию прогнозирования на основе динамических моделей «затратывыпуск».
Глава 2 пособия содержит информационную технологию прогнозирования на основе стохастических моделей.
5
Глава 1. Прогнозирование состояний объектов управления на основе их динамических моделей
1.1. Оперативное планирование и прогнозирование.
РАР-уравнение 1.1.2 («Информационные технологии атоматизированного управленния») описывает временную последовательность или временной ряд. Наиболее просто анализ рядов такого вида проводить в предположении стационарности (квазистационарности) их коэффициентов, что характерно при оперативном планировании и прогнозировании. При этом можно счи-
тать, что t , k k, t1 1, t2 2.
Тогда уравнение (1.1.2) примет стационарный вид
St = m k St k |
+ 1 C1t + 2 C2t + Ht |
(1.1.1) |
k 1 |
|
|
Как уже рассматривалось в параграфе 1.1 («Информационные технологии атоматизированного управленния») в общем виде линейная РАРмодель со стационарными коэффициентами описывается уравнением
St = m k St k |
+ K |
k Ck ,t + Ht |
(1.1.2) |
k 1 |
k 1 |
|
|
Такая модель описывает, например, статическое воздействие на состояние ОУ управляющих факторов Ck,t , полученных из различных источников (k = 0, 1, 2, …, K), или динамическое
воздействие, если Ck,t Ck-t .
Если все структурные параметры (коэффициенты) динамического уравнения (1.1.2) известны, то при некоторых допущениях о характере поведения помехи Ht возможно определить значение St состояния ОУ в любой момент времени. Следовательно, возможно спланировать затраты, необходимые для достижения ОУ заданного (планового) значения S*n или «выхода» на плановую траекторию S*n+1, S*n+2, …, S*n+T к определенному моменту времени t = n (см. рис. 1.1.1).
6
|
St |
(состояние ЭО) |
S*t |
(план) |
|
S*n |
|
|
|
|
|
|
Участок прогноза |
|
|
Cn |
0 |
n |
t |
|
|
|||
Ct |
(финансовые |
|
|
|
|
затраты) |
|
|
|
|
|
Рис. 1.1.1 |
|
|
Однако на практике часто бывает так, что известны не коэффициенты уравнения состояния ОУ, а лишь некоторые
наблюдения (ряды) данных C1, C2, … , Cn и S1, S2, … , Sn для конкретного процесса. По этим эмпирическим данным необходимо
спрогнозировать будущие значения Sn+1, Sn+2, … , Sm состояния ОУ.
При этом возникают две проблемы:
-идентификация параметров уравнения (структурная идентификация ОУ) по этим эмпирическим данным;
-прогноз будущих значений Sn+1, Sn+2, … , Sm состояния ОУ на основе идентифицированных параметров.
Естественно, что основную роль в обоих случаях играет как характер помех, так и характер нестационарности параметров соответствующего динамического уравнения.
Так, например, в экономике нестационарность параметров играет особенно важную роль в связи с изменчивостью условий производства, определяемых как его внутренней структурой (ко-
эффициенты EVt и at), так и внешними рыночными условиями
(коэффициенты Pt, taxНДС, taxt).
Обычно помеху описывают следующей моделью временного ряда
Ht = Seast + Sirct + Et, |
(1.1.3) |
7
где Seast – сезонный компонент, Circt – циклический компонент, Et – стохастический компонент помехи. Часть Seast + Circt образует детерминированный компонент помехи.
Сезонный компонент отражает повторяемость процессов во времени и состоит из последовательности почти повторяющихся циклов. Типичным примером сезонного эффекта является объем продаж в преддверии праздников. Поэтому в некоторых временных рядах сезонный компонент может иметь плавающий или изменяющийся характер.
Циклический компонент занимает как бы промежуточное положение между детерминированной и стохастической составляющими временного ряда. Он описывает длительные периоды относительного подъема и спада и состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности.
Следует отметить, что сезонный и циклический компоненты могут быть также решением РАР-уравнения (1.1.1). Тем самым, данные компоненты могут описывать не только помеху, но и закономерную динамику ОУ.
Стохастический компонент описывается обычно моделью Гаусса-Маркова (т.н. стационарного белого шума), в которой M Et = 0, M(Et Et-k) = 2 k, где M означает операцию оценивания математического ожидания, а 0 = 1 и k = 0 для k 0. Предполагают также, что все Et распределены по нормальному (Гауссову) закону (см. главу 2 «Основы информационных техноло-
гий управления финансами, производством и бизнесом»).
Обычно при оперативном планировании и прогнозировании рассматривают лишь стохастический компонент помехи. При этом из уравнения (1.1.1) получают различные частные случаи моделей временных рядов, поддающихся простейшему анализу.
Модель парной линейной регрессии. |
|
St = + Ct + Et , M(Et) = 0, M(Et Et - k)= 2 k |
(1.1.4) |
для t = 1,2,.., n. |
|
Параметры модели оценивают по методу наименьших
квадратов (МНК), выбирая и таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку (СКО) аппроксимации
СКО = n |
Et2 |
= n |
(St Ct )2 |
min. |
(1.1.5) |
t 1 |
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
Оценки коэффициентов регрессии находят, решая систему уравнений
СКО/ = n |
St n n |
Ct2 = 0, |
|
|
||
t 1 |
|
|
t 1 |
|
|
|
СКО/ = n |
StCt |
n |
Ct |
n |
Ct2 |
= 0. |
t 1 |
|
t 1 |
|
t 1 |
|
|
Отсюда находим оценки коэффициентов модели через выборочные статистики (ковариацию, дисперсии)
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
S)(Ct |
C) / |
(Ct C)2 |
|||||||||||||
|
|
= |
(St |
|
= cov (St, Ct) / D (Ct), |
||||||||||||||
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
= S β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1.6) |
|||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||
где S = (1/n) |
St , |
C = (1/n) |
Ct |
– средние значения |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
наблюдений.
Эмпирические оценки точности вычислений коэффициентов регрессии даются выражениями
|
|
|
|
2/ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
D ( ) = 2 |
[1+ S |
(Ct C)2 ]/n, |
|
(1.1.7) |
||||||||
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D ( β ) = |
σ |
2 / t 1 (Ct C)2 , |
|
|
|
|||||||
где 2 = (n-2)-1 |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
||||
E2 = (n-2)-1 |
(St |
Ct )2 . |
||||||||||
|
|
t 1 |
t |
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
Модель множественной линейной регрессии. |
||||||||||||
St = + 1 Ct1 + 2 Ct2 + … r Ctr + Et, |
|
(1.1.8) |
||||||||||
M(Et) = 0, M(Et Et - k) = 2 k |
для |
|
t = 1, 2, .. , n. |
Используя векторные обозначения векторов-строк B+ = ( ,1, 2, … , r), E+ = (E1, E2, … , En) и матрицы C наблюдений
1С11 С12... С1r
C= 1С21 С22... С2r ,
................
1Сn1 Сn2 ... Сnr
более кратко модель наблюдений (1.1.8) записывают в виде
S = C B + E . |
(1.1.9) |
9
Параметры модели (вектор-столбец B) снова оценивают по методу наименьших квадратов, выбирая вектор-столбец B таким образом, чтобы минимизировать общую ошибку СКО = E+ E
B = (C + C ) -1 C + S, |
(1.1.10) |
где (C +C ) -1 – матрица, обратная (C +C ), т.е. такая, которая при умножении на матрицу (C +C ) дает единичную матрицу.
Модель стационарной авторегрессии первого порядка АР(1).
St = St-1 + Et, M(Et) = 0, M(Et Et - k) = 2 k , |
(1.1.11) |
M St = m, cov(St, St-k) = M(St, St-k) для t = 1, 2, .. , n.
Взяв математическое ожидание от обеих частей (1.1.11), получим m = m. Следовательно, m = 0, если 1. Взяв дисперсию от обеих частей (1.1.11) и учитывая, что D(St) = D(St-1) = cov(St, St), получим
D(St) = 2/(1– 2), |
(1.1.12) |
cov(St, St-k) = k 2/(1– 2), < 1. |
|
Отсюда следует, что автокорреляционная функция про-
цесса cor(St, St-k) = cov(St, St-k)/ D(St) = k |
убывает с ростом вре- |
||
менного лага. |
|
|
|
Минимизируя ошибку СКО = n |
E2 |
= n |
(St St 1)2 , |
t 1 |
t |
t 1 |
|
получим оценку коэффициента регрессии с помощью выборочного коэффициента корреляции
|
|
= |
n |
St St 1 / |
n |
|
2 |
|
|
||
= cor1 |
S |
. |
(1.1.13) |
||||||||
|
|
|
t |
||||||||
|
|
|
t 1 |
t 1 |
|
|
|
||||
Модель стационарной авторегрессии второго порядка |
|||||||||||
АР(2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
St = 1 St-1 + 2 |
St-2 + Et, M(Et) = 0, M(Et Et - k)= 2 k , |
(1.1.14) |
M St = m, cov(St, St-k) = M(St, St-k) для t = 1, 2, .. n.
Условие стационарности накладывает ограничения на коэффициенты модели
1 + 2 < 1, 1 – 2 |
> – 1, 2 > – 1. |
(1.1.15) |
Используя (1.1.14), получим
10