ЛЕКЦИЯ № 16

АППРОКСИМАЦИЯ ВАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕДИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Учебные вопросы

1. Аппроксимация ВАХ нелинейных элементов. Полиномиальная аппроксимация.

2. Кусочно-линейная аппроксимация.

3. Классификация методов анализа нелинейных цепей.

4. Аналитические и численные методы анализа нелинейных цепей постоянного тока.

7. Ток в нелинейном резисторе при воздействии синусоидального напряжения.

8. Основные преобразования, осуществляемые с помощью нелинейных электрических цепей переменного тока.

1. Аппроксимация вольт-амперных характеристик нелинейных элементов

Вольт-амперные характеристики реальных элементов электрических цепей обычно имеют сложный вид и представляются в виде графиков или таблиц экспериментальных данных. В ряде случаев непосредственное применение ВАХ, задаваемых в такой форме, оказывается неудобным и их стремятся описать с помощью достаточно простых аналитических соотношений, качественно отражающих характер рассматриваемых ВАХ.

Замена сложных функций приближенными аналитическими выражениями называется аппроксимацией.

Аналитические выражения, аппроксимирующие ВАХ нелинейных резистивных элементов, должны как можно более точно описывать ход реальных характеристик.

Следовательно, задача аппроксимации ВАХ включает в себя две самостоятельные задачи:

1) выбор аппроксимирующей функции;

2) определение значений входящих в эту функцию постоянных коэффициентов наиболее часто используются два вида аппроксимации ВАХ нелинейных элементов:

- полиномиальная;

- кусочно-линейная.

1.1. Полиномиальная аппроксимация

Аппроксимация степенным полиномом выполняется на основе формулы ряда Тейлора для ВАХ НЭ:

(16.5)

т.е. ВАХ в данном случае должна быть непрерывной, однозначной и абсолютно гладкой (должна иметь производные любого порядка).

В практических расчетах обычно ВАХ не дифференцируют, а требуют, например, чтобы аппроксимирующая кривя (16.5) прошла через заданные токи.

В так называемом методе трех точек необходимо, чтобы некоторые три точки ВАХ:

(i₁, u₁), (i₂, u₂), (i₃, u₃) – отвечали номиналу (16.5) (рис.16.9).

Рис.16.9

Из уравнений

(16.6)

несложно найти искомые коэффициенты a₀, a₁, a₂, поскольку относительно их система (16.6) линейна.

Если ВАХ сильно изрезана и требуется отразить ее особенности, необходимо учитывать большее число точек ВАХ. Система типа (16.6) становится сложной, однако ее решение может быть найдено по формуле Лагранжа, определяющей уравнение полинома, проходящего через n точек:

(16.7)

где A_k(u) = (u – u₁) ... (u – u_k-1) (u – u_k+1) ... (u – u_n).

Пример. Пусть нелинейный элемент имеет ВАХ, заданную графически (рис.16.10).

Рис.16.10

Требуется аппроксимировать ВАХ ИЭ степенным полиномом.

Решение

На графике ВАХ выделяются четыре точки с координатами:

k	1	2	3	4
uнэ	0	10	40	50
i	0	1	2	3

На основании формулы Лагранжа (16.7) получим

=

Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид

и_нэ = -6,7i³ + 30i² – 13,3i.

2. Кусочно-линейная аппроксимация

При кусочно-линейнойаппроксимации ВАХ НЭ аппроксимируетсясовокупностью линейных участков(кусков) вблизи возможных рабочих точек.

Пример. Для двух участков нелинейной ВАХ (рис.16.11) получим:

Рис.16.11

крутизна первого участка линеаризации крутизна второго участка линеаризации

Пример. Пусть требуется линеаризировать участок ВАХ между токамиАиВ, который используется в качестве рабочей области около рабочей точкиР(рис.16.12).

Рис.16.12

Участок АВВАХ НЭ заменяем отрезком прямой линии с крутизной

Тогда уравнение линеаризированного участка ВАХ вблизи рабочей точки Р будет

Очевидно, что аналитическая аппроксимация ВАХ верна только для выбранного участка линеаризации.