Ранее было введено понятие корреляционного момента двух случайных величин:

KXY M X mx Y my

Для дискретных СВ он выражается формулой:

K XY xi mx y j my pij

ij

Адля непрерывных СВ:

KXY x mx y my f (x, y)dxdy

Выясним смысл этой характеристики. Для этого вычислим корреляционный момент для двух независимых величин Х и У:

KXY M X mx Y my

M XY mxY my X mxmy

По свойству математического ожидания:

M[ XY] mx M[Y] my M[ X ] mxmyM[ XY] mxmy

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и У равно произведению мат. ожиданий этих величин:

М[XY]=M[X]M[Y]

Следовательно,

M[ X ]M[Y ] mxmy 0

Корреляционный момент двух независимых величин равен нулю.

Следовательно, если корреляционный момент двух случайных величин отличен от нуля, то это есть признак наличия между ними зависимости.

Из определения корреляционного момента следует, что если одна из величин мало отклоняется от своего мат. ожидания (почти не случайна), то момент будет небольшим, какой бы тесной не была зависимость.

Поэтому для характеристики связи между величинами Х и У переходят к безразмерной величине:

kxy K xy

x y

Для независимых СВ он также равен нулю. Такие СВ называются некоррелированными.

Некорреляция СВ слабее независимости, т.е. если СВ некоррелированны, то они не обязательно будут независимыми.

Если Kxy>0, то СВ называются положительно коррелированными.

Если Kxy<0, то СВ называются отрицательно коррелированными.

Вычислим коэффициент корреляции для СВ Х и У из предыдущего примера.

mx 0.4 Dx 0.64 my 0.4 Dy 0.24

M[ XY ] 1 0.2 1 0.1 0.1

KXY M[ XY ] mxmy 0.1 0.4 0.4 0.26

kxy	Kxy			0.26			0.66
				0.6	0.24
x y

Коэффициент корреляции характеризует не всякую, а только линейную зависимость, при которой возрастание (убывание) одной СВ приводит к возрастанию (убыванию) другой по линейному закону.

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между СВ.

Пусть

У=AХ+B

где А и В – постоянные.

Вычислим корреляционный момент случайных величин Х и У:

KXY M[ XY] mxmy M[ X ( AX B)] mx ( Amx B)

M[ A X 2 B X ] A mx2 B mx

По свойству математического ожидания:

A M[ X 2 ] B mx A mx2 B mx

A (M[ X 2 ] mx2 )