НВУЗ АНО «Региональный финансово-экономический институт»

ЛОГИКА

(Третья лекция)

_______________________________

http://elearning.rfei.ru

1

Содержание
РАЗДЕЛ 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ ....................................	3
Глава 1.1. Определение логических связок с помощью
таблиц .............................................................................................	3
Глава 1.2. Логический закон и логическое следование........	11
Глава 1.3. О некоторых законах логики..................................	17
РАЗДЕЛ 2. УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................	35
Глава 2.1. Общая характеристика умозаключения..............	35
Глава 2.2. Непосредственные умозаключения.......................	37
Глава 2.3. Умозаключения из суждений с отношениями.....	40
Глава 2.4. Категорический силлогизм.....................................	42
Глава 2.5. Умозаключения из сложных суждений.................	48
Глава 2.6. Индуктивные умозаключения................................	54
Глава 2.7. Индуктивные методы исследования
причинных связей.......................................................................	62
Глава 2.8. Умозаключение по аналогии..................................	66

2

РАЗДЕЛ 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Глава 1.1. Определение логических связок с помощью таблиц

В предыдущем разделе мы рассмотрели сложные высказывания и выяснили, с помощью каких логических связок они образуются из простых высказываний. Напомним эти связки: конъюнкция «и» (обозначается символом & или символом ), дизъюнкция «или» (обозначается символом ), строгая дизъюнкция «либо, либо» (обозначается символом ), импликация «если, то» (обозначается символом →), эквивалентность «если и только если» (обозначается символом ↔), отрицание «неверно, что» (обозначается символом ~ или символом ⌐, или символом ˉ ) и др.

Мы уже говорили о равнозначности терминов «высказывание» и «суждение», поэтому мы будем пользоваться этими терминами в равной степени.

В логике высказываний простые высказывания берутся как неделимые далее атомы, из которых образуются молекулы — сложные высказывания.

Логика высказываний исходит из следующих двух допуще-

ний:

●всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (принцип двузначности);

●истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи.

Исходя из этих допущений, дадим строгие определения логических связок «и», «или» и т.д. Эти определения формулируются в виде таблиц истинности и называются табличными определениями связок. Соответственно само построение логики высказываний, опирающееся на данные определения, называется табличным ее построением.

3

Возьмем сложное соединительное (конъюнктивное) высказывание «Наша фирма кредитоспособна (А) и конкурентоспособна (В)». Это высказывание образовано из двух простых высказываний, которые мы условно назвали как А и В. Это высказывание будет истинным в том и только в том случае, если суждения А (о кредитоспособности) и В (о конкурентоспособности) оба истинны. Если же А ложно или В ложно, либо и А, и В ложны, то все утверждение обращается в ложь, т.е. фирма не оправдывает такой характеристики. Оно будет ложно и в том последнем случае, когда фирма не конкурентоспособна, не кредитоспособна.

Эти четыре возможных случая сводятся вместе в таблице 1.1 для конъюнкции («1» означает «истинно», «0» — «ложно»). Словами эту таблицу можно передать так: конъюнкция истинна, когда оба входящих в нее высказывания истинны. Или, что то же самое: конъюнкция ложна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний ложно.

Конъюнкция отличается от обычного «и» в двух важных моментах. Прежде всего, конъюнкция учитывает только истинностные значения простых высказываний и не учитывает смысловые связи между ними. Поэтому конъюнкция, в отличие от обычного «и», может соединять высказывания, между которыми нет никакой содержательной связи: «В огороде растет бузина, и в Киеве живет дядька», «Дважды два — четыре, и трава зеленая» и т.п. В частности, второе из этих высказываний — по определению конъюнкции — является истинным.

Далее, для конъюнкции безразличен порядок, в каком берутся соединяемые ею высказывания. Для обычного «и» это не всегда так: сказать «Он сломал ногу и попал в больницу» не то же самое, что сказать «Он попал в больницу и сломал ногу».

Итак, сложное конъюнктивное высказывание истинно тогда

итолько тогда, когда каждое из исходных высказываний истинно,

иложно, когда, по крайней мере, одно из исходных высказываний ложно. Например, торговый агент, исследующий спрос на рынке, направляет руководству фирмы доклад, состоящий из ряда высказываний. Истинность его информации, естественно, будет зависеть от истинности исходных высказываний (о ценах, спросе,

4

предложении и т.п.). Если хоть одно из исходных суждений окажется ложным, весь доклад ставится под сомнение.

Таблица 1.1

Таблица истинности конъюнкции

A	B	A B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Мы уже ранее говорили, что если два простых высказывания соединены с помощью связки «или», то полученное высказывание называется дизъюнкцией.

Также мы указывали, что в логике союз «или» может иметь двоякий смысл: «или» как противопоставление одного другому в такой степени, что одно исключает другое, например, «Эта электричка пойдет в Белгород или отправится в тупик, т.е. будет стоять»; «или» как допущение и одного, и другого, даже как частичное совпадение первого и второго, например, «Меткий стрелок обладает острым зрением или твердой рукой». В зависимости от этих двух значений союза «или» получаем два вида дизъюнкции, соответственно, два вида сложных дизъюнктивных суждений.

Поэтому еще раз остановимся на рассмотрении строгой и нестрогой дизъюнкции.

Строгая дизъюнкция — такое разделительное суждение, в котором входящие в него суждения связаны логическим союзом «или», имеющим исключительное, можно сказать, дихотомическое значение (вспомните, что дихотомия – деление надвое). К примеру, «Этот предмет или белый, или небелый», «Этот товар или дорогой, или недорогой».

Рассмотрим еще один пример строгой дизъюнкции: «Руководитель компании отправится на совещание поездом (А) или полетит самолетом (В)». Он не может одновременно воспользоваться двумя видами транспорта и не может не прибыть на совещание. Каким-то одним видом транспорта руководитель компании воспользуется. Итак, строгая дизъюнкция истинна тогда, когда

5

истинно лишь одно из двух простых суждений. Когда же А и В одновременно истинны или одновременно ложны, тогда сложное высказывание является ложным.

Таблица истинности строгой дизъюнкции представлена таблицей 1.2.

Таблица 1.2

Таблица истинности строгой дизъюнкции

A	B	A B
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Нестрогая дизъюнкция — такое разделительное суждение, в котором входящие в него суждения связаны логическим союзом «или», имеющим неисключительное значение («или А, или В, или то и другое вместе»). Здесь истинность одного высказывания не отрицает истинности другого. К примеру, «Студенты добиваются хороших показателей в учебе или прилежанием, или систематическим повторением пройденного», ««Бизнесмен добивался финансового успеха или экономией денег, или выгодным помещением их в банки». Такую дизъюнкцию называют соединитель- но-разделительной.

В качестве еще одного примера дизъюнкции возьмем суждение: «Увеличение рентабельности достигается путем повышения производительности труда (А) или путем снижения себестоимости продукции (В)». Если было повышение производительности труда и снижение себестоимости продукции, то будет увеличение рентабельности, т.е. высказывание будет истинным. Это суждение будет истинным, если будет выполняться, хотя бы одного из двух суждений. И естественно, оно будет ложным, если не будет повышения производительности труда и не будет снижения себестоимости продукции. Коротко говоря, дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, или дизъюнкция ложна, только если оба входящих в нее высказывания ложны. Оформим наши рассуждения с помощью таблицы 1.3.

6

Таблица 1.3

Таблица истинности дизъюнкции

A	B	A B
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

В том случае, когда исходные суждения объединяются в сложное логическим союзом «если... то», мы имеем дело с условным суждением. Например, «Если тело подвергнуть трению, то тело начнет нагреваться», или «Если регулируемые цены отпустить, они будут зависеть от спроса и предложения». Формула условного суждения: «Если А есть В, то С есть Д». Как мы уже говорили в предыдущем разделе, основание (антецедент) суждения — это его часть от частицы «если» до частицы «то». Следствие (консеквент) суждения — это его часть после частицы «то». Такую логическую операцию связи основания и следствия с помощью союза «если... то» мы уже знаем, и называется она импликацией. Теперь наша задача состоит в составлении таблицы истинности для этой связки.

Рассмотрим импликацию на примере суждения «Если ограничить выпуск денежной массы в обращение, инфляция сократится». Действительно, не может быть, чтобы выпуск денежной массы в обращение был ограничен (А), т.е. суждение истинно, а инфляция не сократилась, т.е. суждение (В) было ложным.

Или рассмотрим пример такого импликативного суждения: «Если пойдет дождь, мы останемся дома». Это высказывание устанавливает одно из условий того, что мы окажемся дома. Оно говорит, что вслед за первым обязательно будет второе, и ничего больше. Если на самом деле начнется дождь, и мы останемся дома, высказывание будет истинным. Если пойдет дождь, а мы, тем не менее, не останемся дома, условие будет нарушено и высказывание будет ложным. Сложнее обстоит дело с третьим и четвертым случаями, поскольку прямо о них условное высказывание не говорит. Дождь не пошел, но мы остались дома — условие

7

остаться дома в случае дождя не нарушено. Условное высказывание можно считать истинным. Если, наконец, дождя не будет, и мы не останемся дома, условие опять-таки не будет нарушено и условное высказывание будет истинным.

Таким образом, импликация истинна в трех случаях:

●когда ее основание и следствие истинны;

●когда основание ложно, а следствие истинно;

●и основание, и следствие ложны.

Импликация ложна только в одном случае: когда основание истинно, а следствие ложно. Оформляем наши рассуждения с помощью таблицы 1.4.

Таблица 1.4

Таблица истинности импликации

A	B	A → B
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Особо следует подчеркнуть, что при установлении истинности условного высказывания не предполагается, что входящие в него два высказывания связаны между собой по содержанию или смыслу. Такое понятие, как «связь по содержанию», вообще отсутствует в логике высказываний. Отсюда — определенное рассогласование между нашим обычным употреблением и истолкованием условного высказывания и тем его истолкованием, которое задается таблицей. Если рассуждать в соответствии с таблицей, то истинными являются, например, высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырем», «Если Волга — озеро, то Токио — большой город» и т.п. Если истинно следствие условного высказывания, то, независимо от того, каким является его основание, это высказывание также истинно. С другой стороны, условное высказывание истинно всякий раз, когда его основание ложно. При этом опять-таки безразлично, истинно следствие или нет, и связано оно по содержанию с основанием или нет. К истин-

8

ным относятся, например, высказывания: «Если Солнце — куб, то Земля — треугольник», «Если дважды два равно пяти, то Токио — маленький город» и т.п. В обычном рассуждении эти высказывания вряд ли стали бы рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные. Очевидно, что табличное определение условного высказывания хуже согласуется с обычным его пониманием, чем табличные определения других связок с их обычным истолкованием. Но в рамках принятых двух исходных допущений логики высказываний более удачное определение условной связи просто невозможно.

Следующая логическая связка, к рассмотрению которой мы сейчас приступаем, — это эквивалентность. Ранее мы уже говорили, что когда исходные высказывания соединяются между собой логическим союзом «если и только если», то мы имеем дело с высказыванием эквивалентности.

Сложное высказывание, называемое эквивалентностью, является истинным, когда два приравниваемых в нем высказывания оба истинны или оба ложны. Эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а второе ложно.

К примеру, высказывание «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным» истинно, когда треугольник является и равносторонним, и равноугольным и когда он не является ни равносторонним, ни равноугольным.

Построим для эквивалентности таблицу истинности — табл. 1.5.

Таблица 1.5

Таблица истинности эквивалентности

A	B	A ↔ B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

9

И в завершении разговора о табличном построении логики высказываний рассмотрим логическую связку – отрицание.

Сложное отрицательное высказывание истинно, когда отрицаемое высказывание ложно, и наоборот. Например, высказывание «Этот предмет является орудием труда» истинно, поэтому его отрицание «Неверно, что этот предмет является орудием труда» ложно. Или пример такого высказывания: «Семь — четное число» ложно, а его отрицание «Семь не является четным числом» истинно. Таблица истинности отрицания — табл. 1.6 — достаточно простая.

Таблица 1.6

Таблица истинности отрицания

	A	−
		A
	1	0
	0	1

Рассмотрев сложные высказывания (суждения), мы можем заключить, что это одна из форм мышления, которая позволяет нам выявлять и фиксировать связи между предметами и признаками, отношения предметов друг с другом.

С помощью таблиц истинности для любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности, входящих в него простых высказываний, это высказывание истинно, а при каких ложно. А это открывает возможности аргументации, дает возможность принимать логически верные заключения, решения.

Эти знания имеют не только как бы отдельное, самостоятельное значение, но и необходимы для изучения следующей из форм мышления – умозаключения, о котором мы будем вести речь позднее. Сейчас же мы остановимся на применении таблиц истинности к различным сложным высказываниям, т.е. будем выяснять, как будет вести себя высказывание, если оно включает в себя несколько видов логических связок.

10