- •Функцией распределения системы двух
- •Геометрически:
- •Введем плотность вероятности системы двух CВ.
- •Геометрически функцию f(x,y) можно изобразить некоторой поверхностью, которая называется поверхностью распределения.
- •Вероятность попадания случайной точки в произвольную область D определится суммированием элементов вероятности по
- •Зная закон распределения системы случайных величин, можно выразить законы распределения отдельных величин, входящих
- •Решить обратную задачу, т.е. по законам распределения отдельных величин найти закон распределения системы
- •Условным законом распределения величины Х, входящей в систему (Х,У), называется ее закон распределения,
- •Условный закон распределения можно задать как условной функцией распределения F(x|y), так и условной
- •Плотность распределения системы двух случайных величин равна плотности распределения одной из величин, входящих
Функцией распределения системы двух |
случайных величин называется вероятность |
совместного выполнения двух неравенств |
X<x, Y<y : |
F(x, y) P( X x,Y y) |
Геометрически:
Функция распределения F(x,y) есть вероятность попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (х,у), лежащий левее и ниже этой точки.
y
(x, y)
x
|
|
1 |
Функция распределения F(x,y) есть |
||
неубывающая функция своих аргументов: |
||
При |
x2 x1 |
F(x2 , y) F(x1, y) |
При |
y2 y1 |
F(x, y2 ) F(x, y1 ) |
2
На минус бесконечности функция распределения равна 0:
F(x, ) F( , y) F( , ) 0
3
Если один из аргументов равен плюс бесконечности, то функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:
F(x, ) F1 (x)
F( , y) F2 ( y)
4
Если оба аргумента равны плюс бесконечности, то функция распределения системы равна 1:
F( , ) 1
Введем плотность вероятности системы двух CВ.
По аналогии с плотностью распределения одной случайной величины, можно определить ее через производную от соответствующей функции распределения:
f ( x, y) 2 F ( x, y) F ( x, y)
x y xy
Плотность распределения системы двух случайных величин есть смешанная производная от функции распределения по обоим аргументам.
Геометрически функцию f(x,y) можно изобразить некоторой поверхностью, которая называется поверхностью распределения.
Выражение f(x,y)dxdy называется элементом вероятности и определяет вероятность попадания в элементарный прямоугольник со сторонами dx, dy.
Вероятность попадания случайной точки в произвольную область D определится суммированием элементов вероятности по всей этой области:
P( X ,Y ) f (x, y)dxdy
D
1 |
Плотность вероятности системы |
есть функция неотрицательная: |
f (x, y) 0 |
2
Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен 1:
f ( x, y)dxdy 1