Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
lekcii / lection8.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
14.02.2016
Размер:
453.12 Кб
Скачать

Лекція 8

Векторні простори

§1. Основні поняття а) Означення

Множина V елементів x, y, z,називається лінійним, або векторним, простором, якщо сума х+у довільних двох її елементів х, у і добуток αх кожного її елемента х на будь-яке число α теж належать множині V, причому виконуються наступні умови:

  1. 0 – називають нульовим елементом.

  2. х називають елементом, протилежним до х.

  3. х=х.

Елементи векторного простору називають векторами.

Приклади векторних просторів.

  1. Множина многочленів не вище п-го степеня з дійсними коефіцієнтами.

  2. Множина розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь.

  3. Множина всеможливих рядків, які містять п дійсних чисел.

Якщо в просторі V визначено множення його елементів на дійсні (комплексні) числа, то V називають дійсним (комплексним) векторним простором.

Із означення векторного простору випливають наступні властивості.

  1. Єдиність нуля.

Якщо припустити існування двох нульових елементів 01 і 02, то із 01+02=01 та 02+01=02 і того, що 01+02=02+01, випливає 01=02.

  1. Єдиність протилежного елемента.

Якщо припустити існування двох протилежних до х елементів y та z, таких, що х+у=0 і х+z=0, то із

y+x+z=y+(x+z)=y+0=y та

y+x+z=(y+x)+z=0+z=z

випливає y=z.

Дійсно, Додавши до обох частин рівностіотримаємо

Дійсно, Додавши до обох частин рівностіотримаємо

  1. Якщо добуток αх=0, то або α=0, або х=0.

Дійсно, якщо то

  1. є протилежним до х.

Дійсно, х+(-1)х=1·х+(-1)х=[1+(-1)]x=0·x=0, звідки (-1)х= -х.

Б) Розмірність і базис

Вектори а1, а2,,аk векторного простору V називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа одночасно не рівні нулю, що

В іншому випадку вектори називають лінійно незалежними.

Якщо вектори а1,а2,,аk лінійно залежні, тобто , і, наприклад,то

тобто

де

Це означає, що вектор аk є лінійною комбінацією решти векторів системи. Отже, якщо вектори а1, а2,,аk лінійно залежні, то, принаймні, один із них лінійно виражається через решту. Ясно, що справедливе і зворотнє твердження.

Максимальна кількість лінійно незалежних векторів системи векторів а1, а2,,аk називається рангом цієї системи. Позначають rank{ а1, а2,,аk}.

Довільна матриця містить дві системи векторів:

систему векторів – рядків {а1,а2,,аm} і систему векторів – стовпчиків

, де аі=(аі1,аі2,,аіп), і=1,2,,m, ,j=1,2,,n.

Ранг системи рядків довільної матриці А дорівнює рангу її стовпчиків і називається рангом матриці А. Позначається rankA або r(A).

Таким чином, для знаходження рангу матриці досить з допомогою елементарних перетворень над рядками (стовпчиками) звести її до ступінчастого вигляду і підрахувати кількість ненульових рядків (стовпчиків), яка й дорівнюватиме кількості лінійно незалежних серед них, а, отже, рангу матриці.

Приклад.

Знайти ранг матриці.

.

Розвязання.

Зведемо матрицю А до ступінчастого вигляду з допомогою елементарних перетворень її рядків:

Отже, r(A)=3.

Розмірністю векторного простору V називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому. Позначається dimV

(від dimage-фр).

Наприклад, розмірність множини всіх векторів площини дорівнює два, розмірність множини просторових векторів – три. Простори із скінченною розмірністю називаються скінченновимірними.

Базисом простору V називають впорядковану скінченну систему векторів, якщо:

  1. вона лінійно незалежна;

  2. кожний вектор простору V є лінійною комбінацією векторів цієї системи.

Коефіцієнти даної лінійної комбінації називаються компонентамиабокоординатамивектора за цим базисом.

В заданому базисі компоненти вектора визначаються однозначно.

Дійсно, при двох заданнях вектора х в базисі а1,а2,,аk, зокрема, та, отримаємоОскільки всі коефіцієнти(бо системаа1, а2,,аk лінійно незалежна), то

В п-вимірному просторі кожна впорядкована лінійно незалежна система із п лінійно незалежних векторів є базисом. Ясно, що в п-вимірному просторі кожну впорядковану лінійно незалежну систему із k<n векторів можна доповнити до базису.

Розглянемо в просторі V два базиси: е=(е1,е2,,еп) та (перший з них назвемо старим, а другий – новим). Виразимо кожний вектор нового базису через вектори старого базису:

Можна сказати, що нові базисні вектори виражаються через старі з допомогою матриці

стовпчикамиякої є коефіцієнти їх розкладу за векторами старого базису. МатрицяАназиваєтьсяматрицеюпереходувід базисуе до базису. Матриця переходу є невиродженою, оскільки в іншому випадку її стовпчики, а, отже, і вектори, були б лінійно залежними.

Розглянемо зв’язок між координатами одного і того ж вектора в старому і новому базисах.

Нехай х1е12е2+…+хпеп і

Підставивiи замістьїх вирази черезе1,е2,,еп, отримаємо

Із єдиності розкладу вектора хза базисоме1,е2,…,еп, випливає

звідки.

Таким чином, старі координати вектора отримуються із нових з допомогою тієї ж матриці А, тільки коефіцієнти відповідних розкладів утворюють рядкицієї матриці.

Приклад.

Нехай е1, е2– одиничні вектори, розташовані вздовж осей прямокутної декартової системи координат. Повернемо осі координат на кутφпроти годинникової стрілки і позначимо нові базисні вектори черезта. Кути, утворені векторомз векторамие1 іе2, рівні відповідноφ і

(див. малюнок). Тому координати цього вектора в базисі е1, е2 рівніізначить,. Аналогічно, кути вектораз векторамие1 іе2рівні відповідноіφ, тому координати його в базисі

е1, е2рівніі, значить,

e2

φ φ

e1

Таким чином, матриця переходу від базису е1, е2до базису,матиме вигляд

Тоді старі координати виражаються через нові так:

звідки

в) Підпростори векторного простору

Підпросторомвекторного просторуVназивається сукупністьV1його елементів, яка сама є векторним простором відносно введених вVоперацій додавання і множення на число.

Для встановлення того, що деяка підмножина V1векторного просторуVє його підпростором, досить показати, що для довільних двох векторівхтауізV1їх сумах+утеж належитьV1, і що для довільного вектораі довільногодобутоктеж належитьV1. Це твердження випливає із аксіом 1, 2, 5-8 векторного простору.

Приклади.

У звичайному тривимірному векторному просторі підпросторами є всі площини і всі прямі, які проходять через початок координат.

Сам простір Vі множина із одного нульового елемента теж є підпросторами просторуV(тривіальними).

Перетиномдвох підпросторівV1іV2векторного просторуVназивається множина всеможливих векторів ізV, що належить одночасно і V1, іV2. Перетин теж є підпростором і позначається

Сумоюдвох підпросторівV1іV2називається множина векторів виглядудеСума теж є підпростором і позначаєтьсяV1+V2.

Теорема. Якщо V1 і V2 – підпростори векторного простору V, то

Доведення.

В підпросторі виберемо довільний базисе1, е2,…, еkі доповнимо його до базисуV1з одного боку:

е1, е2,,еk, fk+1,,fp(*1)

і до базису V2з другого боку:

е1, е2,,еk, gk+1,,gs(*2).

Покажемо , що вектори е1, е2,,еk, fk+1,,fp, gk+1,…,gsлінійно незалежні.

Припустимо, що ці вектори лінійно залежні:

Тоді вектор

належить одночасно і V1, іV2, а, значить, і їх перетинуАле тоді він повинен лінійно виражатись через базисні вектори підпростору:

тобто

.

Звідси і з єдиності розкладу вектора аза базисом просторуV1маємо

Тоді матимемо

звідки, із лінійної незалежності базисних векторів простору V2маємо

Отже, вектори е1, е2,,еk,fk+1,, fp, gk+1,,gsутворюють лінійно незалежну систему. Але тоді вони утворюють базис просторуV1+ V2, оскільки, якщо вектортоz=x+y, деі, значить,хлінійно виражається через (*1), ау– через (*2). Але тоді векторzлінійно виражається через вектори

е1, е2,, еk, fk+1,, fp, gk+1,,gs.

Таким чином, розмірність підпростору V1+ V2дорівнює

k+(p-k)+(s-k)=p+s-k.

Але dimV1=p, dimV2=s, Тоді

dimV1+dimV2=p+sі

що й треба довести.

Соседние файлы в папке lekcii