- •Лекція 9 Евклідові простори
- •§1. Основні поняття
- •А) Скалярний добуток
- •Б) Ортонормований базис
- •В) Скалярний добуток в координатах
- •§2. Лінійні перетворення в евклідовому просторі
- •Властивості:
- •Властивості:
- •Властивості:
- •Лекція 10 Білінійні і квадратичні функції (форми)
- •§1. Лінійна функція (форма)
- •§2. Поняття білінійної та квадратичної функції
- •§3. Зведення квадратичної форми до суми квадратів
- •§4. Закон інерції квадратичних форм
- •§5. Класифікація квадратичних форм
- •§6. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
- •§7. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду
- •Виконаємо лінійне перетворення
Лекція 9 Евклідові простори
§1. Основні поняття
А) Скалярний добуток
Введемо у векторному просторі спосіб вимірювання довжин векторів і кутів між ними. Для цього використаємо поняття скалярного добутку.
У звичайному тривимірному просторі скалярним добутком двох векторів називається добуток їх довжин, помножений на косинус кута між ними. Для векторів х та у їх скалярний добуток позначається (х, у). Отже,
(x, y)=(x,y).
Властивості:
x, y V [(x, y)=(y, x)]. В комплексному просторі (х, у)=
x, y V , [(αx, y)=α(x, y)].
x, y, z V [(x+y, z)=(x, z)+(y, z)].
x V [(x, x) ≥ 0, причому із (х, х)=0 випливає х=0].
У векторному просторі V вважається заданим скалярний добуток, якщо кожній парі векторів x, y V поставлено у відповідність число (х, у) так, що виконуються умови 1-3.
Векторний простір, в якому заданий скалярний добуток, який задовольняє умовам 1 - 4, називаєтьсяевклідовим простором.
Із рівностей 1-3 випливають співвідношення:
2′. (x, αy)=(αy, x)=α(y, x)=α(x, y).
3′. (z, x+y)=(x+y, z)=(x, z)+(y, z)=(z, x)+(z, y).
Приклад.
Якщо вп -вимірному векторному просторі вибрано деякий базисe=(e1,e2,…,en), в якому векторихтаумають наступні розклади:
x=x1e1+x2e2+…+xnen,
y=y1e1+y2e2+…+ynen,
то їх скалярний добуток визначається рівністю:
(x,y)=x1y1+x2y2+…+xnyn
(властивості 1-4 перевіряються безпосередньо).
Довжиноювекторахназивається корінь квадратний із його скалярного квадрата:
Кут між векторамихтаувизначається рівністю
.
Нерівність Коші-Буняковського.
або.
Доведення.
Якщо α– довільне дійсне число , то для векторах-αу(із умови 4) маємо
(х-αу, х-αу) ≥ 0,
звідки (із 1-3)отримаємо:
(х,х)-2α(х,у)+α2(у,у) ≥ 0.
Отримано квадратний тричлен відносно α. Оскільки він має бути невід’ємним при всіхα, то його дискримінант недодатний, тобто
що й треба довести. ▲
Очевидним є те, що рівність досягається (умова 4) тільки при х-αу=0, тобтох = αу (векторихтаупропорційні).
Нерівність Коші-Буняковського підтверджує правомірність користування формулою для знаходження cos , оскільки
Вектори хтау, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаютьсяортогональними.
Б) Ортонормований базис
Базис е1,е2,...,епевклідового простору називаєтьсяортогональним, якщопри.
Якщо, крім того, приі=1,2,...,п, то базис називаєтьсяортонормованим.
Теорема1.Ортонормована система векторів лінійно незалежна.
Доведення.
Нехай ненульові вектори х1,х2,...,хkпопарно ортогональні:(хі,xj)=0 при Розглянемо рівність
α1х1+α2х2+...+αkxk=0.
Помножимо обидві частини скалярно на хі,і=1, 2,...,k. Отримаємо
α1(х1,хі)+α2(х2,хі)+...+ αk(xk,xi)=0,
звідки із врахуванням (xi,xj)=0притапри всіхі=1,2,...,k) випливає, щоαі=0приі=1,2,...,k, що й треба довести. ▲
Теорема2. В кожному евклідовому просторі існують ортонормовані базиси.
Доведення.
Нехай е1,е2,...,еп– довільний базис просторуV. Покладемоf1=e1іf2=e2+αf1, причомуαпідберемо так, щоб векториf1іf2були ортогональними:(е2+αf1,f1)=(e2,f1)+α(f1,f1)=0, звідки.
Оскільки , то знаменникІз лінійної незалежності векторівe1=f1таe2випливає, що
Припустимо тепер, що попарно ортогональні ненульові вектори
f1, f2, …, fk-1 вже знайдені. Покладемо
fk=β1f1+β2f2+…+βk-1fk-1+ek
і підберемо числа β1,β2,...,βk-1так, щоб векторfkбув ортогональним до
f1,f2,…,fk-1. Для цього потрібно, щоб виконувались рівності
(fk,fi)=βi(fi,fi)+(ek,fi)=0
при і=1,2,...,k-1, звідки
.
Знаменник , оскільки всі векториза припущенням. Оскільки векторие1,е2,...,еkлінійно незалежні, то і отриманий векторfk теж буде ненульовим.
Такий процес продовжуватимемо доти, поки не знайдемо останнього ненульового вектора
fn=γ1f1+γ2f2+…+γn-1fn-1+en,
ортогонального до всіх попередніх векторів f1,f2, …,fn-1. Згідно теореми 1 ортогональні векториf1,f2,…,fnлінійно незалежні і, отже, утворюють ортогональний базис. Якщо кожний із цих векторів поділити на його модуль, то отримаємо ортонормований базис, утворений векторами
▲
Описаний спосіб отримання ортонормованої системи векторів із заданої лінійно незалежної системи називають процесомортогоналізації.
Якщо V1– підпростірVіе1,е2,...,еk– ортонормований базисV1, то векторие1,е2,...,еkможна включити в ортонормований базис всього просторуV. Дійсно, для доведення достатньо доповнитие1,е2,...,еkдо базису просторуVі здійснити ортогоналізацію отриманої множини векторів, починаючи із
е1,е2,...,еk.