Algebra_7_Uch

53.  Знайди значення виразу за заданих значень змінних: а) 12 8x, якщо x 4; 2; 0; 38;

б) a2 3a, якщо a 5; 6; 0,1; 21 ;

в) 3с 4d, якщо с 7 та d 4; с 1,4 та d 3,7; г) (3x 5)y, якщо x 0,3; y 0,8.

54.  Заповни таблицю:

x

4

3

2

1 0

1

2

3

4

3x 2

55.  Запиши у вигляді виразу:

а) суму 3a та 6b;

б) різницю b та 0,4c;

в) суму квадратів c та d;

г) різницю квадратів x та y; ґ) суму квадрата x та куба y; д) квадрат різниці a та b;

е) півсуму добутку 0,5 і c та числа 1,2.

56.  Перевір, чи є подана рівність тотожністю:

а) 2x 3 7 2(2 x);

б) 2(4 3) (4 5) 4 1; в) 3(a 3) a 9.

57.  Спрости вираз і знайди його значення:

а) 121 2,4 345b 1,6 241 a b , якщо a 2; b 3;

б) 58 3,2m 135n 7,2 49m 2,5n , якщо m 10; n 0,1;

22

в) 21 1,6x 625y 2,4 121 x y , якщо x 3; y 4,5;

г) 59 5,4a 145b 6,4 38a 2,5b , якщо a 10; b 0,1.

58.  Один робітник виготовляє за день a де­талей,­ а інший — на 6 деталей менше. Скільки деталей вони виготовили разом, якщо перший працював 4 дні, а другий — 5 днів? Склади вираз і обчисли його значення, якщо a 25.

59.  Обчисли значення виразу x: x, якщо x = 2,3; 0,5; –1,7;	2 1 ; 34.
Який висновок про значення виразу можна зробити?	4	9

60.  Запиши вираз, який являє собою:

а) парне число; б) непарне число;

в) натуральне число, кратне 5; г) натуральне число, що ділиться на 5 з остачею 3.

61.  Перевір, чи є подана рівність тотожністю:

а) 3x 4 2 3x 2; б) a 1 a 1;

в) b 2 b 2.

23

1.2. Степінь з натуральним показником

Добуток, що містить понад два однакові множники, дуже незручно записувати за допомогою знаків множення. Наприклад, добуток восьми спів­ множників, кожен з яких дорівнює 5, записується як 5 5 5 5 5 5 5 5. Для спрощення таких записів вводиться дія піднесення до степеня.

Замість того щоб у добутку писати той самий множник декілька разів, його записують тільки один раз, зазначивши число повторень:

a a a … a an.

nспівмножників

Узаписі an змінна a називається основою степеня, натуральне число n — показником степеня, а сам вираз an («a в степені n») — степенем або степеневим виразом.

n м степенем числа a називається добуток n співмножників, кожен з яких дорівнює a, причому n — натуральне, n > 1.

У цьому означенні n — натуральне число, більше за одиницю, тому що не­- має сенсу розглядати добуток, який складається менш ніж з двох множників.

Приклад 1. а) 3 3 3 3 34 81;
3	3	3	3	3	3		5	243
б)								;
4	4	4	4	4	4			1024

в) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4)3 64; г) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)4 1; ґ) x x x x x x x6.

Перший степінь будь якого числа або змінної дорівнює самому цьому числу або змінній.

Приклад 2. а) 41 4;			в) x1 x;
2	1	2
б) 5		5;	г) ( y)1 y.

Як ти вже знаєш, другий степінь числа називають квадратом числа, наприклад 22; a2; ( x)2; а третій степінь — його кубом, наприклад b3; ( 3)3; 43.

24

Якщо a 0, то a 0, і вираз ( a)n — степінь від’ємного числа.

Згідно з правилом множення від’ємних чисел, за умови парної кількості множників добуток буде додатним, а якщо кількість множників непарна — від’ємним.

Степінь від’ємного числа додатний, якщо показник степеня парний, і від’ємний, якщо показник степеня непарний:

якщо a 0 та n парне, то an 0; якщо a 0 та n непарне, то an 0.

Приклад 3. а) ( 3)5 35 243; б) ( 4)4 44 256;

в) ( 1)273 1273 1; г) ( 1)2008 12008 1.

Якщо a — додатне число, то вираз an — степінь додатного числа,

він є додатним за будь якого n.

Вираз (an) — це число, протилежне степеню додатного числа,

воно є від’ємним за будь якого n.

Приклад 4. а) 23 8;

б) 23 (23) 8;
в) 42 (42) 16;
г)	1		3		4		3	4	4	4	64	10
	1							2 .
	3				3			3	3	3	27	27

Запитання для самоконтролю

1.Що називається степенем числа a?

2.Чому дорівнює перший степінь будь якого числа?

3.Що таке квадрат і куб числа?

4.Яких значень може набувати степінь від’ємного числа?

5.Яких значень може набувати степінь додатного числа?

6*. Яких значень може набувати степінь модуля раціонального числа?

Дивись відеоматеріали

25

62.  Обчисли:

а) 32; 52; 62; 23; 33; 31 2; 41 2; 23 2; б) 202; 402; 502; 0,32; 0,42; 0,52; 602; 0,62;

в) 21 3; 31 3; 23 3; 203; 303; 0,23; 0,33;

г) 102; 103; 104; 105; 106; 101; ґ) 0,12; 0,14; 0,13; 0,15; (1)532; (1)725.

63.  Запиши вираз у вигляді добутку степенів:

а) 3 3 5 3 3 5 3 5; б) 6 7 ( 6) 7 7 ( 6) ( 6);

в) 2 31 31 ( 2) 31 ( 2) 31 31 ; г) 23 ( 5) 23 23 ( 5) 23 23 23; ґ) 0,3 ( 4) 0,3 0,2 ( 4) 0,2 0,3; д) 71 ( 3) 25 71 25 25 25 ( 3).

64.  Обчисли:

а) 53; ( 4)3; 25; ( 3)4; ( 5)3; б) 24; ( 6)3; 83; ( 7)3; ( 9)2;

в) 23 4; 35 3; 47 3; 25 3; 41 4; г) 121 4; 141 3; 0,26; ( 0,3)4; ( 0,5)3;

ґ) 125 3; 127 2; ( 0,7)3; 0,82; ( 0,9)3.

65.  Обчисли площу квадрата зі стороною a, якщо:

а) a 5 см;	в) a 3,2 м;
б) a 12 см;	г) a 1,6 дм.

26

66.  Знайди значення виразу x2y3, якщо:

a) x 3 і y 0,2;	б) x 4 і y 0,3.
67.  Порівняй числа:
а) 23 і 32;	в) 53 і 44;
б) 42 і 34;	г) 63 і 54.
68.  Запиши вираз у вигляді добутку степенів:
а) aabaabbaaa;	в) 2ccc 2cccccc;
б) x( y)xxx( y)x( y)( y);	г) a 3b aaa 3b 3b a.
69.  Обчисли:

а) 34 4; 45 3; 27 2; 221 4; 231 3; б) 0,27; ( 0,2)5; 0,34; 0,83; ( 0,7)3; в) 803; 304; 205; ( 30)3; ( 20)4; г) 2,52; 7,22; ( 9,6)2; 5,42; ( 3,7)2.

70.  Знайди значення виразу x 10 2 + 5 10 + 2 10 3 + y 104, якщо x = 2; y = 0,04.

71.  Обчисли об’єм куба з ребром a, якщо:

а) a 4 см; б) a 8 дм; в) a 1,3 м; г) a 2,1 см.

27

72.  Знайди значення виразу:
а)		1 1 : 33					3;													е)		2 1		4;
		2				4																5	10
			1			1	2																3
б) 24 6 ;														;						є) 25 23 ;
в) 3 4 : 46																				ж) 3 9 2 ;
			3						1				3									5	1	3
		3						6														7	80
		2	:				5				4											2	21		4
г) 1						5					;									з) 2					;
ґ) 23 34 2;																				і) 23 56 3;
д) 21 81 3;																				к) (1,8 3,2)2.
73.  Обчисли значення виразу 0,18 xn, якщо:
а) x 10  і  n 2; 3; 4;
б) x 0,1  і  n 1; 2;
в) x 2   і  n 2; 3.
			3
74.  Обчисли:
											2
a) 3 1,2 :						−4		−		3					−1	1	+	1		;
																2		4
										5

										4						2		2			1
б)	2,5 0,00014 10										−5									−		;
																					5
																3
								−1
в)		1	−	5		3	2		−6			2	−				1		.
	5 8
							5				3						4

	75.  Обчисли значення виразу	a2	−	b2	+2ab, якщо:
		b		a
	а) a –0,8  і  b –0,5;
	б) a –0,2  і  b 0,4.

28

1.3. Множення та ділення степенів з натуральним показником. Степінь з нульовим показником

Розглянемо добуток степенів з однаковими основами:

am an a a … a a a … a a a … a am n.

m разів n разів (m n) разів Отже, am an am n.

Щоб перемножити степені з однаковими основами, потрібно додати показники степенів, а основу залишити без змін.

Тепер розділимо степені з однаковими основами (a 0), припускаючи, що натуральний показник степеня діленого більший, ніж натуральний показник степеня дільника:

m разів

n разів

(m n) разів

am

an

Тому

a a … a	a a … a a a … a
a a … a am–n.
a a … a	a a …	a
n разів	n разів	(m n) разів

am

an am n, якщо a 0 та m n.

Нульовий степінь будь якого числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці: a0 1.

Приклад 1. а) 270 1; б) 27 0 1;

в) ( 0,13)0 1; г) ( 127,82)0 1.

am am

Припускаючи, що m n, отримаємо: an am am m a0 1.

Таким чином, am am n, якщо a 0 та m n. an

Щоб розділити степені з однаковими основами, потрібно від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника, а основу залишити без змін.

29

Приклад 2. а) 32 33 32 3 35 243; б) 5 52 53 125;

в) ( 4)2 ( 4)3 ( 4)2 3 ( 4)5 1024; г) 55 : 53 55 3 52 25; ґ) ( 2)13 : ( 2)9 ( 2)13 9 ( 2)4 16;

д) b5 : b3 b5 3 b2, якщо b 0.

Нульовий степінь нуля не визначається.

Нуль у будь якому степені, відмінному від нуля, дорівнює нулю.

Запитання для самоконтролю

1.Як перемножити степені з однаковими основами?

2.Як знайти частку степенів з однаковими основами?

3.Чому дорівнює нульовий степінь числа?

4*. Подумай, чому не визначають 00.

Дивись відеоматеріали

76.  Запиши у вигляді степеня добуток:

а) x8 x2;	г) 710 75;	е) n5 n3 n n8;
б) a a6;	ґ) n3 n4 n10;	є) (a b)2 (a b)6;
в) b4 b4;	д) k k17 k4 k2;	ж) (m n) (m n)5.
77.  Обчисли:
а) 22 24;	д) ( 2)3 ( 2)4;	і) ( 0,1)2 ( 0,1)3;
б) 3 33;	е) 102 104;	к) 4 43;
в) 42 4;	є) ( 10)3 ( 10)2;	л) ( 6) ( 6)2;
г) ( 5) ( 5)2;	ж) 0,12 0,1;	м) ( 0,7) ( 0,7)2;
ґ) 34 34 2;	з) 121 3 121 2;	н) 23 2 23 2.

30

78.  Запиши у вигляді степеня частку:

а) a23 : a17;												г) b7 : b2;
б) b9 : b;												ґ) m25 : m18 : m;
в) b10 : b10;												д) (a b)14 : (a b)12.
79.  Обчисли:
а) 35 : 33;					ґ) ( 9)43 : ( 9)42;											ж) ( 10)16 : ( 10)13;
б) 627 : 625;					д) 1,515 : 1,515;											з) 0,130 : 0,127;
	17
в)		2	;		е) 105 : 102;											і) ( 13)19 : 1319;
		14
	2
		( 421)					2		19			2		15			5		77		5	75
г)		( 418)		;	є)		3			:		3			;	к)	6			:	6	.

80.  Обчисли:
а) 33 3 410 : 47;	ґ) 75 : 73 ( 2)3 ( 2)4;
б) ( 2)3 ( 2)2 512 : 510;	д) 66 : 66 ( 7)7 ( 7)7;
в) 107 : 103 4 42;	е) 10 103 518 : 514;
г) 31 2 31 56 9 : 56 7;	є) 121 14 : 121 11 41 2 41 .

81.  Заміни зірочку степенем з основою а так, щоб отримати правильну рівність:

а) a11 * a19;	в) a13 : * a6;	ґ) * : a7 a11 a18;
б) a4 * a a25;	г) * a18 a23;	д) a8 : * : a a3.

82.  Обчисли:

а) 3 ( 2)4 ( 2)3 4 312 : 39; б) 3,2 515 : 511 2,25 22 2;

	1		3		1		2	20
в) 64	3				3			81	8 : ( 4)7;
								( 4)

г) 0,48 121 9 : 121 5 3876 0,1 0,12.

31