Zbirnyik zadach / Збірник_задач / Тема 7

106

Тема 7. ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ

7.1 Для плоского поля знайти рівняння сукупності векторних ліній та рівняння векторної лінії, що про-ходить через точку (1,1).

7.2. Знайти сукупність векторних ліній векторного поля

.

7.3. Знайти сукупність векторних ліній поля

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

7.4.Швидкість руху рідини , де Знайти векторні лінії.

7.5. Знайти векторні лінії поля .

7.6. Знайти сукупність векторних ліній поля .

7.7. Знайти рівняння векторних ліній напруженості магнітного поля , яке утворене струмом , що протікає по нескінченому провіднику.

7.8.Обчислити криволінійний інтеграл від векторної функції вдовж дуги параболи від точки (0,0) до точки .

7.9. Обчислити криволінійний інтеграл від вектор – функції вздовж прямої від точки до точки .

7.10. Обчислити криволінійний інтеграл від вектор-функції вздовж верхньої половини еліпса

за годинниковою стрілкою.

7.11. Обчислити криволінійний інтеграл від вектор-функції по колу за годинниковою стрілкою.

7.12. Обчислити криволінійний інтеграл від вектор-функції вздовж периметру , де , , .

7.13. Обчислити криволінійний інтеграл від вектор-функції вздовж периметру , де , B(0,2), .

7.14. Обчислити криволінійний інтеграл від вектор-функції вздовж прямої від точки до точки .

7.15. Обчислити роботу, що виконує сила , при прямолінійному переміщенні від точки до точки .

7.16.Обчислити роботу, що виконує сила , при прямолінійному переміщенні від точки до точки .

7.17. Обчислити роботу, що виконує сила при прямолінійному переміщенні від точки до точки .

7.18. Обчислити роботу, що виконує сила при прямолінійному переміщенні від точки до точки .

7.19. Обчислити роботу, що виконує сила при прямолінійному переміщенні від точки до точки .

7.20. Обчислити роботу, що виконує сила при прямолінійному переміщенні від точки до точки .

7.21. Обчислити роботу, що виконує сила при переміщенні вздовж кривої від точки до точки .

7.22. Обчислити роботу, що виконує сила при переміщенні за годинниковою стрілкою по колу

7.23. Обчислити роботу, що виконує сила при прямолінійному переміщенні від точки до точки .

7.24. Обчислити :

1) , де і - зовнішня сторона частини сфери , яка лежить у першому октанті;

2) , де і - зовнішня сторона частини площини , яка лежить у першому октанті;

3) , де і - зовнішня сторона частини площини , яка лежить у першому октанті.

4) , де і - зовнішня сторона частини площини , яка лежить у першому октанті;

5) , де і - зовнішня сторона частини сфери , яка лежить у першому октанті.

6) , де і - зовнішня сторона частини площини , яка відсікається коорди-

натними площинами.

7.25. Обчислити кількість рідини, яка протікає через зовнішню сторону поверхні за одиницю часу, якщо , - поверхня параболоїда ,

обмеженого площиною .

7.26. Обчислити потік векторного поля через нижню сторону поверхні , яка відсікається координатними площинами.

7.27. Обчислити потік векторного поля через верхню сторону частини площини , яка лежить в першому октанті.

7.28. Обчислити:

1) , де - зовнішня сторона поверхні сфери ;

2) , де - зовнішня сторона поверхні сфери ;

3) , де - зовнішня сторона частини площини , яка лежить у першому октанті.

7.29. Обчислити потік векторного поля через верхню сторону частини площини , що лежить в четвертому октанті.

7.30. Обчислити потік векторного поля через замкнуту поверхню, що утворена поверхнями , , та .

7.31. Обчислити потік векторного поля через замкнуту поверхню, що утворена поверхнями , , і .

7.32. Обчислити потік радіус-вектора через бічну поверхню кругового конуса, що описується рівнянням .

7.33. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону бічної поверхні циліндра , обмеженого площинами .

7.34. Знайти потік векторного поля з середини замкненої поверхні, обмеженої площинами , .

7.35. Знайти потік векторного поля з середини замкненої поверхні, обмеженої конусом і площинами .

7.36. Знайти потік векторного поля з середини замкненої поверхні, обмеженої конусом і площинами .

7.37. Знайти дивергенцію векторного поля:

1) у точці ;

2) ;

3) у точці ;

4) у точці ;

5) у точці .

7.38. Знайти дивергенцію векторного поля:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

7.39. З’ясувати чи є векторне поле соленоїдальним:

1) ; 2) ; 3) .

7.40. Знайти ротор векторного поля:

1) ; 2) , у точці ;

3) ; 4) ;

5) .

7.41. Знайти ротор векторного поля:

1) ;

2) ;

3) .

7.42. З’ясувати чи є дане векторне поле потенціальним:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

7.43. Обчислити циркуляцію векторного поля:

1) вздовж кола ;

2) вздовж контуру, що є лінією перетину циліндра та площини ;

3) вздовж периметра , де .

7.44. Обчислити циркуляцію векторного поля

вздовж замкненого контуру, що складається із дуги параболи та відрізка прямої .

7.45. Обчислити циркуляцію векторного поля вздовж замкненого контуру, що утворений лініями:

Як зміниться результат, якщо дугу на площині замінити відрізком прямої?

7.46. Обчислити циркуляцію векторного поля вздовж кривої, що складається з

відрізків координатних осей та дуги кола: від до .

7.47. Обчислити циркуляцію векторного поля вздовж контуру, що є перетином циліндра та сфери .

7.48. Обчислити циркуляцію векторного поля вздовж контуру трикутника з вершинами (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

7.49. Обчислити роботу по переміщенню тіла одиничної маси вектором вздовж кола

а) безпосередньо; б) за допомогою формули Стокса, якщо поверхня - напівсфера .

7.50. Обчислити циркуляцію векторного поля вздовж контуру, що є перетином циліндра та площини .

7.51. Обчислити циркуляцію векторного поля вздовж довільної замкненої кривої .

7.52. Обчислити роботу, що виконує сила при переміщенні матеріальної точки з положення в положення . Розв’язати двома способами: а) безпосередньо за допомогою криволінійного інтеграла; б) як різницю потенціалів.

7.53. Знайти потенціал векторного поля

.

7.54. Постійний вектор утворює векторне поле. Довести, що це поле потенціальне та знайти його потенціал.

7.55. Перевірити чи є поле вектора потенціальним. Якщо це так, то знайти його потенціал.

7.56. Перевірити чи є задане векторне поле потенціальним. Якщо воно потенціальне, знайти його потенціал:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

7.57. Сила, яка пропорційна відстані від точки її застосування до початку координат та спрямована до початку координат, утворює векторне поле. Показати, що це поле потенціальне, знайти його потенціал.

7.58. Векторне поле утворюють лінійні швидкості точок твердого тіла, яке обертається навколо своєї осі. Чи має це векторне поле потенціал?

7.59. Знайти , якщо:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

7.60. Задано векторне поле . Обчислити в точці .

7.61. Знайти , якщо:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

7.62. Задано скалярне поле . Обчислити у точках 1) та 2) .

7.63. Знайти , якщо:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

7.64. Задано векторне поле . Обчислити у точці .

7.65. Задано векторне поле і точка . Обчислити:1) у точці ;

2) в точці .

7.66. Задано векторне поле . Знайти: 1) ; 2) ; 3) .

7.67. Задано скалярне поле . Знайти:

1) ; 2) .

7.68. Задано векторне поле . Знайти: 1) ; 2) ; 3) .

7.69. Задано векторне поле . Знайти: 1); 2) .

Відповіді

7.1. . 7.2. .

7.3. 1) ; 2) ; 3) ;

4) . 7.4. . 7.5. . 7.6. 7.7. 7.8. 1,4. 7.9. 11,5.

7.10. . 7.11. 0. 7.12. 0. 7.13. 3. 7.14. . 7.15. .

7.16. . 7.17. 13. 7.18. -34. 7.19. -26. 7.20. -59. 7.21. 88. 7.22. . 7.23. 8. 7.24. 1) ; 2) ; 3) 4. 4) ; 5) ;

6) 2. 7.25. . 7.26. . 7.27.. 7.28. 1) ; 2) 2;

3) 42. 7.29. 27. 7.30. .7.31. 21. 7.32. . 7.33. .

7.34. 2. 7.35. 26. 7.36. . 7.37. 1) 2; 2) 0; 3) 2; 4) 8. 5) 6.

7.38. 1) 3; 2) 0; 3) 6; 4) 6. 7.40. 1); 2) ; 3) ;