31. Теория вероятностей

31.1. Основные понятия теории вероятностей.

Элементы комбинаторики

События А,В,Сназываютсясовместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при этом же испытании.

Если сумма событий – достоверное событие, т. е.то говорят, что событияобразуютполную группу событий для данного опыта.

Если события обладают свойствами:

1)

2) при

то говорят, что они образуют полную группу попарно несовместных событий.

Если – полная группа попарно несовместных событий, связанных с некоторым испытанием, то событияназываютэлементарными событиями.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Исторически первым было классическое определение вероятности.

Вероятностью события Аназывается отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событиюА, к числу всех равновозможных элементарных событий опыта, в котором может появиться событиеА.

В соответствии с классическим определением вероятности

(31.1)

где m– число элементарных событий, благоприятствующих событиюA;

n– число элементарных событий, образующих полную группу равновозможных и попарно несовместных событий.

Классическое определение вероятности предполагает, что число всех элементарных событий конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество таких событий бесконечно.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Пусть на плоскости задана квадрируемая область G, т. е. область, имеющая площадь. Площадь этой области обозначим черезS_G. В областиGсодержится областьgплощадиS_g(рис. 31.2).

Рис. 31.2

В область Gнаудачу брошена точка. Считают, что брошенная точка может попасть в некоторую часть областиGс вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. ЕслиA– попадание брошенной точки в областьg, то геометрическая вероятность этого события определяется формулой

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область объема V_G, содержащую областьgобъемаV_g:

Часто приходится составлять из конечного числа элементов различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных комбинаций, составленных по некоторому правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, называетсякомбинаторикой.

Правило суммы:если некоторый объектAможно выбратьmспособами, а объектB–kспособами, причем любой способ выбора объектаAотличен от любого способа выбораB, то выбор «AилиB» можно сделатьm + kспособами.

Правило произведения:пусть объектAможно выбратьmспособами, а после каждого такого выбора другой объектBможно выбрать (независимо от объектаA)kспособами, то пару объектовAиBможно выбратьmkспособами.

Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое натуральное число (номер элемента) от 1 доn, гдеn– число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа.

Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т. е. могут быть получены из того же самого множества), называются перестановками. Число возможных перестановок из nэлементов вычисляют по формуле

(31.2)

(читается «n-факториал»).

Конечные упорядоченные подмножества данного множества называются размещениями данного множества.

Число упорядоченных k-элементных подмножеств множества, состоящего изnэлементов, т. е.число размещений изnпо k обозначаюти вычисляют по формуле

(31.3)

Произвольное k-элементное подмножествоn-элементного множества называетсясочетаниемиз n элементов по k. Число сочетаний изn элементов поk обозначаетсяи вычисляется по формуле

З а м е ч а н и е 2. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае множества с повторениями вычисляются по другим формулам.

Если среди nэлементов естьn₁элементов одного вида,n₂элементов другого вида и т. д., точисло перестановок с повторениямиопределяется формулой

где

Число размещений поkэлементов с повторениями изnэлементовравноn^k, т. е.

Число сочетаний с повторениями изnэлементов поkэлементовравно числу сочетаний без повторений изn+k–1 элементов поkэлементов, т. е.

Пример 1. С помощью таблиц, определяющих A + B, AB и доказать равенство

Решение. Составим таблицы, дающие все случаи наступления и ненаступления левой и правой частей доказываемого равенства:

A	B						A	B	AB
+	+	–	–	–	+		+	+	+
+	–	–	+	+	–		+	–	–
–	+	+	–	+	–		–	+	–
–	–	+	+	+	–		–	–	–

Последние столбцы этих таблиц одинаковы, это и означает справедливость равенства

Пример 2. Английский математик Карл Пирсон (1857–1936) бросал монету 24 000 раз, причем герб выпал 12 012 раз. Найти относительную частоту выпадения герба в данной серии опытов.

Решение. Относительная частота выпадения герба в данной серии опытов равна:

Пример 3. Найти вероятность появления верхней грани с числом очков, делящимся на 3, при бросании игральной кости.

Решение. Благоприятствующими данному событию A будут элементарные события A₃ и A₆ (выпадение 3 и 6), а всего элементарных исходов будет шесть. Поэтому

Пример 4. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри правильного треугольника, вписанного в данный круг (рис. 31.3).

Рис. 31.3

Решение. Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

Пример 5. Определить, сколько двузначных чисел можно записать в десятичной системе счисления.

Решение. Число десятков двузначного числа может принимать одно из девяти значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число единиц может принимать одно из десяти значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего получим двузначных чисел.

Пример 6. Определить, сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 6 человек.

Решение. Согласно формуле (31.2) при n = 6, находим

Пример 7. Определить, сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре различные должности из девяти кандидатов на эти должности.

Решение. Воспользуемся формулой (31.3). При n = 9, k = 4 получаем

Пример 8. В девятом классе 35 учащихся. Из них нужно выбрать четыре делегата на конференцию. Определить, сколько имеется возможностей такого выбора.

Решение.

Пример 9. Определить, сколькими способами можно поставить на книжной полке три экземпляра учебника по алгебре, два экземпляра учебника по физике и один экземпляр учебника по белорусскому языку.

Решение.

Пример 10. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?

Решение. Из цифр 0, 2 можем получить пятизначных чисел. Но числа, записанные пятью цифрами, первая из которых нуль, не являются пятизначными.

Их столько, сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2 при повторении цифр, т. е. Поэтому ответ:

Пример 11. На пяти одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова Минск – по одной на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны. Их вынимают наудачу и раскладывают одна за другой на столе. Определить, какова вероятность того, что снова получится слово Минск.

Решение. Из пяти различных элементов можно составить P₅ перестановок: Значит, всего равновозможных элемен­тарных событий будет 120, а благоприятствующих данному событию – только одно. Следовательно,

Пример 12. В играх на первенство страны по баскетболу участвуют 16 команд, которые будут распределены по жребию на две группы по 8 команд. Какова вероятность того, что две команды-победи­тельницы в промежуточных состязаниях войдут в одну группу?

Решение. Число всех способов распределения 16 команд на две группы по 8 команд равно Пусть обе команды-победительницы вошли в одну группу. К ним следует присоединить еще 6 любых команд из оставшихся 14. Это можно сделатьспособами.

Отобранные 8 команд можно объявить группой 1, оставшиеся – группой 2, и наоборот. Следовательно, требованию задачи удовлетворяют комбинаций. Искомая вероятность равна: