Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
18
Добавлен:
14.02.2016
Размер:
623.36 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Московский государственный университет технологий и управления им. К.Г. Разумовского

(Первый казачий университет)

_________________________________________

Кафедра Информационных технологий

Краснов А.Е., Сагинов Ю.Л., Чернов Е.А., Феоктистова Н.А.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЙ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Учебно-практическое пособие для аспирантов, магистров,

а также студентов и бакалавров управленческих направлений подготовки

Москва – 2015

УДК 681.3.06 ББК 65.26с.я73

Краснов А.Е., Сагинов Ю.Л., Дишель Ю.Г., Феоктистова Н.А.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЙ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Учебно-практическое пособие для аспирантов, магистров, студентов и бакалавров управленческих направлений подготовки.

- М.: МГУТУ им. К.Г. Разумовского, 2015. - 34 с.

Пособие написано в соответствии с Государственным образовательным стандартом 3-го поколения и позволяет обучающимся освоить теоретические основы автоматизированного управления, а также численные методы формального описания реальных объектов управления.

Рецензенты:

Жиров М.В.,

д.т.н., профессор МГУТУ;

 

Бородин А.В.,

д.т.н., профессор МГУПП.

Редактор

Феоктистова Н.А.

 

МГУТУ им. К.Г. Разумовского, 2015. 109004, Москва, Земляной вал, 73

©Краснов А.Е., Сагинов Ю.Л., Дишель Ю.Г., Феоктистова Н.А.

2

Содержание

Введение ………………………………………………. . 4

Глава 1. Прогнозирование состояний объектов управления на

основе их динамических моделей ……….. 6

1.1.Оперативное планирование и прогнозирование ………………………………….. 6

1.2.Стратегическое планирование и прогнозирование ………………………………….. 13

1.3.Критерии качества регрессионных моделей и

прогнозирования …………………………………. 15 Вопросы для самопроверки к главе 1 ………………… 17

Глава 2. Прогнозирование состояний объектов управления на

основе их стохастических моделей ………. 19

2.1.Условные математические ожидания ……………. 19

2.2.Оптимальный стохастический прогноз .................. 22

2.3.Синтез предикторов ……………………………….. 23 Вопросы для самопроверки к главе 2 ……………….... 27

Тренировочные задания ……………………………….. 28 Тесты по темам модуля ………………………………... 29 Список рекомендуемой литературы ………………….. 31 Словарь основных понятий и сокращений…………..... 31

3

Введение

Учебно-практическое пособие «Информационные технологии прогнозирования состояний объектов управления» является важнейшей составной частью многомодульного курса, предназначенного для подготовки аспирантов и соискателей, обучающихся по специальностям 05.13.01 – «Системный анализ, управление и обработка информации», 05.13.06 – «Автоматизация технологических процессов» и 05.13.18 – «Моделирование, численные методы и комплексы программ», а также бакалавров направления 09.03.01 (230100) – «Информатика и вычислительная техника».

Целью изучения пособия является освоение обучающимися практических методов прогнозирования состояний объектов управления в условиях неопределенности на базе единого системного подхода теории систем и системного анализа, теории управления.

Изучение пособия предполагает, что обучающиеся уже освоили общеобразовательные дисциплины: «Математика», «Теория вероятностей», «Информатика».

Пособие предоставляет обучающимся сконцентрированные знания, содержащиеся в многочисленных источниках отечественных и зарубежных авторов. При желании обучающиеся могут самостоятельно ознакомиться с литературой, рекомендуемой для дополнительного изучения. Однако, изложенный в пособии материал является самодостаточным для освоения основ информационных технологий прогнозирования состояний финансовых, производственных и коммерческих процессов.

Пособие содержит большое количество математических выражений, которые полезны как справочные данные при решении задач на компьютере.

Всвязи с тем, что в пособии затронут широкий круг вопросов, а объем материала в целом выходит за рамки часов, отведенных для конкретных тем, специальные акценты будут сделаны преподавателями на лекциях и лабораторных занятиях.

Впособии в центре внимания находится информационная технология прогнозирования состояний объектов управления в условиях помех. Напомним, что помехи обусловлены неполнотой и неточностью информации как о самом объекте управления, так и среде, в которой он действует.

С формальных позиций информационных технологий, опирающихся на теорию систем и управления, предприятие в

4

целом, производственный, финансовый или коммерческий процесс, или отдельная операция рассматриваются как некий объект управления (ОУ), имеющий конкретную структуру, определяемую как внутренними свойствами самого объекта, так и его связями с внешним рынком. Важнейшим является выделение главных составляющих структуры и описание их связей с помощью совокупности различных параметров (констант и переменных). После описания структуры ОУ необходимо выделить основные переменные, которые при неизменной структуре объекта подвержены изменению в процессе его функционирования. Собственно, ради изменения этих переменных (например, количества продукции, прибыли) создается и поддерживается сама структура ОУ. Совокупность данных переменных полностью определяет динамическое состояние ОУ. Изменение динамического состояния в нужном направлении осуществляется с помощью управления - совокупности денежных, материальных и информационных средств. Замена начального состояния ОУ на требуемое его конечное состояние является целью управления. Однако в силу наличия помех и определенных ограничений, присущих конкретному ОУ, каждому управлению ставят в соответствие количественные критерии ограничения и критерии качества управления.

Пособие состоит из 2-х глав, которые заканчиваются вопросами для самоконтроля.

В конце пособия приводятся тренировочные задания и тесты по его темам. Правильные ответы на тесты студенты могут найти в соответствующих разделах пособия.

Глава 1 пособия содержит информационную технологию прогнозирования на основе динамических моделей «затратывыпуск».

Глава 2 пособия содержит информационную технологию прогнозирования на основе стохастических моделей.

5

Глава 1. Прогнозирование состояний объектов управления на основе их динамических моделей

1.1. Оперативное планирование и прогнозирование.

РАР-уравнение 1.1.2 («Информационные технологии атоматизированного управленния») описывает временную последовательность или временной ряд. Наиболее просто анализ рядов такого вида проводить в предположении стационарности (квазистационарности) их коэффициентов, что характерно при оперативном планировании и прогнозировании. При этом можно счи-

тать, что t , k k, t1 1, t2 2.

Тогда уравнение (1.1.2) примет стационарный вид

St = m k St k

+ 1 C1t + 2 C2t + Ht

(1.1.1)

k 1

 

 

Как уже рассматривалось в параграфе 1.1 («Информационные технологии атоматизированного управленния») в общем виде линейная РАРмодель со стационарными коэффициентами описывается уравнением

St = m k St k

+ K

k Ck ,t + Ht

(1.1.2)

k 1

k 1

 

 

Такая модель описывает, например, статическое воздействие на состояние ОУ управляющих факторов Ck,t , полученных из различных источников (k = 0, 1, 2, …, K), или динамическое

воздействие, если Ck,t Ck-t .

Если все структурные параметры (коэффициенты) динамического уравнения (1.1.2) известны, то при некоторых допущениях о характере поведения помехи Ht возможно определить значение St состояния ОУ в любой момент времени. Следовательно, возможно спланировать затраты, необходимые для достижения ОУ заданного (планового) значения S*n или «выхода» на плановую траекторию S*n+1, S*n+2, …, S*n+T к определенному моменту времени t = n (см. рис. 1.1.1).

6

 

St

(состояние ЭО)

S*t

(план)

 

S*n

 

 

 

 

 

 

Участок прогноза

 

Cn

0

n

t

 

 

Ct

(финансовые

 

 

 

 

затраты)

 

 

 

 

 

Рис. 1.1.1

 

 

Однако на практике часто бывает так, что известны не коэффициенты уравнения состояния ОУ, а лишь некоторые

наблюдения (ряды) данных C1, C2, … , Cn и S1, S2, … , Sn для конкретного процесса. По этим эмпирическим данным необходимо

спрогнозировать будущие значения Sn+1, Sn+2, … , Sm состояния ОУ.

При этом возникают две проблемы:

-идентификация параметров уравнения (структурная идентификация ОУ) по этим эмпирическим данным;

-прогноз будущих значений Sn+1, Sn+2, … , Sm состояния ОУ на основе идентифицированных параметров.

Естественно, что основную роль в обоих случаях играет как характер помех, так и характер нестационарности параметров соответствующего динамического уравнения.

Так, например, в экономике нестационарность параметров играет особенно важную роль в связи с изменчивостью условий производства, определяемых как его внутренней структурой (ко-

эффициенты EVt и at), так и внешними рыночными условиями

(коэффициенты Pt, taxНДС, taxt).

Обычно помеху описывают следующей моделью временного ряда

Ht = Seast + Sirct + Et,

(1.1.3)

7

где Seast – сезонный компонент, Circt – циклический компонент, Et – стохастический компонент помехи. Часть Seast + Circt образует детерминированный компонент помехи.

Сезонный компонент отражает повторяемость процессов во времени и состоит из последовательности почти повторяющихся циклов. Типичным примером сезонного эффекта является объем продаж в преддверии праздников. Поэтому в некоторых временных рядах сезонный компонент может иметь плавающий или изменяющийся характер.

Циклический компонент занимает как бы промежуточное положение между детерминированной и стохастической составляющими временного ряда. Он описывает длительные периоды относительного подъема и спада и состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности.

Следует отметить, что сезонный и циклический компоненты могут быть также решением РАР-уравнения (1.1.1). Тем самым, данные компоненты могут описывать не только помеху, но и закономерную динамику ОУ.

Стохастический компонент описывается обычно моделью Гаусса-Маркова (т.н. стационарного белого шума), в которой M Et = 0, M(Et Et-k) = 2 k, где M означает операцию оценивания математического ожидания, а 0 = 1 и k = 0 для k 0. Предполагают также, что все Et распределены по нормальному (Гауссову) закону (см. главу 2 «Основы информационных техноло-

гий управления финансами, производством и бизнесом»).

Обычно при оперативном планировании и прогнозировании рассматривают лишь стохастический компонент помехи. При этом из уравнения (1.1.1) получают различные частные случаи моделей временных рядов, поддающихся простейшему анализу.

Модель парной линейной регрессии.

 

St = + Ct + Et , M(Et) = 0, M(Et Et - k)= 2 k

(1.1.4)

для t = 1,2,.., n.

 

Параметры модели оценивают по методу наименьших

квадратов (МНК), выбирая и таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку (СКО) аппроксимации

СКО = n

Et2

= n

(St Ct )2

min.

(1.1.5)

t 1

 

t 1

 

 

 

 

 

 

8

 

 

Оценки коэффициентов регрессии находят, решая систему уравнений

СКО/ = n

St n n

Ct2 = 0,

 

 

t 1

 

 

t 1

 

 

 

СКО/ = n

StCt

n

Ct

n

Ct2

= 0.

t 1

 

t 1

 

t 1

 

 

Отсюда находим оценки коэффициентов модели через выборочные статистики (ковариацию, дисперсии)

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

S)(Ct

C) /

(Ct C)2

 

 

=

(St

 

= cov (St, Ct) / D (Ct),

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

= S β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.1.6)

 

n

 

 

 

n

 

 

где S = (1/n)

St ,

C = (1/n)

Ct

– средние значения

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

наблюдений.

Эмпирические оценки точности вычислений коэффициентов регрессии даются выражениями

 

 

 

 

2/ n

 

 

 

 

 

 

 

 

D ( ) = 2

[1+ S

(Ct C)2 ]/n,

 

(1.1.7)

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D ( β ) =

σ

2 / t 1 (Ct C)2 ,

 

 

 

где 2 = (n-2)-1

n

 

 

 

n

 

 

 

E2 = (n-2)-1

(St

Ct )2 .

 

 

t 1

t

 

 

 

 

t 1

 

 

 

Модель множественной линейной регрессии.

St = + 1 Ct1 + 2 Ct2 + … r Ctr + Et,

 

(1.1.8)

M(Et) = 0, M(Et Et - k) = 2 k

для

 

t = 1, 2, .. , n.

Используя векторные обозначения векторов-строк B+ = ( ,1, 2, … , r), E+ = (E1, E2, … , En) и матрицы C наблюдений

1С11 С12... С1r

C= 1С21 С22... С2r ,

................

1Сn1 Сn2 ... Сnr

более кратко модель наблюдений (1.1.8) записывают в виде

S = C B + E .

(1.1.9)

9

Параметры модели (вектор-столбец B) снова оценивают по методу наименьших квадратов, выбирая вектор-столбец B таким образом, чтобы минимизировать общую ошибку СКО = E+ E

B = (C + C ) -1 C + S,

(1.1.10)

где (C +C ) -1 – матрица, обратная (C +C ), т.е. такая, которая при умножении на матрицу (C +C ) дает единичную матрицу.

Модель стационарной авторегрессии первого порядка АР(1).

St = St-1 + Et, M(Et) = 0, M(Et Et - k) = 2 k ,

(1.1.11)

M St = m, cov(St, St-k) = M(St, St-k) для t = 1, 2, .. , n.

Взяв математическое ожидание от обеих частей (1.1.11), получим m = m. Следовательно, m = 0, если 1. Взяв дисперсию от обеих частей (1.1.11) и учитывая, что D(St) = D(St-1) = cov(St, St), получим

D(St) = 2/(1– 2),

(1.1.12)

cov(St, St-k) = k 2/(1– 2), < 1.

 

Отсюда следует, что автокорреляционная функция про-

цесса cor(St, St-k) = cov(St, St-k)/ D(St) = k

убывает с ростом вре-

менного лага.

 

 

 

Минимизируя ошибку СКО = n

E2

= n

(St St 1)2 ,

t 1

t

t 1

 

получим оценку коэффициента регрессии с помощью выборочного коэффициента корреляции

 

 

=

n

St St 1 /

n

 

2

 

 

= cor1

S

.

(1.1.13)

 

 

 

t

 

 

 

t 1

t 1

 

 

 

Модель стационарной авторегрессии второго порядка

АР(2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

St = 1 St-1 + 2

St-2 + Et, M(Et) = 0, M(Et Et - k)= 2 k ,

(1.1.14)

M St = m, cov(St, St-k) = M(St, St-k) для t = 1, 2, .. n.

Условие стационарности накладывает ограничения на коэффициенты модели

1 + 2 < 1, 1 2

> – 1, 2 > – 1.

(1.1.15)

Используя (1.1.14), получим

10

Соседние файлы в папке ИТ (Excel)