Лекція 9 Евклідові простори

§1. Основні поняття

А) Скалярний добуток

Введемо у векторному просторі спосіб вимірювання довжин векторів і кутів між ними. Для цього використаємо поняття скалярного добутку.

У звичайному тривимірному просторі скалярним добутком двох векторів називається добуток їх довжин, помножений на косинус кута між ними. Для векторів х та у їх скалярний добуток позначається (х, у). Отже,

(x, y)=(x,y).

Властивості:

1. x, y V [(x, y)=(y, x)]. В комплексному просторі (х, у)=

2. x, y V , [(αx, y)=α(x, y)].

3. x, y, z V [(x+y, z)=(x, z)+(y, z)].

4. x V [(x, x) ≥ 0, причому із (х, х)=0 випливає х=0].

У векторному просторі V вважається заданим скалярний добуток, якщо кожній парі векторів x, y V поставлено у відповідність число (х, у) так, що виконуються умови 1-3.

Векторний простір, в якому заданий скалярний добуток, який задовольняє умовам 1 - 4, називаєтьсяевклідовим простором.

Із рівностей 1-3 випливають співвідношення:

2′. (x, αy)=(αy, x)=α(y, x)=α(x, y).

3′. (z, x+y)=(x+y, z)=(x, z)+(y, z)=(z, x)+(z, y).

Приклад.

Якщо вп -вимірному векторному просторі вибрано деякий базисe=(e₁,e₂,…,e_n), в якому векторихтаумають наступні розклади:

x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n,

y=y₁e₁+y₂e₂+…+y_ne_n,

то їх скалярний добуток визначається рівністю:

(x,y)=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n

(властивості 1-4 перевіряються безпосередньо).

Довжиноювекторахназивається корінь квадратний із його скалярного квадрата:

Кут між векторамихтаувизначається рівністю

.

Нерівність Коші-Буняковського.

або.

Доведення.

Якщо α– довільне дійсне число , то для векторах-αу(із умови 4) маємо

(х-αу, х-αу) ≥ 0,

звідки (із 1-3)отримаємо:

(х,х)-2α(х,у)+α²(у,у) ≥ 0.

Отримано квадратний тричлен відносно α. Оскільки він має бути невід’ємним при всіхα, то його дискримінант недодатний, тобто

що й треба довести. ▲

Очевидним є те, що рівність досягається (умова 4) тільки при х-αу=0, тобтох = αу (векторихтаупропорційні).

Нерівність Коші-Буняковського підтверджує правомірність користування формулою для знаходження cos , оскільки

Вектори хтау, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаютьсяортогональними.

Б) Ортонормований базис

Базис е₁,е₂,...,е_певклідового простору називаєтьсяортогональним, якщопри.

Якщо, крім того, приі=1,2,...,п, то базис називаєтьсяортонормованим.

Теорема1.Ортонормована система векторів лінійно незалежна.

Доведення.

Нехай ненульові вектори х₁,х₂,...,х_kпопарно ортогональні:(х_і,x_j)=0 при Розглянемо рівність

α₁х₁+α₂х₂+...+α_kx_k=0.

Помножимо обидві частини скалярно на х_і,і=1, 2,...,k. Отримаємо

α₁(х₁,х_і)+α₂(х₂,х_і)+...+ α_k(x_k,x_i)=0,

звідки із врахуванням (x_i,x_j)=0притапри всіхі=1,2,...,k) випливає, щоα_і=0приі=1,2,...,k, що й треба довести. ▲

Теорема2. В кожному евклідовому просторі існують ортонормовані базиси.

Доведення.

Нехай е₁,е₂,...,е_п– довільний базис просторуV. Покладемоf₁=e₁іf₂=e₂+αf₁, причомуαпідберемо так, щоб векториf₁іf₂були ортогональними:(е₂+αf₁,f₁)=(e₂,f₁)+α(f₁,f₁)=0, звідки.

Оскільки , то знаменникІз лінійної незалежності векторівe₁=f₁таe₂випливає, що

Припустимо тепер, що попарно ортогональні ненульові вектори

f₁, f₂, …, f_k-1 вже знайдені. Покладемо

f_k=β₁f₁+β₂f₂+…+β_k-1f_k-1+e_k

і підберемо числа β₁,β₂,...,β_k-1так, щоб векторf_kбув ортогональним до

f₁,f₂,…,f_k-1. Для цього потрібно, щоб виконувались рівності

(f_k,f_i)=β_i(f_i,f_i)+(e_k,f_i)=0

при і=1,2,...,k-1, звідки

.

Знаменник , оскільки всі векториза припущенням. Оскільки векторие₁,е₂,...,е_kлінійно незалежні, то і отриманий векторf_k теж буде ненульовим.

Такий процес продовжуватимемо доти, поки не знайдемо останнього ненульового вектора

f_n=γ₁f₁+γ₂f₂+…+γ_n-1f_n-1+e_n,

ортогонального до всіх попередніх векторів f₁,f₂, …,f_n-1. Згідно теореми 1 ортогональні векториf₁,f₂,…,f_nлінійно незалежні і, отже, утворюють ортогональний базис. Якщо кожний із цих векторів поділити на його модуль, то отримаємо ортонормований базис, утворений векторами

▲

Описаний спосіб отримання ортонормованої системи векторів із заданої лінійно незалежної системи називають процесомортогоналізації.

Якщо V₁– підпростірVіе₁,е₂,...,е_k– ортонормований базисV₁, то векторие₁,е₂,...,е_kможна включити в ортонормований базис всього просторуV. Дійсно, для доведення достатньо доповнитие₁,е₂,...,е_kдо базису просторуVі здійснити ортогоналізацію отриманої множини векторів, починаючи із

е₁,е₂,...,е_k.