ДРТЦ дляЗАО / Лекция №10

Лекция №10

Тема: Фильтры Баттерворта

Учебные вопросы

1 Постановка задачи синтеза ФНЧ. Определение фильтра Баттерворта.

2 Определение комплексной передаточной функции ФНЧ.

3 Определение структуры и параметров ФНЧ.

Литература: [2] с.280-284.

1 Постановка задачи синтеза ФНЧ. Определение фильтра Баттерворта.

Наиболее распространенной является задача синтеза фильтров, имеющих АЧХ, удовлетворяющую определенным требованиям.

Актуальной является задача синтеза ФНЧ с АЧХ, наилучшим образом аппроксимирующей АЧХ идеального ФНЧ (см. рис.10.1).

Рис.10.1

Простейшей функцией, пригодной для описания АЧХ синтезируемого фильтра является

или

(10.1)

где - безразмерная нормированная частота, которой удобно пользоваться при решении рассматриваемой задачи, n – целое число, называемое порядком фильтра.

Фильтр, имеющий АЧХ, удовлетворяющую (10.1) называют фильтром с максимально-плоской характеристикой ил фильтром Баттерворта.

В полосе пропускания фильтра значение АЧХ плавно уменьшается с ростом частоты. При w = w_с и значение АЧХ оказывается равным

(10.2)

при любом n.

Причем, чем больше n, тем точнее аппроксимируется АЧХ идеального ФНЧ.

На рис.10.2 показаны графики, построенные по формуле (10.1) для n = 1,2,3,5.

Рис.10.2

Порядок фильтра выбирают, исходя из требований, предъявляемых к ослаблению сигналов с частотами w > w_с.

Таким образом, задачу синтеза ФНЧ с заданной АЧХ можно разделить на две составляющие: 1) определение комплексной передаточной функции ФНЧ по выражению для квадрата ее модуля (10.1) с выбранным порядком фильтра n;

2) определение структуры и параметров ФНЧ.

2 Определение комплексной передаточной функции ФНЧ.

Получим комплексную передаточную функцию по выражению для квадрата ее модуля с выбранным n.

Из теории комплексных чисел известно соотношение

(10.3)

С учетом (10.3) выражение (10.1) принимает вид

(10.4)

Для наглядности дальнейших преобразований положим в (10.4) и, учитывая, что при этом , получим

(10.5)

поскольку

Далее определим нули знаменателя уравнения (10.5), т.е. корни уравнения для различных n.

При n = 1 данное уравнение принимает вид 1 – S² = 0, откуда определяем корни S₁ = 1; S₂ = -1.

При n = 2 данное уравнение принимает вид

(10.6)

Откуда получаем четыре корня:

Эти значения получаются с помощью формулы Эйлера

(10.7)

на основе которой можно записать

(10.8)

Перенеся единицу в (10.6) в правую часть и учитывая (10.8), получаем

(10.9)

Данное уравнение имеет четыре корня, следовательно, K принимает четыре значения: K = 0, 1, 2, 3.

Извлекая корень четвертой степени из левой и правой части (10.9) и придавая K последовательно значения 0, 1, 2, 3, находим корни:

Очевидно, что модули равны единице. Изобразим эти корни на комплексной плоскости. Для n = 1 они приведены на рис.10.3, а для n = 2 – на рис.10.4.

Рис.10.3 Рис.10.4

Таким же образом можно определить корни и для других значений n.

Общая закономерность их расположения на комплексной плоскости характеризуется квадратной симметрией: их число и конфигурация расположения в обеих( левой и правой) полуплоскостях одинаковы.

Зная корни знаменателя выражения (10.5), его можно представить в виде произведения простейших множителей. Например, для n = 1 имеем

(10.10)

для n = 2

(10.11)

Половина корней, лежащая в левой полуплоскости, принадлежат передаточной функции . Другая половина, лежащая в правой полуплоскости- функция .

Искомой является передаточная функция , т.к. можно показать, что расположение корней знаменателя (называемых полюсами передаточной функции) в левой полуплоскости соответствует устойчивой цепи.

Следовательно, при n = 1

(10.12)

при n=2

(10.13)

Подставляя значения корней

в (10.13)

находим

(10.14)

Рассуждая аналогично, можно найти передаточные функции и для других значений n. Например, при n = 3 передаточная функция фильтра Баттерворта приводится к виду

Коэффициенты полиномов в знаменателе передаточной функции фильтра Баттерворта приводятся в справочниках по расчету фильтров.

3 Определение структуры и параметров ФНЧ.

Следующим этапом синтеза ФНЧ является реализация найденной передаточной функции фильтра, т.е. определение его приемлемой структуры и значений параметров всех элементов.

Решение задачи реализации ФНЧ неоднозначно и существенно зависит от желательной структуры фильтра и допустимой элементной базы.

Простейшими примерами реализации передаточных функций (10.12) и (10.14) могут служить цепи, изображенные соответственно на рис.10.5 и 10.6.

Рис.10.5 Рис.10.6

Определим комплексные передаточные функции этих цепей.

Для схемы рис.10.5 получаем:

(10.15)

В формуле (10.12) делаем подстановку , тогда

(10.16)

Сравнивая формулы (10.15) и (10.16), заключаем, что частота среза фильтра

Зная w_с, определяемую требованиями на проектирование фильтра можно выбрать параметры R и C.

Для схемы рис.10.6

(10.17)

Подставляя в (10.14) находим

(10.18)

Сравнивая формулы (10.17) и (10.18), получаем соотношения

По известной частоте среза w_с можно подбирать параметры элементов R, L и C.

Передаточные функции ФНЧ более высоких порядков можно реализовать, например, каскадным соединением фильтров 1-го и 2-го порядков, отделенных друг от друга идеальными развязывающими элементами (рис.10.7)

Рис.10.7

Под идеальным развязывающим элементом понимают усилитель с коэффициентом усиления K = 1, бесконечно большим входным сопротивлением и выходным сопротивлением, равным нулю.