- •На практике, при исследовании ГС, часто
- •Например, оценкой для математического ожидания может служить среднее арифметическое наблюдаемых значений СВ, поскольку
- •Пусть исследуется СВ Х. Производится выборка объемом n. Ее можно представить как n-мерную
- •Пусть S – некоторый параметр СВ Х. Чтобы приближенно его найти, подбирают статистику
- •В первую очередь, оценка должна быть
- •Во-вторых, оценка должна быть
- •В третьих, желательно, чтобы выбранная несмещенная оценка была
- •На практике не всегда удается удовлетворить всем этим требованиям.
На практике, при исследовании ГС, часто |
||||
возникает |
необходимость |
определения |
||
неизвестных параметров, от которых зависит |
||||
закон распределения СВ, по ограниченному |
||||
числу опытов. |
|
|
|
|
При |
этом, |
любое |
значение |
параметра, |
вычисленное на основе ограниченного числа |
||||
опытов, будет содержать элемент случайности. |
||||
Такое |
приближенное |
значение |
параметра |
|
называется его оценкой. |
|
|
Например, оценкой для математического ожидания может служить среднее арифметическое наблюдаемых значений СВ, поскольку при большом числе опытов среднее арифметическое приближается к мат. ожиданию.
Если число опытов невелико, то замена мат. ожидания средним арифметическим будет приводить к некоторой ошибке.
Поэтому всегда желательно выбрать такую оценку, при которой ошибка минимальна.
Пусть исследуется СВ Х. Производится выборка объемом n. Ее можно представить как n-мерную СВ
V=(X1…Xn),
где Хi - значение Х, принятое в i-ом опыте.
Любая функция от выборки называется статистикой.
Например, среднее арифметическое СВ есть статистика:
n
Xi
X n i 1n
Пусть S – некоторый параметр СВ Х. Чтобы приближенно его найти, подбирают статистику Ŝ, которая должна оценивать этот параметр.
Любая статистика – это СВ, так как она определена на выборках.
Ŝn – статистика, определенная на выборке объемом n.
Для того, чтобы статистика была оценкой параметра ГС, она должна удовлетворять некоторым требованиям.
В первую очередь, оценка должна быть
Это значит, что при увеличении числа опытов она должна приближаться к самому параметру.
Говорят, что оценка Ŝn сходится по вероятности к параметру S, т.е.
|
|
p( Sn S ) 0, |
n |
Во-вторых, оценка должна быть
Т.е. чтобы отсутствовала систематическая ошибка при использовании этой оценки.
Это значит, что должно выполняться условие:
M[Sn ] S
В третьих, желательно, чтобы выбранная несмещенная оценка была
т.е. обладала по сравнению с другими наименьшей дисперсией:
D[Sn ] min
На практике не всегда удается удовлетворить всем этим требованиям.
Например, если даже существует эффективная оценка, то формулы для ее вычисления могут оказаться достаточно сложными и ее приходится заменять другой оценкой, дисперсия которой несколько больше.