- •Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким же, как и в случае дискретных
- •Дискретные СВ
- •Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:
- •3. Вычисление вероятности попадания на заданный участок может быть произведено двумя способами: с
- •2 способ.
- •5. Находим дисперсию:
- •Случайная величина Х подчиняется закону распределения
- •1. Для нахождения параметра a используем свойство плотности распределения:
Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким же, как и в случае дискретных случайных величин. Меняется вид формул для их нахождения путем замены:
xi x
pi f (x)dx
Тогда получаем формулы для расчета математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины:
Дискретные СВ |
Непрерывные СВ |
n |
|
M[ X ] xi pi |
M[ X ] x f (x)dx |
i 1 |
|
n |
|
D[X ] (xi mx )2 pi |
D[ X ] (x mx )2 f (x)dx |
i 1 |
|
D[ X ] M[ X 2 ] mx 2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
M[ X 2 |
] xi2 pi |
|
M[X 2 ] x2 f (x)dx |
|
i 1 |
|
|
Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:
|
0, |
x 0 |
|
|
2 |
, |
0 x 1 |
F(x) ax |
|||
|
1, |
x 1 |
|
|
Найти величину a, плотность вероятности, вероятность попадания на участок (0.25-0.5), математическое ожидание и дисперсию .
1. Так как функция распределения F(x) непрерывна, то при х=1 ax2=1, следовательно, a=1.
2. Плотность вероятности находится, как производная от функции распределения:
|
|
0, |
x 0 |
|
|
2x, |
0 x 1 |
f (x) F (x) |
|||
|
|
0, |
x 1 |
|
|
3. Вычисление вероятности попадания на заданный участок может быть произведено двумя способами: с помощью функции распределения и с помощью плотности вероятности.
1 способ.
Используем формулу нахождения вероятности через функцию распределения:
p(0.25 x 0.5) F(0.5) F(0.25)0.52 0.252 0.1875
2 способ.
Используем формулу нахождения вероятности через плотность вероятности:
0.5 |
|
|
p(0.25 X 0.5) 2xdx x2 |
00..255 |
0.1875 |
0.25 |
|
|
4. Находим математическое ожидание:
M[ X ] x f (x)dx
1 |
2x3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|||
M [ X ] x 2xdx |
|
|
|
||
3 |
|
|
3 |
||
0 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
5. Находим дисперсию:
D[ X ] M[ X 2 ] mx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
M[X 2 ] x2 f (x)dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
x4 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M[ X 2 ] x2 2xdx |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
2 |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D[ X ] |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
||
2 |
|
3 |
|
|
|
9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Случайная величина Х подчиняется закону распределения
ax, |
0 x 1 |
|
f (x) |
0, |
x 0, x 1 |
|
Найти величину a и функцию распределения.
1. Для нахождения параметра a используем свойство плотности распределения:
f ( x)dx 1
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
ax |
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
a x dx |
|
|
|
1 |
|||
2 |
|
|
|
2 |
|||
0 |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a 2
2. Функция распределения находится путем интегрирования плотности вероятности:
x |
x |
F ( x) f ( x)dx 2xdx x2 |
|
|
0 |
При 0<x<1. Тогда:
|
|
0, |
x 0 |
|
2 |
, |
0 x 1 |
F(x) x |
|||
|
|
1, |
x 1 |
|
|