Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Геометрія ( 1 курс) - лекції / лекції з анал. геом. 3.doc
Скачиваний:
55
Добавлен:
14.02.2016
Размер:
1.74 Mб
Скачать

91

Будемо вважати, що . Якщо, то шукане геометричне місце точок утворювало б два промені, які доповнюють відрізокF1F2 до прямої. Якщо , то шукана множина точок буде порожньою, що випливає з нерівності трикутника. Очевидно також, щоa>0 При а=0 ми розглядали б точки, рівновіддалені від точок F1 та F2, тобто серединний перпендикуляр до відрізка F1F2.

Означення 2. Множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок та є сталою. Величиною, меншою від довжини відрізка, називаєтьсягіперболою.

Точки F1 та F2 називаються фокусами гіперболи. Для виведення рівняння гіперболи виберемо прямокутну декартову систему координат так, як показано на рис.1, та припустимо, щоМ(x; y)- одна із точок шуканої множини. Згідно з означенням

. (7)

Оскільки та, то з рівності (7) дістаємо

=, (8)

звідки, звільнившись від радикала в лівій частині та звівши подібні доданки, одержуємо

(9)

Підносячи ще раз обидві частини рівності до квадрату, після очевидних спрощень дістанемо

. (10)

Оскільки c>a, то , тому, ввівши позначення, із останньої рівності отримуємо

(11)

Покажемо, що кожен розв’язок (x;y) одержаного рівняння задає точку М(x; y) на гіперболі, тобто, що для кожного розв’язку рівняння (11) виконується умова (7). Справді, із (11) дістаємо , тому

Із рівняння (11) випливає, що . Оскільки, то для додатнихх маємо , тому

, ,

а для x<0дістаємо , тому

, .

В обох випадках виконується рівність (7), тому рівняння (11) є рівнянням гіперболи. Його називають канонічним рівнянням гіперболи. Відрізки та називають фокальними радіусами точки М.

4. Парабола. Розглянемо на площині деяку пряму d та точку F, розташовану на деякій відстані p від даної прямої. Знайдемо геометричне місце точок площини, відстані від кожної із яких до даної прямої d та точки F рівні .

Означення 3. Множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної прямої d та даної точки F, називається параболою.

Точку F називають фокусом параболи, а пряму d – директрисою.

Д

γ

ля виведення рівняння параболи введемо прямокутну декартову систему координат, провівши вісь Ох через точку F перпендикулярно до прямої d та вибравши за початок координат середину відрізка, який сполучає точку F із прямою d (рис. 2). Тоді координати фокуса будуть , а рівняння прямоїd запишеться у виді .

Нехай точка М(x; y) - одна із точок параболи. Оскільки відстань від точки М до прямої d буде дорівнювати іта, згідно з означенням параболи,, то

=.

Піднісши до квадрату обидві частини рівності та спростивши вираз, дістаємо

. (12)

Таким чином показано, що координати кожної точки параболи задовольняють рівняння (12). Покажемо, що кожен розв’язок (x;y) рівняння (12) задає точку на параболі. Справді,

.

Отже, точка М(x;y) належить параболі. Як і у випадках еліпса та гіперболи відрізок MF називають фокальним радіусом точки М. Число p називають фокальним параметром параболи, а рівняння (12) – її канонічним рівнянням. Очевидно, що парабола – лінія другого порядку.

5. Наведемо приклади розв’язання задач.

Задача 1. Скласти рівняння геометричного місця точок площини, рівновіддалених від прямої та точки.

Розв’язання. Нехай М(x; y) – одна із точок шуканого геометричного місця точок. Тоді відстань від неї до прямої d буде рівна . Оскільки відстань між точкамиM та F дорівнює , то, згідно із умовою задачі, виконується рівність=, перетворюючи яку дістаємо

,

або

.

Оскільки вірні перетворення і у зворотному порядку, то одержане співвідношення є рівнянням шуканої множини точок. Відмітимо, що одержане рівняння є рівняння лінії другого порядку, а також, що дана лінія є парабола (згідно з означенням параболи).

Відповідь: .

Задача 2. Знайти координати фокусів еліпса та фокальні радіуси точок з абсцисою 2.

Розв’язання. Записавши рівняння еліпса в канонічному виді та порівнюючи його з рівнянням (6), отримаємо,. Тому, звідки,,. Скориставшись виразами для фокальних радіусів (7) та (8), дістаємо.

Відповідь

Задача 3.Вершина трикутника, який має нерухому основу, переміщається так, що периметр трикутника не змінюється. Написати рівняння лінії, по якій рухається ця вершина, якщо відомо, що основа дорівнює 24, а периметр трикутника рівний 50.

Розв’язання. Оскільки сума відстаней від рухомої вершини до кінців нерухомої основи не змінюється, то траєкторією руху буде еліпс. Якщо вісь Ox направити вздовж основи, а вісь Oy провести через середину основи, перпендикулярно до осі Ox, то в одержаній системі координат рівняння траєкторії третьої вершини матиме вигляд . За змістом задачі, тому,.

Відповідь:

Задача 4. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до двох заданих кіл, розташованих одне поза другим..

Розв’язання. Нехай коло з центром у точціта радіусомдотикається до заданих кілі, центри яких знаходяться у точкахта, а радіуси дорівнюютьта().

У випадку, коли задані кола розташовані одне поза другим і коло дотикається до заданих зовнішнім чином (рис. 3), виконується рівність

із якої, відповідно до означення гіперболи, випливає, що точка при умові, що колозмінює своє положення, рухається по одній із двох віток гіперболи.

Другу вітку гіперболи утворюють центри кіл, які дотикаються до двох заданих та містять їх всередині (рис. 3), оскільки у цьому випадку виконується рівність

.

Якщо колодотикається до одного із заданих кіл внутрішнім чином, а другого зовнішнім (рис. 4), то буде виконуватися рівність, яка показує, що центри кіл належать гіперболі. Обидві гіперболи мають фокуси, які розташовані у центрах заданих кіл, а дійсні осі у них різні: у першому випадку, а у другому. Аналогічний результат ми отримаємо, коли задані кола перетинаються. Рекомендуємо самостійно дослідити випадки, коли кола розташовані одне всередині другого та коли вони дотикаються.

Лекції 13, 14

Вивчення властивостей еліпса, гіперболи та параболи за канонічними рівняннями.

План.

1. Найпростіші властивості еліпса та його зображення.

2. Найпростіші властивості гіперболи та її зображення.

3. Властивості та зображення параболи.

4. Поняття ексцентриситету.

5. Поняття директрис. Директоріальна властивість ліній другого порядку.

6. Дотична до лінії другого порядку.

7. Оптичні властивості ліній другого порядку.

1. Як було встановлено вище, канонічне рівняння еліпса записується у вигляді

, (1)

де 2а – сума відстаней від довільної точки еліпса до фокусів F1(c;0) та F2(-c;0), c2=a2-b2.

Розглянемо деякі властивості еліпса.

Насамперед, аналізуючи рівняння (1), зробимо висновок, що для його розв’язків виконуються умови , тобто, . Одержані нерівності означають, що всі точки еліпса розташовані всередині прямокутника із сторонами 2а та 2b.

Якщо точка , то,і. Тому еліпс симетричний відносно координатних осей та початку координат.

При у=0 із рівняння (1) одержуємо . Прих=0 дістаємо . Отже, еліпс перетинає вісьу точкахта, а вісь─ у точках,. Ці чотири точки називаютьвершинами еліпса. Відрізки таназивають відповідновеликою та малою осями еліпса. Точку їх перетину О називають центром еліпса. Відрізки ОА1=ОА2=а та ОВ1=ОВ2=b називають відповідно великою та малою півосями еліпса.

Враховуючи симетричність еліпса, дослідимо його форму за допомогою виразу, який визначає рівняння еліпса у першій чверті. Оскільки,та обидва вирази привід’ємні, то у першій чверті графік еліпса при зростаннівід 0 доа спадає від точки до точки, залишаючись опуклим вверх.

Зображення еліпса наведено на рисунку 1.

Розглянемо лінію, задану параметричними рівняннями

, ,. (2)

Оскільки

,

то дані рівняння теж задають еліпс. Їх називають параметричними рівняннями еліпса. Покажемо, як за допомогою рівняннь (2) будувати точки еліпса. Побудуємо два кола з центром в точці О, радіуси яких та (і через точкуО проведемо деякий промінь, який утворює з додатнім напрямком осі кут(рис. 2). Нехай цей промінь перетинає велике та мале кола в точках,відповідно. Через точкупроведемо пряму, паралельну до осі, а через точку- пряму, паралельну до осі. Точка їх перетинуналежить еліпсу, оскільки,.

2. Розглянемо деякі властивості гіперболи. Канонічне рівняння гіперболи було одержано у виді рівняння

, (2)

де 2а – модуль різниці відстаней від довільної точки гіперболи до фокусів F1(c;0) та F2(-c;0), c2a2+b2.

Очевидно, що для розв’язків рівняння (2) виконується умова . Це означає, що точки гіперболи розташовані в півплощинах, які задаються нерівностямита. Аналогічно, як для еліпса, встановлюємо, що гіпербола симетрична відносно початку координат та координатних осей.

Гіпербола перетинає тільки одну із координатних осей, а саме вісь у двох точках:та. Ці точки називаютьвершинами гіперболи, а відрізок –їїдійсною віссю. Вісь гіпербола не перетинає, оскільки рівнянняне має розв’язків. Відрізок, де точкитарозташовані на осіна відстанівід осі, називаютьуявною віссю. Число називаютьдійсною, а число -уявною піввіссю гіперболи. Центр симетрії гіперболи (точку ) називаютьцентром гіперболи.

Дослідимо форму та побудуємо графік гіперболи. Для цього, враховуючи симетричність лінії, розглядатимемо тільки першу координатну чверть, де, як легко одержати із (2), рівняння гіперболи має вигляд . Оскільки,, то при,. Отже, графік гіперболи зростає при, починаючи від точкиА1 та опуклий вверх.

Розглянемо, як у першій чверті точки гіперболи розташовані відносно прямої . Для цього через довільну точкупроведемо вертикальну пряму до перетину з прямоюв деякій точціта обчислимо різницю ординат точокN та M (рис. 3). Дістаємо

Оскільки різниця додатна, то точки прямої розташовані вище від точок гіперболи. При нескінченному зростанні абсциси х точки М дана різниця прямує до 0, тому точки гіперболи необмежено наближаються до прямої.

Якщо точки деякої лінії необмежено наближаються до певної прямої, рухаючись у, то цю пряму називаютьасимптотою лінії.

Виконані дослідження дозволяють зобразити гіперболу (рис. 4).

Прямі , які використовувались при зображенні гіперболи, називаютьсяасимптотами гіперболи.

Гіпербола, півосі якої рівні (), називаєтьсярівносторонньою. Її канонічне рівняння має вигляд:

.

У новій системі координат, осі якої співпадають із асимптотами, які у випадку рівносторонньої гіперболи, є перпендикулярними, таку гіперболу можна задати рівнянням , а її графік буде графіком функції оберненої пропорційності.

Більш детально питання про те, як змінюється рівняння лінії при переході до нової системи координат, буде розглянуто в лекції 21.

Параметричні рівняння гіперболиможна задати у вигляді рівностей

, ,,

де (гіперболічний косинус),(гіперболічний синус). Можливі також інші варіанти параметричного задання гіперболи, наприклад,

, ,.

Для побудови точок гіперболи можна скористатись наступним прийомом. Будуємо коло довільного радіуса з центром у точці та коло з центром у точці, радіус якого набільший за радіус попереднього кола. Очевидно, що точки перетину побудованих кіл будуть належати гіперболі, оскільки відстані від них до центрів кіл відрізняються на.

3. Розглянемо канонічне рівняння параболи

. (3)

Нагадаємо, що p –це відстань від фокуса параболи - точки до директриси, рівняння якої . Розглянемо деякі властивості параболи, які випливають із її рівняння.

Оскільки , то, отже, парабола розташована у правій відносно осіпівплощині.

Якщо точканалежить параболі, то точка теж належить даній лінії, тобто парабола симетрична відносно осі . Дану пряму називаютьвіссю параболи. Існує єдина точка перетину параболи з координатними осями – точка . Її називаютьвершиною параболи.

У першій координатній чверті рівняння параболи задається рівнянням . Дана функція монотонно зростає, залишаючись опуклою вверх, оскільки вирази для її похідних при

, .

Проведені міркування дозволяють побудувати зображення параболи (рис. 5).

Параметричні рівняння параболи можна задати у вигляді рівнянь ,,. Точки параболи можна будувати наступним чином. Будують коло з центром у точціF радіусом R>та на відстаніR від директриси у півплощині, яка містить точку , проводять паралельну до неї пряму. Точки перетину побудованих кола та прямої належать параболі.

4. Число називаютьексцентриситетом еліпса та гіперболи. Нагадаємо, що число дорівнює відстані між фокусами,а – велика піввісь еліпса або дійсна піввісь гіперболи. Для еліпса , тому його ексцентриситет менший від 1. Для гіперболи, отже,. Ексцентриситет параболи за означенням приймають рівним 1. Підставою для такого означення є так звана директоріальна властивість еліпса та гіперболи, яку ми розглянемо у наступному пункті. Дослідимо, як залежить від зміни ексцентриситету форма лінії.

Для еліпса , тому. Якщо, то, тобто за формою еліпс наближається до кола. Якщо, то, тобто еліпс стискається до осі.

Для гіперболи , тому. Якщо, то, тобто асимптоти утворюють з віссюОх все менший кут: гіпербола стискається до осі Ох. Якщо , то. У цьому випадку кут між асимптотами прямує до розгорнутого, а гіпербола стає все більш “витягнутою” вздовж осі.

5. Директрисою параболи ми називали пряму, задану рівнянням.Директрисами еліпса та гіперболи, які задані рівняннями (1) та (2), називають прямі .

Для еліпса , тому, а для гіперболи, тому, отже, дані прямі не перетинають вказані лінії. Будемо називати директрисуd відповідною фокусу F, якщо вони лежать в одній півплощині відносно осі .

Теорема. Відношення відстаней від довільної точки еліпса або гіперболи до фокуса та відповідної директриси є стала величина, яка дорівнює ексцентриситету.

Д

Рис. 7

оведення
. Доведемо теорему у випадку еліпса (для гіперболи доведення аналогічне). Враховуючи симетричність еліпса, розглянемо випадок правого фокуса F1(c;0) та відповідної директриси , рівняння якої(рис. 7). Нехай– довільна точка еліпса. Тоді, враховуючи (8), дістаємоMF1=. Відстань від точкиМ до директриси d буде . При розкритті модуля враховано, щота, звідки. Отже,. Теорема доведена.

Для параболи (враховуючи означення) відношення відстаней від її довільної точки до фокуса та до директриси рівне 1. Це обґрунтовує той факт, що ексцентриситет параболи приймають рівним 1. Властивість, яка виражається у виді доведеної теореми, називають директоріальною властивістю ліній другого порядку (еліпса, гіперболи, параболи).

6. Нехай на площині задано деяку лінію та— довільна точка на ній. Січна() при русі точкипобуде змінювати своє положення.

Граничне положення січної , коли точка, рухаючись по, необмежено наближається до точки, називаютьдотичною до лінії у точці(на рис.8 - пряма), а точкуназивають точкою дотику

Із курсу математичного аналізу відомо, що якщо лінія задана рівнянням, а функціядиференційовна в точці, то рівняння дотичної до лінії в точцізапишеться у виді

. (4)

С

Рис. 9

кладемо рівняння дотичноїдо еліпса:у деякій точці(рис. 9). Нехайта. Тоді рівняння еліпса можна задати співвідношенням. Скориставшись рівністю (4), дістаємо рівняння дотичної у видіабо. Оскільки, то виконується рівність . Тому після нескладних перетворень одержане рівняння дотичної можна записати у виді

. (5)

Аналогічне співвідношення отримуємо у випадку , коли рівняння еліпса запишеться у виді. У випадку, коли(тодіне існує і скористатись попередніми міркуваннями не можна) рівняння дотичних запишуться у виді, що є частинним випадком співвідношення (5). Доведення останнього твердження можна здійснити аналогічно, записавши рівняння еліпса у виді. Отже, в усіх випадках рівняння (5) єрівнянням дотичної до еліпса у точці .

Рівняння дотичної до гіперболи :у точцізапишеться у виді

. (6)

Доведення аналогічне до попереднього.

Розглянемо параболу , задану рівнянням, абота точку. Скориставшись рівнянням дотичної у виді

,

дістаємо , або, оскільки, то

. (7)

Співвідношення (7) є рівнянням дотичної до параболи у заданій на ній точці .

Покажемо простий шлях побудови дотичної до параболи, якщо задане зображення параболи та точка дотику. Нехай дотична до параболи, рівняння якої , перетинає вісьОу у точці . Тоді, або. Це означає, що для побудови дотичної досить провести пряму через точку дотику та точкуна осі.

7. До числа найбільш цікавих властивостей еліпса, гіперболи та параболи відносяться їх так звані оптичні властивості. Ці властивості фактично обґрунтовують фізичне походження назви “фокуси”. Сформулюємо та доведемо ці властивості.

Оптична властивість еліпса. Промені світла, які виходять із фокуса дзеркального еліпса та відбиваються від нього, проходять через другий фокус.

Оптична властивість гіперболи. Промені світла, які виходять із фокуса дзеркальної гіперболи та відбиваються від неї, поширюються по променях, які належать прямим, що проходять через другий фокус.

Оптична властивість параболи. Промені світла, які виходять із фокуса дзеркальної параболи та відбиваються від неї, поширюються по променях, які паралельні до осі параболи.

Для доведення цих властивостей достатньо довести, що дотична, проведена у точці , яка належить лінії, утворює однакові кути із фокальними радіусами у випадку еліпса та гіперболи, а у випадку параболи – однакові кути з фокальним радіусом та віссю параболи (рис. 10 та рис. 11).

Спочатку доведемо оптичну властивість еліпса. Нехай дана лінія задана канонічним рівнянням, а також- деяка точка на еліпсі. Рівняння дотичної, проведеної в точці, як ми знаємо, запишеться у виді. Фокуси еліпса будуть розташовані у точкахта. Нехай вектор, який перпендикулярний до дотичної, утворює із векторамитавідповідно кутита. Тоді

.

Аналогічно,

.

Зауважимо, що при виконанні перетворень попередніх виразів було використано відомі нам із попередньої лекції вирази для фокальних радіусів еліпса, а саме ,. Оскільки. то, що доводить оптичну властивість еліпса.

Доведення оптичної властивості гіперболи виконується аналогічно.

Розглянемо доведення оптичної властивості параболи. Нехай – рівняння параболи, точка– фокус, точка– точка на параболі. Тоді рівняння дотичної у точцізапишеться у виді. Для доведення того, що дотична утворює однакові кути із фокальним радіусомта віссюОх, покажемо, що вектор нормалі дотичної утворює однакові кути з векторомта вектором, який паралельний до осі. Нехайутворює кутз векторомта кутз вектором. Тоді

,

,

отже, , звідки.