3.Варіанта-змінна.

Зустрічається з величинами, що набувають одне значення або декілька. Змінну, яка приймає послідовність значень називають варіанта або числова послідовність. Змінна вважається заданою, якщо вказана множина значень, які вона приймає.

Стале число а будемо називати границею варіанти , якщо для будь-якого ε > 0 існує такий номер, який залежить тільки від ε і для всіхn більше цього номера виконується нерівність

Той факт, що а є границею варіанти, позначають так:

або просто чиНомерN залежить від вибору числа e. При зменшенні e число E буде збільшуватись.Тобто, чим більшої близькості значень варіанти до a ми вимагаємо, тим більш далекі значення її в ряду ми вимушені розглядати.

4. Нескінченно малі та нескінченно великі величини.

.Змінну будемо називатинескінченно малою, якщо усі члени починаючи з деякого номера стають за абсолютною величиною меншими наперед заданого нескінченно малого числа. Послідовність називається нескінченно малою, якщо

Властивості нескінченно малої

1)Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала

2)Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала

3)Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала

4)Відношення двох нескінченно малих величин не обов’язково є величина нескінченно мала

Змінна називаєтьсянескінченно великою, якщо усі члени починаючи з якогось номера стають за абсолютною величиною більшими наперед заданого як завгодно великого додатного числа.

Послідовність називається нескінченно великою, якщо

7.Леми про нескінченно малі:

1)Сума будь-якої скінченної кількості нескінченно малих є нескінченно мала величина.

2)Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину - є нескінченно мала величина.

Арифметичні дії над змінними

Якщо змінна має скінченну границю а, а змінна Уn має скінченну границю b, то +Уn має скінченну границю а+b.

Якщо змінна має границю а, змінна Уn має границю b, то їхній добуток також має скінченну границю a*b.

8.Якщо одна змінна прямує до нескінченності, а інша до 0, тоді кажуть, що вона невизначена.

0/0-Таку ситуацію називають невизначеністю, оскільки після знаходження границь чисельника і знаменника обидві дорівнюють нулю,

а границя усього виразу може бути як конкретним числом, так і нескінченістю або взагалі може не існувати.Знайти подібну границю означає розкрити невизначеність.Є інші види невизначеностей :

|0/0| |∞/∞| |∞-∞| |1^∞| |0⁰| |0*∞| |0^∞| |∞⁰|

Теорема Штольца

Нехай а_n і b_n — дві послідовності дійсних чисел, причому послідовність b_n строго зростає і необмежена. Тоді, якщо існує границя

то також існує границя

причому вони рівні.

11. Відношення нескінченно малих величин утворює невизначеність .

Дві нескінченно малі α і β будемо називати нескінченно малими однакового порядку якщо їхнє відношення при ліміт х->а α/β і lim х->а β/α

Має скінченну границю відмінну від 0.Якщо границя відношень нескін малих α і β при х->а дорівнює 0 то кажуть що α нескінченно мала вищого порядку ніж β і навпаки.При х->0 – нескінченно малі однакового порядку.Якщо границя відношень нескін малих не існує то кажуть що такі нескін малі не порівнювані.Нескінченно малі будемо називати еквівалентними при х->а якщо границя їхнього відношення =1.

Еквівалентні величини

Визначення: Якщо , То нескінченно малі величини α і β називаються еквівалентними ().

Очевидно, що еквівалентні величини є окремим випадком нескінченно малих величин одного порядку малості.

При справедливі наступні співвідношення еквівалентності:

Та інші..