Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Алгебра - повна / ЛінАлгебра / Нормальна форма Жордана

.doc
Скачиваний:
20
Добавлен:
14.02.2016
Размер:
334.85 Кб
Скачать

Нормальна форма Жордана.

В алгебраїчному замкнутому полі, в тому числі і комплексному просторі, аналогічним канонічним видом є так звана Жорданова нормальна форма матриці. Розглянемо її.

Жордановою кліткою називається квадратна матриця виду

,

в якій на головній діагоналі знаходиться одне і те ж число , над головною діагоналлю – всюди число , а всі решта елементи – нулі.

Наприклад: , , – жорданові клітки 1, 2 і 3 порядків.

Легко видно, що характеристичний многочлен оператора , матрицею якого є жорданова клітка порядку , дорівнює . Він має єдине власне значення кратності , і всі його власні вектори колінеарні . Це означає, що матриця оператора при ні в якому базисі не зводиться до діагонального виду.

Жордановою матрицею називається матриця виду

,

де – жорданові клітки деяких (не обов’язково різних) порядків, всі інші клітки – 0. Числа є власними значеннями оператора з матрицею .

Діагональні матриці є частинним випадком жорданових матриць (у них жорданові клітки мають порядок 1).

Знайдемо канонічний вигляд для характеристичної матриці довільної жорданової матриці порядку . Спочатку зробимо це для характеристичної матриці одної жорданової клітки порядку . Обчислюючи визначник цієї матриці і пам’ятаючи, що старший коефіцієнт многочлена має бути рівним , одержуємо, що . З другого боку, серед мінорів -го порядку матриці є мінор, рівний , а саме той, що отримується після закреслення першого стовпця і останнього рядка цієї матриці. Тому . Звідси випливає, що канонічним видом для клітки є така -матриця -го порядку: . (1)

Теорема 1. Якщо многочлени із кільця – попарно взаємно прості, то має місце така еквівалентність:

~ .

Доведення: методом математичної індукції.

Ясно, що достатньо розглянути випадок .

Оскільки многочлени – взаємно прості, то в кільці існують многочлени і , такі що . Тому ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ , що й треба довести.

Розглянемо тепер характеристичну матрицю

(2)

для жорданової матриці . Тут – одинична матриця того ж порядку, що й клітка .

Нехай жорданові клітки матриці відносяться до таких різних чисел: , де .

Нехай до числа відноситься жорданових кліток s нехай порядки цих кліток (якщо їх розмістити в незростаючому порядку) будуть . (%)

Застосовуючи елементарні перетворення до тих рядків і стовпців матриці, які проходять через клітку цієї матриці, ми не будемо зачіпати, звичайно, інших діагональних кліток. Тому в матриці (2) можна за допомогою елементарних перетворень замінити кожну клітку відповідною канонічною клітку виду (1). Іншими словами, матриця еквівалентна діагональній матриці, на діагоналі якої (крім деякої кількості одиниць) знаходяться також деякі многочлени, які відповідають всім жордановим кліткам :

(3)

Ми не вказуємо, на яких місцях на діагоналі знаходяться ці многочлени, бо в будь-якій діагональній матриці діагональні елементи можна довільно переставляти з допомогою перестановок рядків і однойменних стовпців.

Нехай – найбільше серед чисел . Позначимо через добуток многочленів, які знаходяться в -му стовпці таблиці (3) :

. (4)

Якщо при цьому в -му стовпці є порожні місця (для деяких може виявитись, що ), то відповідні множники в (4) вважаються рівними . Оскільки числа за умовою різні, то степені лінійних двочленів, що знаходяться в -му стовпці таблиці, попарно взаємно прості. Тому (на основі теореми 2) вони з допомогою елементарних перетворень можуть бути замінені в розглядуваній діагональній матриці їх добутком і деяким числом одиниць. Проробивши це для всіх , одержимо:

.

Це і буде шуканий канонічний вигляд характеристичної матриці . Дійсно, старші коефіцієнти всіх многочленів, які знаходяться на головній діагоналі, рівні , і кожний з цих многочленів націло ділиться на попередній із-за умови (%).

Наприклад: нехай .

Для цієї жорданової матриці 9-го порядку таблиця многочленів має вигляд:

.

Тому інваріантними множниками матриці будуть многочлени , тоді як .

.

Із означення подібності матриць і з побудови канонічного виду характеристичної до жорданової матриці випливає очевидний висновок: дві жорданові матриці подібні тоді і тільки тоді, якщо вони складаються із одних і тих же жордановим кліток (тобто відрізняються тільки розміщенням цих кліток вздовж головної діагоналі).

Із цього твердження випливає:

  1. жорданова нормальна форма визначається для матриці однозначно (з точністю до розміщення жорданових кліток вздовж головної діагоналі);

  2. жорданова матриця, подібна до діагональної матриці, сама діагональна;

  3. дві діагональні матриці подібні тоді і тільки тоді, якщо вони отримуються одна з одної перестановкою чисел, які знаходяться на головній діагоналі.

Необхідна і достатня умова зведення матриць до жорданової нормальної форми.

Теорема 2. Кожна квадратна матриця порядку з елементами з поля зводиться в полі до жорданової нормальної форми тоді і тільки тоді, якщо всі характеристичні корені матриці знаходяться в самому основному полі .

Доведення:

Необхідність.

Якщо матриця зводиться до жорданової нормальної форми, тобто подібна жордановій матриці , то ці дві матриці володіють одними і тими ж характеристичними коренями, бо характеристичні матриці еквівалентні. Характеристичні корені матриці шукаються без труднощів: оскільки визначник матриці дорівнює добутку її елементів, що знаходяться на головній діагоналі, то многочлен розкладається над полем на лінійні множники і його коренями служать числа , що знаходяться на головній діагоналі матриці , і тільки вони (а вони є елементами поля ). Тобто характеристичні корені матриці теж належать .

Достатність.

Нехай всі характеристичні корені матриці знаходяться в самому полі . Нехай нерівні інваріантні множники матриці будуть (5), то .

Дійсно, визначник матриці і її канонічної матриці можуть відрізнятися один від одного тільки сталим множником, який насправді дорівнює , оскільки саме такий старший коефіцієнт характеристичного многочлена . Таким чином,

  • серед многочленів (5) немає рівних 0;

  • сума степенів цих многочленів рівна ;

  • всі вони розкладаються над полем на лінійні множники (тому, що за умовою многочлени володіє таким розкладом).

Нехай (4) будуть розклади многочленів (5) в добутки степенів лінійних множників. Назвемо елементарними дільниками многочлена відмінні від степені різних лінійних двочленів, які входять в його розклад (4), тобто . Елементарні дільники всіх многочленів (5) називаються елементарними дільниками матриці і випишемо їх у вигляді таблиці (3).

Утворимо тепер жорданову матрицю порядку , складену із жордановим кліток, які визначаються так: кожному елементарному дільнику матриці ставимо у відповідність жорданову клітку порядку , яка відноситься до числа . Очевидно, що нерівними 1 інваріантними множниками матриці nt; будуть многочлени (5) і тільки вони. Тому матриці і еквівалентні і, значить, матриця подібна жордановій матриці .

Наприклад: нехай дана матриця . Зводячи звичайним способом матрицю до канонічного виду, одержимо, що нерівними інваріантними множниками цієї матриці будуть многочлени і . Ми бачимо, що матриця зводиться до жорданової нормальної форми навіть в полі раціональних чисел. Її елементарними дільниками є многочлени , а тому жордановою нормальною формою матриці є матриця .

Необхідна і достатня умова зведення матриць до діагонального виду.

На основі отриманих результатів може бути сформульована, нарешті, необхідна і достатня умова звідності матриць до діагонального виду.

Теорема 3. Матриця порядку з елементами з поля зводиться до діагонального виду тоді і тільки тоді, якщо усі її характеристичні корені (або всі корені останнього інваріантного множника її характеристичної матриці) знаходяться в полі , причому серед цих коренів нема кратних.

Доведення: дійсно, звідність матриці до діагонального виду рівносильна звідності до такого жорданового виду, всі жорданові клітки якого мають порядок . Іншими словами, всі елементарні дільники матриці повинні бути многочленами 1-го степеня. Оскільки, однак, всі інваріантні множники матриці являються дільниками многочлена , то остання умова рівносильна тому, що всі елементарні дільники многочлена мають степінь , що й треба довести.

5

Соседние файлы в папке ЛінАлгебра