26

Практичне заняття № 14. Еліпс.

Основні теоретичні факти.

Нехай на площині задані дві точки та, відстань між якими дорівнює 2с. Розглянемо геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до точок тає сталою і дорівнює деякому числу 2а. Будемо вважати, що , оскільки пришукана множина точок буде порожньою, а приутворить відрізок.

Означення. Множина всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок тає сталою величиною, що більша від довжини відрізка, називаєтьсяеліпсом.

Якщо вибрати прямокутну декартову систему координат так, щоб точкабула серединою відрізка, а вісьпроходила по прямій(рис.1), то рівняння еліпса можна одержати у виді

Його називають канонічним рівнянням еліпса. Новий параметр виражається через задані величинитаза допомогою рівності=.

Рівняння є рівнянням другого степеня, тому еліпс – це лінія другого порядку.

Точки таназиваютьсяфокусами еліпса. Фокуси еліпса відносно введеної системи координат матимуть координати F₁(c;0), F₂(-c;0).

Нехай точкаМ належить еліпсу. Відрізки таназиваютьфокальними радіусами точки М. Для обчислення довжин фокальних радіусів достатньо знати абсцису точки на еліпсі та використати рівності , .

Точки еліпса розташовані всередині прямокутника із сторонами 2а та 2b, тобто їх координати задовольняють умовам , . Еліпс симетричний відносно координатних осей та початку координат.

Зображення еліпса наведено на рисунку 2.

Точки ,,,називаютьвершинами еліпса. Відрізки таназиваютьвеликою та малою осями, а відрізки ОА₁=ОА₂=а та ОВ₁=ОВ₂=b - великою та малою півосями еліпса. Точку О називають центром еліпса

Рівняння ,,. теж задають еліпс. Їх називаютьпараметричними рівняннями еліпса.

Число називаютьексцентриситетом еліпса.

Для еліпса , тому його ексцентриситет менший від 1. Оскільки, то. Якщо, то, тобто за формою еліпс наближається до кола. Якщо, тоі еліпс стискається до осі.

Прямі називають директрисами еліпса. Оскільки для еліпса і, то дані прямі не перетинають еліпс і розташовані поза ним.

Будемо називати директрису d відповідною фокусу F, якщо вони розташовані в одній півплощині відносно осі . Вірна наступна

Теорема. Відношення відстаней від довільної точки еліпса до фокуса та відповідної директриси є стала величина, що дорівнює ексцентриситету.

Іншими словами, для довільної точки еліпса виконується рівність(рис. 3). Це саме стосується лівого фокуса та директриси.

Властивість, виражену у виді сформульованої теореми, називають директоріальною властивістю еліпса.

Р

Рис. 8

івняння дотичної, проведеної до еліпса:у деякій точці(рис. 4). записується у виді .

До числа найбільш цікавих властивостей еліпса відноситься його так звана оптична властивість.

Оптична властивість еліпса. Промені світла, що виходять із фокуса дзеркального еліпса та відбиваються від нього, проходять через другий фокус.

Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до двох заданих кіл, розташованих одне всередині другого.

Розв’язання. Нехай коло з центром у точціта радіусомдотикається до заданих кілі, центри яких знаходяться у точкахта(рис. 5), а радіуси дорівнюютьта(). Оскільки виконується рівність

то з неї, відповідно до означення еліпса, випливає, що точка при умові, що колозмінює своє положення, буде рухатися по еліпсу.

Задача 2. Знайти координати фокусів еліпса та фокальні радіуси точок з абсцисою 2.

Розв’язання. Записавши рівняння еліпса у виді та порівнюючи його з канонічним рівнянням, отримаємо,. Тому, звідки. Таким чином знаходимота. Скориставшись виразами для фокальних радіусів, дістаємо.

Відповідь.

Задача 3. Вершина трикутника, який має нерухому основу, переміщається так, що периметр трикутника не змінюється. Написати рівняння лінії, по якій рухається ця вершина, якщо відомо, що основа дорівнює 24, а периметр трикутника рівний 50.

Розв’язання. Оскільки сума відстаней від рухомої вершини до кінців нерухомої основи не змінюється, то траєкторією руху буде еліпс. Якщо вісь Ox направити вздовж основи, а вісь Oy провести через її середину перпендикулярно до осі Ox, то в одержаній системі координат рівняння траєкторії третьої вершини матиме вигляд . За змістом задачі, тому,.

Відповідь.