ЛЕКЦИЯ № 17

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

НЕИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Учебные вопросы

1. Постановка задачи и особенности анализа переходных процессов в нелинейных цепях.

2. Уравнения состояния нелинейных динамических цепей.

3. Формирование уравнений состояния нелинейных динамических цепей.

4. Численные методы решения уравнений состояния нелинейных цепей.

1. Постановка задачи и особенности анализа

переходных процессов в нелинейных цепях

Динамические режимы в нелинейных электрических цепях отличаются большим многообразием и находят широкое практическое использование.

Можно привести множество примеров применения переходных режимов в нелинейных цепях для получения различных эффектов:

1) в формирователях (генераторах) импульсов синусоидальное напряжение преобразуется в импульсы заданной формы;

2) в модуляторах и демодуляторах изменяются спектры сигналов;

3) в генераторах сигналов используется режим незатухающих автоколебаний в нелинейных цепях;

4) в импульсных преобразователях постоянного напряжения в постоянное и в инверторах используются полупроводниковые вентили в ключевом режиме;

5) в промышленных силовых цепях при переключении источников и приемников неизбежно возникают переходные режимы, которые необходимо учитывать в целях обеспечения технологии и безопасности процессов.

Следовательно, задача анализа переходных режимов в нелинейных электрических цепях является очень важной для инженерной практики.

Ране было показано, что расчет переходных процессов в линейных электрических цепях заключается в решении линейных дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые процессы. Реакция линейной цепи находится как сумма принужденной (установившейся) и свободной составляющих. В случае синусоидальной воздействующей функции установившаяся составляющая реакции цепи имеет частоту воздействующей функции.

Такое разделение реакции цепи на принужденную и свободные составляющие невозможно в случае нелинейной цепи, для которой метод наложения неприменим.

Переходные процессы в нелинейных цепях существенно отличаются от переходных процессов в линейных цепях: они носят более сложный характер.

Это обусловлено тем, что нелинейность характеристики какого-либо из элементов электрической цепи может привести как к чисто количественному изменению переходного процесса, так и к качественно новым явлениям.

В первом случае нелинейность характеристики может увеличить скорость процесса на одном из интервалов времени и уменьшить скорость на другом интервале. При этом может возрасти максимальное значение переходного тока, однако качественно процесс остается без существенных изменений.

Во втором случае из-за нелинейности характеристики возникают новые явления, принципиально недостижимые в линейных цепях, например, незатухающие колебания (автоколебания) с частотой, отличной от частоты источника, скачкообразные изменения реакции (триггерный эффект), возможность существования нескольких состояний равновесия (неоднозначность). Переходные процессы в цепях с ферромагнитными элементами сопровождаются гистерезисными явлениями и вихревыми токами, причем на характер и длительность процесса существенное влияние оказывает остаточное намагничивание (начальный магнитный поток, обусловленный предшествующим режимом).

Переходные процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями (или системой нелинейных дифференциальных уравнений состояния), для которых не существует общего аналитического решения.

В зависимости от конкретных условий задачи выбирается тот или иной метод расчета. Трудности, с которыми сопряжен расчет переходных процессов в нелинейных цепях, возрастают по мере усложнения схем и характера воздействующих функций.

Дифференциальное уравнение для выходной переменной получают на основе законов Кирхгофа и компонентных соотношений. Процедура преобразования к единому дифференциальному уравнению более трудоемкая, чем для линейных цепей, и может не иметь решения при сложных зависимостях, описывающих отдельные компоненты.

Начальные условия записывают на основе законов коммутации так же, как для линейной цепи.

Особенность решения нелинейных дифференциальных уравнений состояния обусловлены:

1) неприменимостью принципа наложения и невозможностью разделить реакции цепи на составляющие, откуда следует необходимость нового расчета при каждом изменении воздействия;

2) невозможностью анализа нелинейных цепей в частотной области (т.е. с помощью преобразований Лапласа и Фурье).

Вследствие указанных особенностей отсутствуют общие аналитические методы решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Для расчета сложный цепей используют, как правило, численные методы базирующиеся на составлении и решении уравнений состояния.

Аналитическое решение получают на основе кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов.