Дисперсия - это мера рассеяния |
значений случайной величины |
около ее математического |
ожидания: |
D[ X ] M[( X mx )2 ] |
Например, пусть случайная величина Х задана
рядом распределения: |
|
|
x |
0 |
1 |
p |
q |
p |
Найдем математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
M[ X ] 0 q 1 p p mx
D[ X ] (0 mx )2 q (1 mx )2 p
(0 p)2 q (1 p)2 pp2 q q2 pp (1 p) pq
Для вычисления дисперсии часто используют другую формулу:
D[ X ] M[ X 2 ] mx2 
D[X ] M[( X mx )2 ] M[ X 2 2mx X mx2 ]
Используем свойства математического ожидания:
M[ X 2 ] M[2mx X ] M[mx 2 ]M[ X 2 ] 2mx M[ X ] mx 2
M[ X 2 ] 2mx 2 mx 2 M[ X 2 ] mx 2
СВОЙСТВА |
ДИСПЕРСИИ |
1 |
Дисперсия от постоянной |
величины |
равна нулю: |
D[C]=0, C=const |
Используем второе выражение для дисперсии. Так как
M[C]=C, M[C2]=C2
то
D[C]=M[C2]-(M[C])2=C2-C2=0
2
Дисперсия суммы случайной величины Х и постоянной
величины С равна дисперсии
величины Х : D[X+С]=D[X]
По свойству математического ожидания:
М[X+С]=M[X]+С
Поэтому на основании определения дисперсии:
D[ X C] M X C M X C 2M X C mx C 2 M X mx 2 D X
3
Постоянная величина выносится за знак дисперсии
в квадрате: D[k X]=k2 D[X]
Используем определение дисперсии:
D[k X ] M k X M k X 2
По свойству математического ожидания:
k 2 M X 2 k 2 M 2 Xk 2 M X 2 M 2 X k 2 D X
4
Дисперсия всегда неотрицательна:
D[ X ] 0
5
Дисперсия суммы двух случайных величин находится по формуле:
D[ X Y] D X D Y 2KXY