Матем 2
.docРешенные задачи:
Задачи 17.25-17.32: С помощью признаков сравнения исследовать, сходится или расходится ряд:
17.25. Общий член ряда имеет вид .
Сравним ряд с гармоническим расходящимся рядом,
ряд сходится по признаку сравнения, так как нет конечного предела, отличного от нуля.
17.26. Общий член ряда имеет вид .
Сравним ряд с гармоническим расходящимся рядом,
ряд сходится по признаку сравнения, так как нет конечного предела, отличного от нуля.
17.27. Общий член ряда имеет вид .
Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося геометрического ряда с общим членом
ряд сходится по признаку сравнения.
17.28. Общий член ряда имеет вид .
Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 имеем ln (n + 1) < n, то 1/ln (n + 1) > 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.
17.29. Общий член ряда имеет вид .
Сравним ряд с гармоническим расходящимся рядом,
ряд сходится по признаку сравнения, так как нет конечного предела, отличного от нуля.
17.30. Общий член ряда имеет вид .
Сравним ряд с гармоническим расходящимся рядом,
ряд расходится по признаку сравнения, так как есть конечный предел, отличный от нуля.
17.31. Общий член ряда имеет вид .
Сравним ряд с гармоническим расходящимся рядом,
ряд расходится по признаку сравнения, так как есть конечный предел, отличный от нуля.
17.32. Общий член ряда имеет вид .
Сравним ряд с гармоническим расходящимся рядом,
ряд расходится по признаку сравнения, так как есть конечный предел, отличный от нуля.
Задачи 17.33-17.38: Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
17.33. Общий член ряда имеет вид .
Исследуем ряд по признаку Даламбера:
ряд сходится.
17.34. Общий член ряда имеет вид .
Исследуем ряд по признаку Даламбера:
ряд расходится.
17.35. Общий член ряда имеет вид .
Исследуем ряд по признаку Даламбера:
ряд сходится.
17.36. Общий член ряда имеет вид .
Исследуем ряд по признаку Даламбера:
ряд расходится.
17.37. Общий член ряда имеет вид .
Исследуем ряд по признаку Даламбера:
ряд сходится.
17.38. Общий член ряда имеет вид .
Исследуем ряд по признаку Даламбера:
ряд расходится.
Задачи 17.39-17.44: Исследовать по признаку Коши сходимость ряда:
17.39. Общий член ряда имеет вид .
Применим признак Коши:
Теперь найдем предел последней дроби:
заданный ряд сходится.
17.40. Общий член ряда имеет вид .
Применим признак Коши:
Теперь найдем предел последней дроби:
заданный ряд расходится.
17.41. Общий член ряда имеет вид .
Применим признак Коши:
Теперь найдем предел последней дроби:
заданный ряд сходится.
17.42. Общий член ряда имеет вид .
Применим признак Коши:
Теперь найдем предел последней дроби:
заданный ряд сходится.
17.43. Общий член ряда имеет вид .
Применим признак Коши:
Теперь найдем предел последней дроби:
заданный ряд расходится.
17.44. Общий член ряда имеет вид .
Применим признак Коши:
Теперь найдем предел последней дроби:
заданный ряд сходится.
Задачи 15.65-15.109: Найти интегралы, применив подходящие подстановки:
15.65.
15.66.
15.67.
15.68.
15.69.
15.70.
15.71
15.72.
15.73.
15.74.
15.75.
15.76.
15.77.
15.78.
15.79.
15.80.
15.81.
15.82.
15.83.
15.84.
15.85.
15.86.
15.87.
15.88.
15.89.
15.90.
15.91.
15.92.
15.93.
15.94.
15.95.
15.96.
15.97.
15.98.
15.99.
15.100.
15.101.
15.102.
15.103.
15.104.
15.105.
15.106.
15.107.
15.108.
15.109.
Задачи 15.110-15.129: Найти интегралы, применив метод интегрирования по частям:
15.110.
15.111.
15.112.
15.113.
15.114.
15.115.
15.116.
15.117.
15.118.
15.119.
15.120.
15.121.
15.122.
15.123.
15.124.
15.125.
15.126.
15.127.
15.128.
15.129.
Задачи 17.13-17.18: Найти сумму ряда:
17.13. Общий член ряда имеет вид .
Найдем сумму ряда.
Поскольку
сумма ряда равна 3/4.
17.14. Общий член ряда имеет вид .
Найдем сумму ряда.
Поскольку
сумма ряда равна 1/2.
17.15.Общий член ряда имеет вид .
Найдем сумму ряда.
Поскольку
сумма ряда равна 1/3.
17.16. Общий член ряда имеет вид .
Найдем сумму ряда.
Поскольку
сумма ряда равна 1/4.
17.17. Общий член ряда имеет вид .
Найдем сумму ряда.
Поскольку
сумма ряда равна 1.
17.18. Общий член ряда имеет вид .
Найдем сумму ряда.
Поскольку
сумма ряда равна 1.
Задачи 17.19-17.24: Исследовать сходимость ряда, используя следствие из необходимого признака сходимости:
17.19. Общий член ряда имеет вид . Данный числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости
ряд расходится.
17.20. Общий член ряда имеет вид . Данный числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости
ряд расходится.
17.21. Общий член ряда имеет вид . Данный числовой ряд сходится, так как выполняется необходимый признак сходимости
ряд сходится.
17.22. Общий член ряда имеет вид . Данный числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости
ряд расходится.
17.23. Общий член ряда имеет вид . Данный числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости
ряд расходится.
17.24. Общий член ряда имеет вид . Данный числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости
ряд расходится.
Задачи 15.1-15.28: Найти интегралы:
15.1.
15.2.
15.3.
15.4.
15.5.
15.6.
15.7
15.8.
15.9.
15.10.
15.11.
15.12.
15.13.
15.14.
15.15.
15.16.
15.17.
15.18.
15.19.
15.20.
15.21.
15.22.
15.23.
15.24.
15.25.
15.26.
15.27.
15.28.
Задачи 16.9-16.29: Проинтегрировать уравнения, в отмеченных случаях найти частное решение:
16.9. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
16.10. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
16.11. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
16.12. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
16.13. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
16.14. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
16.15. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
16.16. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
16.17. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
16.18. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
16.19. - имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: