f_5y40we-arphclqbl0c

131

держит малость u/d в третьей степени. Дельта-функция дает вклад порядка 1/ ωp (k ) , так как, чтобы ее снять при интегрировании по k , нужно перейти к переменной, совпадающей с ар-

гументом δ-функции. Интеграл по d 3k дает величину порядка 1/vяч. Окончательно из (10.23) имеем

1

~

VEат2

me

3/ 2 T

.

(11.17)

τUp (r , k )

θD2

Nvяч M

При этом считается, что характерное значение

ωp (k ) ~ θD . По-

скольку Nvяч =V , а Eат(me / M )1/ 2

~ θD , то

1

T m

1/ 2

~

e

.

τUp (r, k )

M

Предполагая, что v p (k ) порядка скорости звука s, и учитывая,

что теплоемкость cV практически не изменяется в области высоких температур, получаем

κ ~ ρ cV s2τU ~ ρ cV s2 (M / me )1/ 2 / T .

(11.18)

11.4.Область низких температур

Вдиапазоне температур Т<<θD, когда в кристалле существуют только длинноволновые акустические фононы, возникает

существенное различие между временами τ N и τU . Поскольку характерные волновые векторы фононов k ≤TqD /θD << qD , то

векторная сумма волновых векторов двух таких сливающихся фононов не выходит за границы первой зоны Бриллюэна. Други-

ми словами, для тепловых фононов (с k ≤TqD /θD ) возможны

только нормальные процессы.

Для возникновения процесса переброса необходимо участие

							132
в процессе фононов с суммарной энергией, превосходящей θD.
Однако количество таких энергичных фононов экспоненциально
мало при Т<<θD. Поэтому
						τU exp(E0/T),			(11.19)
где величина E0 порядка θD.
Таким образом, длина свободного пробега между процесса-
ми переброса l	U		~	τ	U	и коэффициент теплопроводности κ экс-
		= v
поненциально	растут					с	понижением	температуры при T<<θD
(смотри рис.11.1).
κ
						T 8		exp(E0/T)
	T 3							T -1
						T1	T*	θD	T
Рис.11.1. Температурная зависимость коэффициента
		теплопроводности диэлектрика

В образцах с ограниченными размерами с понижением температуры величина lU превзойдет характерный размер кристалла D. В этом случае роль процессов переброса начнут играть процессы столкновения фононов с поверхностью образца. При этом существуют два диапазона температур, в которых поведение фононной подсистемы качественно различается.

В области самых низких температур, когда D«lN,lU

( N = ~τ N - длина свободного пробега между нормальными про- l v

цессами) фононы пролетают от одной границы образца до другой практически без столкновений (баллистический режим). В этом

133

случае lU = D (звезда означает, что это не истинные процессы

переброса, а столкновения с поверхностью), а величину κ можно оценить по формуле (11.15), учтя, что cV T3 (формула (8.18)):

κ DT3. (11.20)

Эта зависимость имеет место при температурах Т, меньших некоторого характерного значения Т1, которое находится из условия

lN(T1)=D

(11.21)

В области более высоких температур Т>Т1 имеет место соотношение lN«D«lU. В этом случае фонон на пути от одного столкновения с поверхностью кристалла до другого участвует в большом количестве нормальных процессов взаимодействия, изменяя после каждого из них свою энергию и квазиимпульс. Его движение от одной границы кристалла к другой становится диффузионным, то есть его траектория похожа на траекторию частицы в процессе случайных блужданий (смотри рис.11.2). Длина участка траектории, лежащего между двумя столкновениями с

поверхностью, и составляет величину lU . Но в силу сложного характера движения lU »D.

Рис.11.2

Попытаемся оценить величину lU . Как известно из курса

134

общей физики, средний квадрат расстояния <r2>, проходимый частицей за время t в процессе диффузионного движения, равен

	<r2> ~ 6βt,			(11.22)
	где β - коэффициент диффузии.
	Характерную величину коэффициента диффузии β можно
	оценить	1	~~
	β ~		v l ,	(11.23)
		3

где ~ - средняя скорость движения частицы, а l ее длина сво- v

бодного пробега (в рассматриваемом случае это lN). Нас интересует характерное время τU , за которое фонон переместится

на расстояние порядка D (от одной поверхности кристалла до другой)

	~ D	2	/ β ~ D	2	~	N	.	(11.24)
τU					/ vl

Численные множители порядка единицы мы опустили, так как оцениваем τU по порядку величины. Значение

	~		~ D	2	/ l	N	.	(11.25)
lU	~ v	τU
Поскольку lN убывает с повышением температуры,								то lU*

растет по мере возрастания Т. Используя формулу (11.25), легко найти температуру T*, ниже которой столкновения с поверхностью начинают играть доминирующую роль. Необходимо, чтобы выполнилось неравенство

lU < lU

или

l N lU > D2 .

При температуре T , для которой

135
l N (T )lU (T ) = D2 ,	(11.26)

произойдет переход от зависимости (11.19) к степенной зависи-

мости κ Tα . Таким образом, при T=T имеет место максимум коэффициента теплопроводности (смотри рис.11.1).

Для нахождения показателя α необходимо оценить величину τ N (формула (10.23)) для тепловых фононов с k ~ TqD /θD . Для них величина < np (k ) >~ 1.

Найдем зависимость C( p, p1, p2 , g, k , k1) от волновых векторов, считая, что все они одного порядка. Матричный элемент C( p, p1, p2 , g, k , k1) представляет собой результат Фурьепреобразования четвертого слагаемого в (6.7) по трем координатам rl j,s , по которым происходит дифференцирование. При вычис-

лении интеграла Фурье его можно взять по частям и перенести дифференцирование по rl j,s на экспоненту exp(ikrl ,s ) . В результа-

те каждого такого дифференцирования возникает сомножитель kj. Отметим, что фурье-компонента потенциальной энергии взаимо-

действия не обладает какой-либо малостью при малых k . Кроме того, при выражении величин ulj,s в (6.7) через операторы рожде-

ния и уничтожения фононов (формула (7.26)), мы получаем со-

							1 / 2
множители								, которые также входят в
		2 NM		ω
			s		p	(k )

C( p, p1, p2 , g, k , k1). Поскольку ωp (k ) для длинноволновых аку-

стических фононов пропорциональны k, то каждый такой сомножитель дает величину k-1/2. В итоге матричный элемент

C( p, p1, p2 , g, k , k1) оказывается пропорциональным k3/2.

Элемент объема в обратном пространстве d 3k при переходе

136

к сферическим координатам преобразуется в 4πk 2dk . Интегрирование по k снимается дельта-функцией в (10.23). В итоге τN−1 оказывается пропорциональным характерному значению k~TqD/θD в пятой степени, то есть

		τ N T -5.	(11.27)
Величина lN ~ sτ N также ведет себя, как T -5.
Следовательно,	l	T 5 (смотри формулу	(11.25)). Под-
	U

ставляя lU в выражение (11.15) для коэффициента теплопроводности κ, получаем

	κ D2T 8.	(11.28)
Таким	образом, в области температур	T~T1 зависимость
κ T 3 сменяется на зависимость κ T 8 . При дальнейшем росте
температуры значение κ достигает максимума при T =T ,			а по-
том падает	с увеличением температуры как	exp(E0 / T ) .	При

T~θD эта зависимость сменяется законом κ T −1. Общий вид зависимости коэффициента теплопроводности диэлектрика от температуры приведен на рис.11.1.

Мы не обсуждаем здесь роль примесей, которые также могут вносить свой вклад в рассеяние фононов при низких температурах. Однако качественно зависимость κ(T) не изменяется, хотя может произойти изменение показателя степени T в формуле

(11.28).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Ашкрофт Н., Мермин П. Физика твердого тела. - М.: Мир,

1979.

2.Берман Р. Теплопроводность твердых тел. – М.: Мир,

1979.

З. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. - М.: Мир, 1988.

4.Борн М., Хуан Кунь. Динамическая теория кристалличе-

137

ских решеток. - М.: ИЛ, 1958.

5.Займан Дж. При теории твердого тела. – М.: Мир, 1974.

6.Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - М.: Мир,

1978.

7.Косевич А.М. Теория кристаллической решетки. Харьков:

Вищ. шк. 1988.

8.Марадудин А.А., Монтролл Е.В., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом прибли-

жении. - М.: Мир, 1965.

9.Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высшая школа, 2000.

10.Рейсленд Дж. Физика фононов. - М.: Мир. 1975.

11.Харрисон У. Теория твердого тела. - М.: Мир, 1972.

138

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………….. 3

1. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА………………………... 3

1.1.Жидкие, твердые, газообразные………………………….. 3

1.2.Трансляции, элементарная ячейка………………………... 6

1.3. Кристаллические системы и типы решеток Бравэ……….	9
1.4. Элементы симметрии кристаллической решетки………..	15
1.5. Группы и классы симметрии………………………………	19

1.6.Построение элементарной ячейки Вигнера-Зейтца……... 23

1.7.Индексы Миллера кристаллографической плоскости и кристаллографического направления…………………………. 25

1.8.Примеры кристаллических структур. Плотностьупаковки.. 27 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ…………………………………………………… 32

2.1. Дифракция на кристалле…………………………………..	32
2.2. Условия Вульфа-Брэгга……………………………………	35

2.3.Форм-фактор атома………………………………………... 38

2.4.Структурный фактор………………………………………. 40

2.5. Методики структурных исследований…………………… 41

3.ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА……………………………………... 44

4.ДЕФЕКТЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ…………... 47

4.1.	Точечные дефекты…………………………………………	47
4.2.	Линейные дефекты…………………………………………	49

4.3.Плоские дефекты…………………………………………... 51

4.4.Объемные (трехмерные) дефекты………………………... 53 5. ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ КРИСТАЛЛА………………………….. 53

5.1.Взаимодействие Ван-дер-Ваальса………………………... 54

5.2.Ионная связь……………………………………………….. 58

5.3.Ковалентная связь…………………………………………. 59

5.4.Металлическая связь………………………………………. 63 6. ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ………... 64

6.1.Энергия кристалла…………………………………………. 64

6.2. Уравнения движения……………………………………… 67

6.3.Линейная цепочка атомов…………………………………. 71

6.4.Двухатомная линейная цепочка………………………….. 75

139

6.4. Двухатомная линейная цепочка………………………….. 77

7.КВАНТОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ…………………………………………. 81

7.1.Диагонализация гамильтониана………………………….. 81

7.2.Понятие о квазичастицах…………………………………. 85

7.3.Фононы…………………………………………………….. 87

7.4.Ангармонизм………………………………………………. 90

8.ТЕПЛОЕМКОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ….. 94

8.1. Энергия колебаний…………………………………………	94
8.2. Случай высоких температур………………………………	95
8.3. Модель Эйнштейна………………………………………...	96
8.4. Модель Дебая………………………………………………	97
9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ КОЛЕБАНИЙ
РЕШЕТКИ ПЛОТНОСТЬ ФОНОННЫХ СОСТОЯНИЙ).

ЛОКАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ…………………………………. 100

9.1. Спектральная плотность состояний………………………		100
9.2. Локальные колебания……………………………………...		105
9.3. Методы исследования фононных спектров………………		106
9.4. Оценка величины параметра u j	/ d ……………………...	108
l ,s
10. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА……….		109

10.1.Вводные замечания……………………………………… 109

10.2.Бесстолкновительный режим…………………………… 111

10.3.Интеграл столкновений…………………………………. 114

10.4.Интеграл столкновений для трехфононных процессов.. 118

10.5. Линеаризация интеграла столкновений, τ приближение	121
11. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКОВ…………….	124

11.1.Плотность потока энергии……………………………….. 124

11.2.Коэффициент теплопроводности………………………... 126

11.3.Область высоких температур……………………………. 129

11.4.Область низких температур……………………………... 131 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………… 136

Александр Игоревич Морозов

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кристаллическая структура Фононы

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Редактор А.А. Берзин

Учебное пособие напечатано в авторской редакции

Подписано в печать 22.06.2010. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л. 8,14. Усл. кр.-отт. 32,56. Уч.-изд. л. 8,75.

Тираж 120 экз. С 422

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)” 119454, Москва, пр. Вернадского, 78