Рассмотрим случай, когда один и тот же
опыт повторяется многократно. Пусть в
результате	каждого		опыта	может
произойти или не произойти событие А.
Несколько		опытов	называются
независимыми,		если	вероятность		того
или иного исхода каждого опыта не
зависит от того, какие исходы имели
другие опыты.
Частная теорема о повторении опытов
рассматривает		случай,		когда
независимые		опыты	проводятся		в

Пусть проводится n независимых опытов, в каждом из которых происходит или не происходит событие А.

Вероятность появления события А в каждом опыте равна Р. Вероятность не появления А равна q=1-P.

Требуется найти вероятность события Bm,

того, что событие А в серии из n опытов произойдет m раз. Обозначим ее Pmn .

Разложим событие Bm на сумму

произведений событий, состоящих в появлении или не появлении события А в каждом опыте:

Bm A1 A2 ... Am Am 1 ... An

A1 A2 ... Am 1 Am 2 ... An ...

A1 A2 ... An m An m 1 ... An

Вкаждом случае событие А происходит m раз, а событие Ā - (n-m) раз.

Число всех комбинаций равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е. числу способов, какими можно из n опытов выбрать те m, в которых произошло событие А.

Вероятность каждой такой комбинации по теореме об умножении вероятностей составит Pmqn-m.

Так как эти комбинации несовместны, то искомая вероятность события Bm будет

Pmn pm qn m ... pm qn m

всего Cnm слагаемых Cnm pm qn m

Таким образом, можно сформулировать следующую теорему:

Если производится n независимых опытов, в
каждом из которых событие А появляется с
вероятностью Р, то вероятность того, что
событие А произойдет m раз выражается как
P Cm pm qn m
mn	n

Известно, если монета упадет орлом, студент идет пить пиво, если монета упадет решкой

– студент идет на свидание с девушкой, если монета встанет на ребро, он пойдет в библиотеку, а если повиснет в воздухе – студент отправится на лекции. Если бы

все эти исходы опыта были равновозможными, то какова была бы вероятность, что при пяти бросаниях монеты 1) трижды выпала необходимость идти на лекцию и

2) хотя бы один раз выпала такая необходимость?

1) В данной задаче проводится серия из 5 независимых опытов, причем вероятность того, что монета повиснет в воздухе в

каждом опыте составляет р= 1/4.

Тогда вероятность противоположного события

составит q=3/4.

По формуле Бернулли находим вероятность того, что при 5 бросаниях монеты трижды случится это событие:

P	C	3		1	3		3		2
		5							0.09
3,5				4			4

Чтобы найти вероятность того, что при 5 бросаниях хотя бы один раз монета повиснет в воздухе, перейдем к вероятности противоположного события - монета ни разу не повиснет в воздухе: Р0,5 .

Тогда искомая вероятность будет: Р=1- Р0,5

Вероятность Р0,5 опять найдем по формуле Бернулли:

P	C	0		1	0		3		5
		5							0.24
0,5				4			4

Тогда вероятность искомого события

составит P 1 0.24 0.76