Задачи 11-20

Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен в сутки потреблять не менее усл. ед. белков, не менееусл. ед. жиров, не менееусл. ед. углеводов. Имеется два вида продуктов П₁ и П₂: стоимость единицы каждого из них равна соответственно С₁ и С₂ ден. ед.

Имеется матрица А=, в которойравно количеству усл. ед. белков в единице продукта,равно количеству усл. ед. жиров в единице продукта,равно количеству усл. ед. углеводов в единице продукта,

Требуется: составить математическую модель задачи, позволяющую сформировать из продуктов П₁ и П₂ суточную диету, которая содержала бы белков, жиров и углеводов не менее минимальных обоснованных норм и требовала бы минимальных денежных затрат; решить задачу графическим способом.

№ 11

=20, =40,=88, С₁=6, С₂=10, А=.

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты			Необходимое количество
	П1	П2
белки	4	1	20
жиры	4	3	40
углеводы	4	15	88
Цена	6	10
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z=денежных единиц. Т. о. целевая функцияz(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные ,должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 4 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 1 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 20. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные ,должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1	3	5
х2	8	0

2. .

х1	2,5	10
х2	10	0

3. .

х1	7	14,5
х2	4	2

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

Учтем, что ,. Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (6; 10). Перпендикулярно векторупроводим прямую.

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямуюдо тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке С пересеклись две прямые:и. Следовательно, координаты точки С находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили С (7; 4)

Подставляя координаты точки С в уравнение функции цели, получим:

Z_min=.

Ответ: необходимо купить 7 ед. продукта П₁ и 4 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 82 ден. ед.

№ 12

=69, =84,=39, С₁=4, С₂=12, А=.

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты			Необходимое количество
	П1	П2
белки	3	16	69
жиры	21	4	84
углеводы	3	6	39
Цена	4	12
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z=денежных единиц. Т. о. целевая функцияz(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные ,должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 3 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 16 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 69. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные ,должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1	7	3
х2	3	3,75

2. .

х1	4	3
х2	0	5,25

3. .

х1	0	13
х2	6,5	0

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

Учтем, что ,. Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (4; 12). Перпендикулярно векторупроводим прямую.

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямуюдо тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке С пересеклись две прямые:и. Следовательно, координаты точки С находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили С (7; 3)

Подставляя координаты точки С в уравнение функции цели, получим:

Z_min=.

Ответ: необходимо купить 7 ед. продукта П₁ и 3 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 64 ден. ед.

№ 13

=45, =138,=135, С₁=13, С₂=10, А=.

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты			Необходимое количество
	П1	П2
белки	9	2	45
жиры	6	23	138
углеводы	9	12	135
Цена	13	10
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z=денежных единиц. Т. о. целевая функцияz(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные ,должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 9 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 2 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 45. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные ,должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1	5	3
х2	0	9

2. .

х1	0	11,5
х2	6	3

3. .

х1	15	5
х2	0	7,5

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

Учтем, что ,. Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (13; 10). Перпендикулярно векторупроводим прямую.

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямуюдо тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке В пересеклись две прямые:и. Следовательно, координаты точки В находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили В (3; 9)

Подставляя координаты точки В в уравнение функции цели, получим:

Z_min=.

Ответ: необходимо купить 3 ед. продукта П₁ и 9 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 129 ден. ед.

№ 14

=92, =128,=56, С₁=12, С₂=11, А=.

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты			Необходимое количество
	П1	П2
белки	4	23	92
жиры	8	12	128
углеводы	8	3	56
Цена	12	11
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z=денежных единиц. Т. о. целевая функцияz(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные ,должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 4 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 23 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 92. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные ,должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1	0	11,5
х2	4	2

2. .

х1	1	16
х2	10	0

3. .

х1	4	7
х2	8	0

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

Учтем, что ,. Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (12; 11). Перпендикулярно векторупроводим прямую.

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямуюдо тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке В пересеклись две прямые:и. Следовательно, координаты точки В находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили В (4; 8)

Подставляя координаты точки В в уравнение функции цели, получим:

Z_min=.

Ответ: необходимо купить 4 ед. продукта П₁ и 8 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 136 ден. ед.

№ 15

=63, =147,=126, С₁=12, С₂=9, А=.

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты			Необходимое количество
	П1	П2
белки	9	3	63
жиры	7	21	147
углеводы	9	10	126
Цена	12	9
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z=денежных единиц. Т. о. целевая функцияz(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные ,должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 9 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 3 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 63. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные ,должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1	7	3
х2	0	12

2. .

х1	0	9
х2	7	4

3. .

х1	14	4
х2	0	9

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

Учтем, что ,. Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (12; 9). Перпендикулярно векторупроводим прямую.

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямуюдо тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке В пересеклись две прямые:и. Следовательно, координаты точки В находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили В (4; 9)

Подставляя координаты точки В в уравнение функции цели, получим:

Z_min=.

Ответ: необходимо купить 4 ед. продукта П₁ и 9 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 129 ден. ед.

№ 16

=60, =24,=105, С₁=3, С₂=6, А=.

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты			Необходимое количество
	П1	П2
белки	3	14	60
жиры	3	2	24
углеводы	21	5	105
Цена	3	6
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z=денежных единиц. Т. о. целевая функцияz(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные ,должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 3 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 14 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 60. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные ,должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1	6	13
х2	3	1,5

2. .

х1	0	8
х2	12	0

3. .

х1	2	5
х2	12,6	0

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

Учтем, что ,. Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (3; 6). Перпендикулярно векторупроводим прямую.

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямуюдо тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке С пересеклись две прямые:и. Следовательно, координаты точки С находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили С (6; 3)

Подставляя координаты точки С в уравнение функции цели, получим:

Z_min=.

Ответ: необходимо купить 6 ед. продукта П₁ и 3 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 36 ден. ед.

№ 17

=22, =40,=138, С₁=4, С₂=9, А=.

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты			Необходимое количество
	П1	П2
белки	2	3	22
жиры	2	12	40
углеводы	23	6	138
Цена	4	9
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z=денежных единиц. Т. о. целевая функцияz(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные ,должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 2 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 3 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 22. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные ,должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1	11	8
х2	0	2

2. .

х1	2	8
х2	3	2

3. .

х1	6	3
х2	0	11,5

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

Учтем, что ,. Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (3; 6). Перпендикулярно векторупроводим прямую.

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямуюдо тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке С пересеклись две прямые:и. Следовательно, координаты точки С находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили С (8; 2)

Подставляя координаты точки С в уравнение функции цели, получим:

Z_min=.

Ответ: необходимо купить 8 ед. продукта П₁ и 2 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 50 ден. ед.

№ 18

=50, =140,=20, С₁=4, С₂=3, А=.

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты			Необходимое количество
	П1	П2
белки	10	3	50
жиры	10	12	140
углеводы	1	4	20
Цена	4	3
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z=денежных единиц. Т. о. целевая функцияz(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные ,должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 10 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 3 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 50. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные ,должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1	5	2
х2	0	10

2. .

х1	14	2
х2	0	10

3. .

х1	0	4
х2	5	4

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

Учтем, что ,. Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (4; 3). Перпендикулярно векторупроводим прямую.

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямуюдо тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке В пересеклись две прямые:и. Следовательно, координаты точки В находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили В (2; 10)

Подставляя координаты точки В в уравнение функции цели, получим:

Z_min=.

Ответ: необходимо купить 2 ед. продукта П₁ и 10 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 38 ден. ед.

№ 19

=40, =104,=20, С₁=7, С₂=5, А=.

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты			Необходимое количество
	П1	П2
белки	8	2	40
жиры	8	10	104
углеводы	1	4	20
Цена	7	5
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z=денежных единиц. Т. о. целевая функцияz(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные ,должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 8 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 2 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 40. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные ,должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1	5	3
х2	0	8

2. .

х1	13	3
х2	0	8

3. .

х1	0	4
х2	5	4

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

Учтем, что ,. Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (7; 5). Перпендикулярно векторупроводим прямую.

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямуюдо тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке В пересеклись две прямые:и. Следовательно, координаты точки В находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили В (3; 8)

Подставляя координаты точки В в уравнение функции цели, получим:

Z_min=.

Ответ: необходимо купить 3 ед. продукта П₁ и 8 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 61 ден. ед.

№ 20

=138, =60,=110, С₁=6, С₂=10, А=.

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты			Необходимое количество
	П1	П2
белки	23	6	138
жиры	5	4	60
углеводы	5	14	110
Цена	6	10
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z=денежных единиц. Т. о. целевая функцияz(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные ,должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 23 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 6 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 138. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные ,должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1	6	3
х2	0	11,5

2. .

х1	12	4
х2	0	10

3. .

х1	8	13,6
х2	5	3

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства.

Учтем, что ,. Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (6; 10). Перпендикулярно векторупроводим прямую.

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямуюдо тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке С пересеклись две прямые:и. Следовательно, координаты точки С находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили С (8; 5)

Подставляя координаты точки С в уравнение функции цели, получим:

Z_min=.

Ответ: необходимо купить 8 ед. продукта П₁ и 5 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 98 ден. ед.