Ан.геом. в пространстве

Учреждение образования Федерации профсоюзов Беларуси «Международный университет «МИТСО»

Факультет международных экономических отношений и менеджмента

Кафедра логистики

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Практикум для самостоятельной работы студентов

по теме «Элементы аналитической геометрии в пространстве »

Автор-составитель: О.А. Мокеева, канд. физ.-мат. наук, доцент

Минск 2011

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература Учебники

1.Высшая математика: Общий курс: учеб. для вузов / А.В. Кузнецов [и др.]; под ред. А.И. Яблонского. − Мн.: Выш. шк., 1993. − 349 с.

2.Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. Основы высшей математики: учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов / А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. − М.:

Высш. шк., 1982. − 272 с.

3.Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для естеств. спец. ун-тов / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. − М.:

Наука, 1989. − 656 с.

4.Марков, Л.Н. Высшая математика. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии: учеб. пособие для вузов / Л.Н. Марков, Г.П. Размыслович. − Мн.: Амалфея, 1999. − 208 с.

5.Минюк, С.А. Высшая математика: учеб. пособие для вузов / С.А. Минюк, Е.А. Ровба. − Гродно: ГрГУ, 2000. − 394 с.

6.Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для немат. спец. вузов

/В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. − М.: Высш. шк., 1990. − 479 с.

Задачники

7.Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 246 с.

8.Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. − М.: Наука, 1987. − 349 с.

9.Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: учеб. пособие / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Выш. шк., 1994. − 284 с.

10.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.

В3 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред.

А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1990. − 269 с.

2

Дополнительная литература Учебники

11.Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ, 2002. − 471 с.

12.Гусак, А.А. Высшая математика. В 2 т. Т. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: ТетраСистемс, 1998. − 544 с.

13.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.

В2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. − М.: Оникс, 2002. − 304 с.

14.Красс, М.С. Математика для экономических специальностей: учеб. для вузов / М.С. Красс. − М.: Дело, 2002. − 704 с.

15.Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для вузов / В.С. Ши-

пачев. − М.: Высш. шк., 1998. − 479 с.

16.Малыхин, В.И. Математика в экономике / В.И. Малыхин. − М.:

ИНФРА-М, 2002. − 352 с.

17.Высшая математика / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1993.

18.Математический словарь высшей школы / В.Т. Воднев [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1984.

19.Кастрица, О.А. Высшая математика: учебное пособие / О.А. Кастрица. − Мн.: Новое знание, 2005.

Задачники

20.Гусак, А.А. Справочник по высшей математике: учеб. для вузов / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. − Мн.: ТетраСистемс, 2000. − 640 с.

21.Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

−423 с.

Наглядные и методические пособия

22.Тютянова, В.А. Высшая математика: учебно-методический комплекс (1 курс) / В.А. Тютянова. − Гомель: ГФ МИТСО, 2007. − 145 с.

23.Электронный учебно-методический комплекс «Высшая математика» / Ю.И. Воротницкий [и др.]. − Мн.: БГУ, 2009. − 7376 c.

3

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВПРОСТРАНСТВЕ

1.Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве определя-

ется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке O взаимно перпендикулярных осей: Ox , Oy

и Oz . Точка O − начало координат, Ox − ось абсцисс, Oy − ось ор-

динат, Oz − ось аппликат.

Пусть M — произвольная точка пространства (рис. 1). Проведем через точку M три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ox , Oy и Oz . Точки пересечения плоскостей с осями обозначим со-

ответственно через M x , M y	и Mz . Прямоугольными координатами
точки M называются числа	x OM x , y					OM y , z		OM z , т. е. вели-
чины направленных отрезков OM x ,			OM y , OM z ; при этом x называ-
ется абсциссой, y − ординатой, а z			− аппликатой точки M . Символ
M (x ; y ; z) обозначает, что точка M			имеет координаты x, y, z . Если
M − произвольная точка пространства,					то вектор			OM называется
радиусом-вектором точки M .

Рис. 1

Рис. 2

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке M пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (x; y ; z) − ее прямоугольные координаты и, обратно, каждой

упорядоченной тройке чисел (x; y ; z) соответствует, и притом одна, точка M в пространстве.

4

Плоскости Oxy , Oyz , Oxz называются координатными плоско-

стями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами, которые нумеруют так, как показано на рис. 2.

Расстояние между двумя точками M1(x1; y1; z1) и M2 (x2 ; y2 ; z2 )

вычисляется по формуле:

									d							x x 2															y	2			y	2									z		2				z		2 .							(1)
																2					1													1																	1
Координаты (x; y ; z) точки M ,																																		делящей в заданном отношении
		AM				отрезок										AB ,						A(x1; y1; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 ) , определяются
		MB
по формулам:
							x					x1						x2	,			y							y1							y2				,			z							z1							z2	.		(2)
									1																			1																							1
В частности, при																1 (точка M делит отрезок AB пополам), по-
лучаются формулы для определения координат середины отрезка:
									x						x1			x2			, y										y1				y2			,				z						z1					z2		.
																2																		2																	2
Пример 1.1. Найти координаты точки А , делящей отрезок																																																												A1 A2 в
отношении A1A: AA2															2 : 3, если A1(2;4;																					1) ,							A2 ( 3; 1;6) .
Решение. По условию																					2				. По формулам (2) находим:
																					3
2							2		( 3)							2 2																		4			2					( 1) 4												2				10
						3																														3																	3
		x																							0 , y																																	3		2 ,
						1			2							5																				1							2										5					5
									3							3																										3											3					3
																1							2					6						1		4						3						9
															z						3																														.
																1								2										5								5						5
																					3													3								3
Точка А имеет координаты																												0;2;				9		.
																																5
Ответ: A 0;2;										9			.
									5

5

Пример 1.2. Точка C(3;2;4) делит отрезок AB в отношении 53 .

Найти координаты точки B , если A( 3;2;1) .

Решение. Пусть B(xB ; yB ; zB ) . Так как точка C делит отрезок AB в

отношении					3		, то по формулам (2):
			5
								3			3	x	B		2				3			y	B						1				3	z	B
			3								5			, 2					5							, 4							5				,
								1			3								1			3							1					3
											5											5												5
откуда xB			13, yB					2 ,			zB		9 .
	Ответ: B 13;2;9 .
	Пример 1.3. На оси Oy найти точку,																						равноудаленную от двух то-
чек A(2;3;1) и B( 1;5; 2) .
	Решение. Точка M , лежащая																		на оси Oy , имеет координаты
M (0; y;0) . По условию задачи																AM					BM				. Найдем расстояния																AM
и	BM	, используя формулу (1):
				AM				(0			2)2			( y	3)2				(0				1)2								y2			6y			14 ,
			BM					(0			1)2		( y		5)2				(0				2)2								y2			10y			30 .
Получим уравнение											y2	6y			14					y2			10y						30 . Отсюда находим,
что 4 y 16 , т. е. y									4 . Искомая точка есть M (0;4;0) .
	Ответ: M (0;4;0) .

2. Плоскость в пространстве

Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линейным

алгебраическим уравнением первой степени.
1. Уравнение плоскости,	проходящей через точку	M0 (x0 ; y0 ; z0 )
перпендикулярно вектору n	( A; B;C) :
A(x x0 )	B( y y0 ) C(z z0 ) 0.	(3)

6

Ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости, называется

нормальным вектором плоскости.

Вектор n ( A; B;C) − нормальный вектор плоскости (или просто нормаль).

z

n

M0

O

M

y

Q

x

2. Общее уравнение плоскости:

Ax By Cz D 0

( A2

B2

C 2

0) .

Частные случаи расположения плоскости:

1) если D 0 , то плоскость Ax

By

Cz

0 проходит через нача-

ло координат;

2) если в уравнении плоскости

Ax

By

Cz

D

0 коэффициент

при какой-то переменной равен нулю, то при D

0 плоскость парал-

лельна соответствующей координатной оси,

а при

D 0

плоскость

проходит через соответствующую координатную ось.

3. Уравнение плоскости в отрезках:

x

y

z

1 ,

a

b

c

где a,b,c − абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскостью координатных осей Ox , Oy и Oz соответственно.

Данным уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.

7

z

		c
		O		b					у
		a
	х
4.	Расстояние	d от		точки		M0 (x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости
Ax	By Cz D	0 находится по формуле:
		d		Ax0 By0		Cz0	D		.
					A2 B2 C 2

5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

M1(x1; y1; z1) , M2 (x2 ; y2 ; z2 ) , M3 (x3; y3; z3 ) :

x

x1

y

y1

z

z1

x2

x1

y2

y1

z2

z1

0 .

x3

x1

y3

y1

z3

z1

6. Пусть даны две плоскости Q1

и Q2 :

A1x B1 y C1z D1

0 n1

( A1; B1;C1 ) ,

A2 x B2 y C2 z D2

0 n2

( A2 ; B2 ;C2 ) .

В качестве угла между плоскостями Q1

и Q2 принимают угол

между их нормальными векторами:

cos

n1

n2

n1

n2

или в координатной форме:

cos

A1 A2

B1B2

C1C2

.

A2

B2

C 2

A2

B2

C 2

1

1

1

2

2

2

8

Для нахождения острого угла:

	cos				A1 A2	B1B2		C1C2					.
				A2	B2	C2		A2	B2	C2
		1			1	1		2	2	2

Q2

n1

Q1

n2

Условие параллельности двух плоскостей:

A1

B1

C1

.

A2

B2

C2

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

A1A2

B1B2

C1C2

0 n1 n2

0 .

Плоскости совпадают, когда

A1

B1

C1

D1

.

A2

B2

C2

D2

7. Нормальное уравнение плоскости:

x cos

y cos

z cos p

0 ,

где p − длина перпендикуляра OK , опущенного из начала координат на плоскость; , , − углы, образованные единичным вектором e , имеющего направление перпендикуляра OK , с осями Ox , Oy и Oz cos2 cos2 cos2 1 .

Возьмем на плоскости произвольную точку M (x ; y ; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор r ОМ (x ; y ; z) .

9

При любом положении точки M на плоскости Q проекция ради-

ус-вектора

на направление вектора e всегда равна

p : прe

p , т.

r

r

е.

e p или

e p 0 .

r

r

z

p

K

e

M

r

O

Q

y

x

Замечание. Общее уравнение плоскости Ax By

Cz D

0 при-

водится к нормальному виду путем умножения на нормирующий множитель

	1		,
	A2 B2 C2

учитывая, что знак перед дробью берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.

8. Плоскость P , проходящая				через		две точки M1(x1; y1; z1) и
M2 (x2 ; y2 ; z2 )	перпендикулярно к плоскости Q ,							заданной уравнением
Ax By Cz	D 0 , представляется уравнением
		x	x1	y	y1	z	z1
		x2	x1	y2	y1	z2	z1	0 .	(4)
			A		B		C
Замечание. В случае, когда прямая M1M2							перпендикулярна к плос-

кости Q , плоскость P неопределенна. В соответствии с этим уравнение обращается в тождество.

10