lekcii / lec3
.docЛекція 3
Комплексні числа
1.Основні поняття
Протягом всього курсу алгебри декілька разів відбувається збагачення запасу чисел. Зокрема, множина Z цілих чисел була розширена множиною Q раціональних чисел, та, в свою чергу, множиною R дійсних чисел. Необхідність таких розширень грунтується на відсутності в попередніх множинах розв’язків певних типів рівнянь. Так, в першому випадку це були, наприклад, рівняння ax=b, де а,bZ, в другому – рівняння axn=b, де a,bQ, nN. Ще один тип рівнянь, зокрема, х2+1=0, змушує розширити множину дійсних чисел, оскільки в ній коренів цього рівняння не існує.
В ролі елементів нової множини чисел виберемо точки площини. Нехай на площині вибрана прямокутна система координат. Точки площини позначатимемо буквами α,β,γ,… і записуватимемо точку α з абсцисою а і ординатою b через α = (a,b).
Сумою точок α = (a,b) і β = (c,d) назвемо точку α+β з абсцисою а+с і ординатою b+d, тобто
α+β = (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d).
Добутком цих же точок назвемо точку α·β з абсцисою ас-bd і ординатою ad+dc, тобто
α·β = (a,b)·(c,d) = (ac-bd, ad+bc).
Пряма перевірка підтверджує, що множина точок площини із вибраними таким чином операціями додавання і множення утворює поле. Це числове поле (в якому числа зображаються точками площини) названо полем комплексних чисел. Якщо точці (а,0) осі абсцис поставити у відповідність дійсне число а, то отримається взаємно однозначна відповідність (ізоморфізм) між точками осі абсцис і множиною дійсних чисел, причому операції додавання і множення точок осі абсцис і дійсних чисел аналогічні.
(а,0)+(b,0) = (a+b,0),
(а,0)·(b,0) = (ab,0).
Тому не розрізнятимемо точку (а,0) та дійсне число а і вважатимемо (а,0) = а. Отже, поле комплексних чисел містить підмножину точок осі абсцис, ізоморфну полю дійсних чисел, тобто є його розширенням.
Покажемо, що це розширення містить корені рівняння х2+1=0, тобто елемент, квадрат якого рівний -1. Розглянемо точку (0,1), яка лежить на осі ординат на відстані 1 вгору від початку координат, і знайдемо її квадрат: (0,1)·(0,1) = (-1,0) = -1. Позначають точку (0,1) буквою і. Отже, і2 = -1.
Отримаємо для побудованих комплексних чисел звичайний запис:
(a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+b·(0,1) = a+bi.
Ця форма запису комплексного числа називається алгебраїчною.
В записі комплексного числа число а називають його дійсною частиною (позначають Reα), а число bi – його уявною частиною (позначають Imα).
Площина, точки якої ототожнені з комплексними числами, названа комплексною площиною, вісь абсцис – дійсною віссю, вісь ординат – уявною віссю.
Число = a-bi, яке відрізняється від = a+bi тільки знаком при уявній частині, називається числом, спряженим з . Геометрично спряжені числа є точками, розміщеними симетрично відносно дійсної осі.
-bi
a bi
§2. Дії над комплексними числами
-
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.
-
(a+bi) – (c+di) = (a – c) + (b – d)i.
-
(a+bi)(c+di) = (ac – bd) + (ad+ bc)i.
-
= = + i.
-
= .
-
= +.
-
= - .
-
= ·.
-
= . Доведення всіх формул здійснюється безпосередньо.
+
α
= a+bi, β
= c+di.
0 с а d b
Із малюнка видно, що додавання комплексних чисел геометрично здійснюється за правилом паралелограма (аналогічно віднімання – за правилом трикутника).
Оскільки комплексні числа розміщені не на одній прямій, то їх не можна впорядкувати з допомогою понять “більше” і “менше”, тому поле комплексних чисел невпорядковане.
в) Тригонометрична форма комплексного числа
Положення точки на комплексній площині може бути задане як декартовими координатами а, b (α=a+bi), так і її полярними координатами: відстанню r від початку координат до точки і кутом між додатнім напрямом осі абсцис і напрямом із початку координат на цю точку.
0 b α r
a
Число r називають модулем числа (позначається ), а кут - аргументом числа (позначається arg). Зв’язок між декартовими та полярними координатами має вигляд: a = rcos, b = rsin.
Звідси r = .
Запис числа α в полярних координатах є таким:
α = a+bi = rcos+(rsin)i, тобто
α = r(cos+isin).
Ця форма запису комплексного числа називається тригонометричною.
Приклад.
Число α = 1 + і в тригонометричній формі виглядає так:
α = (cos+isin).
Знайдемо добуток двох комплексних чисел α = r (cos+isin) та
β = .
Отже: , тобто
модуль добутку комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників;
, тобто
аргумент добутку комплексних чисел дорівнює сумі аргументів співмножників.
Ці правила поширюються на довільну кількість співмножників.
Аналогічні правила мають місце і для частки . Нехай β ≠ 0.
звідки випливає, що
модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника,
аргумент частки дорівнює різниці аргументів діленого і дільника.
Із того, що 1=1+і∙0=cos0+isin0, і при α=r(cos+isin)≠ 0 отримаємо
α-1=r-1[cos(-)+isin(-)].
§3. Піднесення до степеня і добування кореня
а) Піднесення до степеня
При цілому додатньому n для числа, поданого в тригонометричній
формі, має місце так звана формула Муавра піднесення його до степеня:
тобто при піднесенні комплексного числа до степеня модуль підноситься до цього степеня, а аргумент множиться на показник степеня.
Доводиться формула Муавра методом математичної індукції. Випадок n=2 випливає із доведеної вище формули добутку двох комплексних чисел. Із припущення правильності формули для n=k, тобто
розглянемо випадок n=k+1:
що і треба було довести.▲
Формула Муавра правильна і для цілих невід’ємних показників. Дійсно, оскільки , то достатньо застосувати формулу Муавра до числа , тригонометрична форма якого відома:
.
Приклад.
б) Добування кореня
Розглянемо тепер добування кореня n-го степеня із комплексного числа Це означає, що потрібно знайти таке комплексне число , що .
Згідно формули Муавра ()n = r, звідки
,
де в правій частині знаходиться однозначно визначене додатне значення кореня. Оскільки кути та можуть відрізнятися на ціле кратне , то = +k, звідки
.
Таким чином,
,
де k = 0,1,2,…, n-1 (оскільки при інших значеннях k корені будуть повторюва-тись).
Кут можна записати і так: , де k=0,1,2,…, n-1.
Отже, добування кореня n-го степеня із комплексного числа α завжди можливе і дає n різних значень. Всі ці значення розміщені на колі радіуса з центром в нулі і ділять коло на n рівних частин.
в) Корені з одиниці
Випадок добування кореня n-го степеня із числа 1 є особливо важливим. Оскільки 1=cos0+isin0, то
, k = 0,1,2,…,n-1.
На комплексній площині корені n-го степеня з одиниці розміщені на колі одиничного радіуса і ділять його на n рівних дуг, один із коренів рівний 1 (при k=0).
Приклад.
має два значення: 1 і -1. має три значення: . має чотири значення: 1, і, -1, -і.
Всі значення кореня n-го степеня із комплексного числа α можна отримати множенням одного із цих значень на всі корені n-го степеня із одиниці.
Дійсно, якщо β – одне із значень , тобто =α, а - довільне значення , тобто , то , тобто теж буде одним із значень для . Множачи β на кожний із коренів n-го степеня з одиниці, отримаємо всі n різних значень коренів n-го степеня з α.
Добуток двох коренів n-го степеня із одиниці сам є коренем n-го степеня із одиниці. Дійсно, якщо і , то
Число, обернене до кореня n-го степеня з 1, само є коренем n-го степеня з одиниці. Дійсно, якщо , то із випливає , тобто .
Із цих двох тверджень випливає, що довільний степінь кореня n-го степеня з одиниці також є коренем n-го степеня з одиниці.
Згідно формули Муавра, .
Для кожного n існують такі корені n-го степеня з одиниці, які не є коренями із одиниці ніякого меншого степеня. Такі корені називаються первісними коренями n-го степеня з одиниці.
Якщо є первісним коренем n-го степеня з одиниці, то число тоді і тільки тоді буде первісним коренем n-го степеня, коли (k,n)=1. Це означає, що первісними є тільки ті корені , для яких (k,n)=1. Це, зокрема, і .
Доведемо сформульоване твердження. Позначимо (k,n) = d.
Нехай d>1. Тоді , , звідки , тобто корінь виявився коренем -го степеня із одиниці.
Нехай d=1 і нехай є коренем m-го степеня із одиниці, де 1≤ m < n.
Тоді . Оскільки – первісний корінь n-го степеня із одиниці, то n , звідки k з n не є взаємно простими, що суперечить припущенню.▲
Якщо n – просте число, то первісними коренями n-го степеня з одиниці є всі корені, крім самої одиниці.