Непрерывная случайная величина Х
называется распределенной
по нормальному закону с параметрами
a, σ>0, если она имеет плотность
вероятности
f (x)	1		( x a)2
	2	e	2 2

Кривая распределения имеет вид:

f (x) t

a

x

Где	t		1
				2

Выясним смысл параметров распределения Гаусса.
Для этого вычислим характеристики этого
распределения	(математическое				ожидание		и
дисперсию).						( x a)2
			1
M[X ] x f (x)dx				x e		2 2 dx
			2
Делаем замену переменной:
t x a		x 2 t a
	2
	dx	2 dt

		1														t a) e t 2
										(					2								2	dt
				2
						1
														(				t a) e t 2 dt
																	2
Разбиваем на сумму двух интегралов:
					2														a
														t e t 2 dt								e t 2 dt

Второй интеграл представляет собой интеграл Пуассона:

e t 2 dt

В первом интеграле вносим t под знак дифференциала:

2							a						e t2
						e t2 d(t2 )											a a
2
														2

Таким образом, параметр a представляет собой математическое ожидание случайной величины.

Теперь найдем дисперсию:

			1				e	( x a)2
D[X ] (x mx )2	f (x)dx					(x a)2		2 2
				2

dx

Делаем замену переменной:

							t	x		a		x a						t
																	2
									2
									dx					dt
													2
		1														dt 2 2
					(		t)2 e t 2													t 2 e t 2 dt
						2									2
			2

Этот интеграл берем по частям:

t u;

2t e t2 dt dv

dt du;

v e t 2

2

t 2

t 2

( e

t e

)dt

Первое слагаемое в скобках равно 0, так как экспонента в минус бесконечной степени будет стремиться к нулю быстрее, чем возрастает любая степень t.

			2
				2
					e t	dt

Этот интеграл представляет собой интеграл

	Пуассона:	2
						2
			σ
	Тогда параметр					представляет собой

среднеквадратичное отклонение.

Если изменять параметр a , кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя при этом своей формы.

f (x)

a 0

a1

a2

x

Параметр σ характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. При его увеличении кривая

распределения становится более плоской, и наоборот.

f (x)

1

2

	3
σ1< σ2< σ3	x

То, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами a, σ>0 , обозначается

X N(a, )

При вычислении вероятностей такая случайная величина сводится к случайной величине

Z N (0,1)