ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОНИКИ

3. НЕСОВЕРШЕНСТВА В КРИСТАЛЛАХ

Теория идеальных кристаллов позволяет объяснить такие свойства, как плотность, диэлектрическая проницаемость, удельная теплоемкость, упругие свойства. Все эти свойства называются объемными или струк- турно-нечувствительными. Однако все реальные кристаллы – неидеальны. Это отклонение от идеальности оказывает сильное влияние на такие свойства, как прочность, электропроводность, гистерезисные потери в ферромагнетиках и др. Свойства, которые сильно зависят от степени совершенства кристалла, называются структурно-чувствительными, а нарушения структуры называются несовершенствами или дефектами. Различаются следующие дефекты:

1.Тепловые колебания решетки.

2.Точечные дефекты:

а) вакансии, б) атомы внедрения,

в) изолированные включения примеси.

3.Линейные дефекты – дислокации.

4.Поверхностные дефекты:

а) наружная поверхность тела, б) внутренние поверхности – границы зерен и другие внутрен-

ние поверхности.

3.1.Тепловые колебания

3.1.1.Энергия атома, нормальные колебания,

дисперсионные кривые

Под идеальной решеткой понимают такую решетку, в которой каждый атом как бы жестко закреплен в узлах. Это положение определяет минимум энергии атома E f (r) . Однако любой кристалл не является

абсолютно жестким. Это следует хотя бы из того, что любой кристалл можно деформировать.

Смещение атома из положения равновесия происходит также при тепловых хаотичных колебаниях. Величина смещения за счет тепловой энергии составляет ~5–10% межатомного расстояния. К чему приводят такие смещения? Так как атомы взаимодействуют за счет электрических сил, то смещение каждого атома сказывается на соседних атомах. Поэтому характер этих колебаний носит сложный вид. Это взаимодействие можно образно представить в виде упругих сил. Из-за трудности точного описания обычно прибегают к приближенным методам.

Вместо того, чтобы описывать колебания каждого атома, рассматривают их коллективное движение в кристалле. Это укрощение основа-

21

но на том, что колебание, возникшее у одного атома, передается соседним частицам, и в кристалле возбуждается коллективное движение в виде упругой волны сквозь кристалл (например на поверхности воды). Такое коллективное движение называется нормальным колебанием. Число нормальных колебаний в решетке равно числу степеней свободы частиц кристалла – 3N (N – число атомов). Какие частоты колебаний могут быть? Рассмотрим одномерную решетку в виде струны, закрепленной на концах.

Рис. 3.1. Модель связей атомов в кристалле

Рис. 3.2. Одномерная линейная модель твердого тела (а); различные типы колебаний (б и в); зависимость частоты нормальных колебаний (в линейной цепочке) от волнового вектора (г)

Самой низкой частотой ( min) будет частота, когда узлы волны образуются на концах такой цепочки (рис. 3.2 б – 1). Следующему колеба-

22

нию соответствует стоячая волна с узлами на концах и в середине цепочки (рис. 3.2 б – 2) и т.д. Самая малая длина волны будет равна

min=2а (рис. 3.2 в), т.е.

2 v v , (3.1)

max
	min		a

где v – скорость распространения звука в цепочке. Эта частота является константой материала и определяется а. Так как для Cu а = 3,6 10-10 м и v = 3550 м/с, то 3 1013 1/с. Часто спектр возможных колебаний изображают в виде дисперсионных кривых, которые строят следующим образом. Назовем волновым вектором направление, которое совпадает с направлением волны, а модуль равен

q	2	.	(3.2)
Из (3.1)
	q	v ,	(3.3)

но v = f(q). На рис. 3.2 г показана дисперсионная кривая:

q 0	2		2				– колебаний нет.
При возрастании (q) до q =					/a (т.е.				min = 2а) частота увеличивается
и при q = /a достигает максимума, равного
			q				v	.	(3.4)
							a

Рассмотрим цепочку, состоящую из атомов двух сортов (рис. 3.3 а). М – масса тяжелых, а m – масса более легких. В этой цепочке воз-

можны два типа колебаний (рис. 3.3 б и в). Колебания (рис. 3.3 б) ничем не отличаются от колебания однородной цепочки и при q = 0, и ак = 0. Такие колебания называются акустическими, так как они включают весь спектр звуковых колебаний цепочки. Они играют основную роль в определении тепловых свойств кристаллов – теплоемкость, теплопроводность, термическое расширение и т.д. Для колебания (рис. 3.3 в) – соседние атомы колеблются в противофазе. Эти колебания можно рассматривать как колебания относительно друг друга двух решеток из однородных атомов, вставленных одна в другую. Эти колебания называются оптическими, так как они определяют взаимодействие кристаллов со светом.

Для акустических – растет с q, для оптических – максимальна при q = 0 и уменьшается с уменьшением q (достигает минимума при qmax = /a). Оптические колебания могут происходить и с однородными

23

атомами, если имеют две цепочки, вставленные друг в друга (

).

Рис. 3.3. Одномерная линейная модель твердого тела, состоящая из атомов двух сортов (а); типы колебаний (б и в); зависимость частоты нормальных колебаний от волнового вектора (г): 1 – для акустических и 2 – для оптических колебаний;

другая возможная модель из одинаковых атомов (д)

3.1.2 Спектр нормальных колебаний решетки

Рассмотрим простейший случай нормальных колебаний одномер-

ной цепочки:
п	2 L n	(n=1, 2, 3… N),	(3.5)
где L – длина, N – число атомов в цепочке. Число нормальных колеба-
ний z с длиной волны, равной или большей n, будет равно n:
	z n	2L n .	(3.6)

В трехмерном кристалле объемом V (например в кубе с ребром L и объемом L3) при L

z 2L n

3 8V 3n ,

(3.7)

более строгий расчет дает

z 4 V 3n .

(3.8)

24

	Так как
		2 v			,			(3.9)
	то
	z		V				3 .	(3.10)
				2v3
	2
	Дифференцируем
	dz g( )d			3V			2d .	(3.11)
			2		2v3

Это дает число нормальных колебаний в интервале частот от до +d . Функция

g( )	dz		3V 2
				–	(3.12)
	d		2 2v3
это плотность заполнения спектрального участка d					нормальными ко-
лебаниями; тогда
Д
g(	)d		3N –		(3.13)
0

определяет полное число колебаний во всей решетке с числом атомов N. Условие (3.13) называют условием нормировки, а Д – максимальной частотой нормального колебания.

Подставим (3.12) в (3.13) и, проинтегрировав, получим

	V	3Д			3N			(3.14)
	2 2v3
или
	v		6		2 N		13
Д							–	(3.15)
					V
характеристическая дебаевская частота.
Так как тепловая энергия
	E		k T ,					(3.16)
а энергия колебаний
	E				,			(3.17)

25

то
	Д		k ,		(3.18)
где – температура, при которой наблюдается					Д, отсюда
			Д	,	(3.19)
		k
где k – постоянная Больцмана, а	–		постоянная Планка. Эта темпера-

тура называется характеристической температурой Дебая. При этой температуре возбуждается весь спектр колебаний до Д.

При Т > не происходит появления новых нормальных колебаний, их называют высокими. Действие Т приводит лишь к увеличению степени возбуждения каждого нормального колебания и, следовательно, к увеличению их средней энергии. Подставив v3 из (3.14) в (3.12), получим:

		2
	g( ) 9N		–	(3.20)
		3

Д

плотность колебаний с частотой .

В табл. 3.1. приведены характеристические температуры для химических элементов и некоторых соединений.

			Таблица 3.1
Элемент	, K	Элемент	, K
Be	1160	NaCl	320
Mg	406	C (алмаз)	1910
Ca	219	Si	658
Ti	278	Ge	366
Fe	467	Pb	94,5
Cu	339	Sn (серое)	212
W	379	Sn (белое)	189

3.1.3. Энергия нормального колебания Понятие о фононах

Каждое нормальное колебание несѐт с собой энергию и импульс. Определим возможные значения энергии решѐтки. В теории колебаний доказывается, что энергия нормального колебания решетки (в теории

26

колебаний для моделирования процессов используют осцилляторы) равна энергии осциллятора, имеющего массу, равную массе колеблющегося атома и колеблющегося с частотой, равной частоте нормального колебания. Это называется нормальным осциллятором.

Обозначим энергию i-го нормального колебания, обладающего частотой i, через Eiн.к. Она равна Eiн.о осциллятора, имеющего ту же частоту колебаний i: Eiн.к = Eiн.о. Полная энергия кристалла, в котором возбужде-

ны все 3N нормальные колебания, равна

	3N
Е	Еi н.о. ,	(3.21)
	i

т.е. равна энергии 3N независимых нормальных гармонических линейных осцилляторов. Каждый осциллятор представляет одно нормальное колебание в решѐтке, в котором участвуют все атомы кристалла с одной и той же частотой (как волны на поверхности воды проходят друг через друга, и каждая молекула воды участвует в колебании и одной, и другой волны). Известно, что энергия квантового осциллятора равна

	Eiн.о.	n	1		,	(3.22)
			2

где – частота осциллятора, n – квантовое число (n = 1, 2,3 …). С учѐтом (3.22) и рис. 3.2 в начале темы получим энергетический спектр линейного гармонического осциллятора, а так как Eiн.к= Eiн.о, то это и будет энергетический спектр нормальных колебаний решѐтки (рис. 3.4). Минимальная порция энергии, которую может поглотить или испустить решѐтка при тепловых колебаниях, соответствует переходу возбуждаемого нормального колебания с данного энергетического уровня на близлежащий соседний и равна

ф .

(3.23)

Эту порцию, или квант, энергии тепловых колебаний решѐтки называют фононом. Аналогия с излучением: полость абсолютно чѐрного тела заполнена равновесным тепловым излучением. С квантовой точки зрения, – это газ, образованный квантами света – фотонами с энергией

	v и импульсом p				, где c – скорость света. Точно так
		c

же поле упругих волн, заполняющих кристалл, можно трактовать как газ, образованный квантами нормальных колебаний решѐтки – фононами и энергией (3.23) и импульсом

p				q .	(3.24)
	v

27

Рис. 3.4. Энергетический спектр линейного гармонического осциллятора

Среднее число фононов, обладающих энергией (3.23), описывается функцией распределения Бозе-Энштейна (это бозоны)

				1
	f E	exp		1 ,	(3.25)
			kT

которая имеет вид (рис. 3.5 а).

Рис. 3.5. График распределения энергии фононов Е = f(Т) (а) и уровни возбуждения (б)

28

Из графика видно, что при данной температуре Т в решѐтке возбуждаются все нормальные колебания вплоть до kT . Колебания с большей частотой, которым отвечают кванты kT , практически не возбуждаются. Это видно из рис. 3.5 б. Так, если нормальное колебание

	возбуждено до 3-го уровня, то его энергия E3	3	1		, это означа-
			2

ет, что данное нормальное колебание “породило” 3 одинаковых фонона каждый (3.23). На рис. 3.5 б в соответствии с f(E) на рис. 3.5 а изобра-

жены энергетические

спектры

колебаний

с

частотами:

kT

;

1

8

kT

;

kT

;

kT

и

2kT

(показан уровень kT). От-

2

3

4

5

4

2

сюда следует, что колебание

1 возбуждено примерно до 8-го уровня, и

оно порождает 8 фононов с энергией 1

kT

каждый и т.д. Очень

8

слабо возбуждаются колебания с частотой

5 и ещѐ слабее более высо-

кие. Поэтому приближѐнно можно считать, что при данной T

в твѐр-

дом теле возбуждаются колебания вплоть до частоты 1, которой соответствует энергия kT . Итак, учитывая, что энергия одного фонона есть (3.23), а число фононов с этой энергией (3.25) [функция (3.25) выражает среднее число фононов с энергией (3.23)], энергия возбуждѐнно-

	го нормального колебания с частотой			равна
					1
	Eн.к. exp				1 .	(3.26)
				kT

3.1.4. Энергия кристаллической решѐтки Теплоѐмкость

Тепловая энергия решѐтки складывается из энергий нормальных колебаний решѐтки. Так как число нормальных колебаний на спектральном участке d равно g( )d , то энергия нормального колебания в

интервале	d равна dE реш Ен.к.				g		d	, а для всего	спектра
( 0	Д )
					Д
	E реш	dE реш				Eн.к. g		d .	(3.27)
					0

29

Теплоѐмкость кристалла по определению Cv dQdT . Так как dQ A dE , то

	Cv	dE реш	.	(3.28)
		dT

Экспериментально показано С = f(T) на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Теоретическая кривая и экспериментальные данные С=f(Т)

Из термодинамики, согласно классической теории (закон Дюлонга и Пти, 1819):

Cv 3Nk	const ,	(3.29)
то есть для низких температур (T	) этот закон (3.29) не выполняется.

В случае квантовых представлений, подставляя (3.26) в (3.27) и в (3.28), можно получить:

			12 4		T	3
	1) Cv			Nk		, то есть Т3	(область низких температур
		5			Q
(T	) – это закон Дебая, и он хорошо описывает Cv							f(T/ ) в области
T	, (рис.3.6)).
	2) Область высоких температур (T						), Cv 3Nk	const , что так-

же согласуется с опытными данными. Используя понятие о фононах, можно также получить аналогичные зависимости, но мы ограничимся вышесказанным.

30