7.2.2. Линейная теория плазменных усилителей и генераторов.
В предыдущем разделе были рассмотрены неустойчивости, возникающие в безграничной плазме, пронизываемой безграничным пучком, которые положены в основу принципа действия плазменных усилителей и генераторов СВЧ. В действительности же, при разработке электродинамических структур данных приборов необходимо исследование взаимодействия ограниченных по размерам плазмы и потока электронов. Как правило, это цилиндрические плазменные волноводы, находящиеся во внешнем магнитном поле, направленном вдоль оси волновода, пронизываемые цилиндрическим или трубчатым электронным пучком – структуры с осевой симметрией. Исходными уравнениями для их расчёта служат уравнения Максвелла, записанные для компонент электрического и магнитного поля в цилиндрической системе координат, и уравнения движения электронов плазмы и пучка. Внешнее магнитное поле замагничивает электроны пучка и плазмы, поэтому их движение можно считать одномерным - вдоль оси волновода. Движением ионов плазмы можно пренебречь, поскольку интересующие нас процессы протекают за времена, много меньше характерного времени движения тяжелых по сравнению с электронами ионов. Роль ионов при этом сводится лишь к нейтрализации статического электрического заряда в плазме.
В таком случае, уравнения Максвелла, записанные для аксиально-симметричного поля волны, т.е. не зависящего от угла φ (производная по φ равна нулю) имеют вид:
(7.66)
где - компоненты электрического и магнитного поля волны, а jp и jb - индуцированные высокочастотные составлящие плотности токов в плазме и электронном пучке соответственно. Чтобы найти решение системы уравнений (7.66), необходимо выразить плотности токов в плазме jp и электронном пучке jb через компоненты поля.
Выражение для плотности тока электронов плазмы можно определить, используя уравнения движения электронов холодной нерелятивистской плазмы в гидродинамическом приближении, которое справедливо для высокочастотных волн, когда их фазовая скорость много больше средней тепловой скорости электронов
(7.67)
(7.68)
где np и vp - плотность и скорость электронов плазмы. Линеаризуя уравнения (7.67) и (7.68), т.е подставляя в них (<<) и (<<), где и - возмущение плотности и скорости электронов плазмы пропорцианальные ~ пренебрегая членами второго порядка малости, а также учитывая, что jp=enpvp и ≈0, получим
(7.69)
где - ленгмюровская частота электронов плазмы, а - их равновесная плотность.
Выражение для плотности тока электронного пучка определяется интегралом
(7.70)
где - высокочастотная составляющая функции распределения электронов пучка , p - импульс электрона, определяемая из бесстолкновительного кинетического уравнения - уравнения Власова
(7.71)
Постоянную составляющую тока пучка можно не учитывать, поскольку при инжекции электронного пучка в плазму в последней индуцируется ток её компенсирующий.
Замкнутая система уравнений (7.66), (7.69), (7.70) и (7.71) описывает поле аксиально-симметричных волн в холодной плазме, пронизываемой электронным потоком с функцией распределения fb(t,x,p).
Найдем выражения для компонент поля в круглом металлическом волноводе радиуса R, полностью заполненном однородной плазмой, в отсутствие пучка, т.е когда jb=0. Тогда к уравнениям (7.66) и (7.69) необходимо добавить граничное условие на поверхности металла
(7.72)
и условие ограничения амплитуды поля на оси волновода
(7.73)
Полагая все переменные пропорциональными ~ для компонент поля из уравнений (7.66) и (7.69)получим:
(7.74)
где и - функции Бесселя нулевого и первого порядка соответственно. Из граничного условия (7.72) следует, что - какой-либо корень уравнения Кроме того,
(7.75)
Уравнение (7.75) есть дисперсионное уравнение, связывающее частоту и волновой вектор k различных типов волн (), которые могут распространяться в круглом волноводе радиуса R, полностью заполненном однородной холодной плазмой. Решение этого уравнения
, (7.76)
соответствует двум волнам, распространяющимся в противоположные стороны. Фазовая скорость этих волн равна
(7.77)
Из (7.77) следует, что в области частот , фазовая скорость меньше скорости света с. Это обстоятельство и позволяет использовать плазменные волноводы в качестве замедляющих структур усилителей и генераторов СВЧ.
Пусть теперь плазменный волновод пронизывается электронным пучком. Тогда, для решения системы уравнений (7.66) и (7.69) необходимо задать геометрию пучка, функцию распределения fb и определить плотность тока пучка из уравнений (7.70) и (7.71). В случае узкого трубчатого пучка со средним радиусом и толщиной , распространяющегося в круглом металлическом волноводе радиуса R (), полностью заполненном однородной плазмой, учитывая (7.74), решение уравнений (7.66) можно искать в виде [19]:
(7.78)
Тогда, подставив (7.78) в уравнения (7.66), (7.69) и (7.71), домножив третье уравнение (7.66) на и проинтегрировав его по r от нуля до R, получим следующую систему уравнений:
(7.79)
где При выводе третьего уравнения (7.79) было использовано неравенство позволяющее применить теорему о среднем при интегрировании по r.
Для определения плотности тока пучка jb линеаризуем уравнение Власова для электронов пучка:
(7.80)
где - равновесная функция распределения электронов пучка, - её возмущение. Будем считать, что в равновесии электронный пучок является моноэнергетическим, так что
(7.81)
где а и v0 - невозмущенные значения плотности и скорости электронов в пучке.
Полагая из (7.80) находим
(7.82)
Подставляя (7.82) в (7.70) и используя определение тока пучка и свойства дельта - функции, получим
(7.83)
где - ленгмюровская частота электронов пучка.
Подставляя (7.83) в систему уравнений (7.79) и полагая все переменные этой системы пропорциональными ~ получим однородную систему алгебраических уравнений для компонент поля аксиально- симметричных волн плазменного волновода с узким трубчатым пучком
(7.84)
,
где
Нетривиальное решение данной системы существует, если определитель системы, составленный из коэффициентов перед искомыми переменными равен нулю, откуда следует дисперсионное уравнение:
(7.85)
В отличие от (7.75), уравнение (7.85) является уравнением четвертого порядка относительно k и имеет четыре корня где n=1,2,3,4. Общее решение линеаризованной системы уравнений (7.79) представляет собой суперпозицию четырех волн с волновыми числами . Так, например, компоненту поля можно записать в виде
(7.86)
где - произвольные постоянные.
Решить дисперсионное уравнение (7.85) аналитически достаточно сложно и приходится прибегать к различным приближениям. Например, в случае электронных пучков малой плотности, когда выполнено неравенство
(7.87)
где , приближенное решение уравнения (7.85) имеет вид [20]:
(7.88)
где - корни кубического уравнения
(7.89)
Величину , пропорциональную разности между фазовой скорости невозмущенной плазменной волны и скоростью электронов пучка называют расстройкой.
Анализ уравнения (7.89) показывает [19], что при оно имеет два комплексно сопряженных корня. Это означает, что одна из волн, распространяющихся в направлении пучка, усиливается, а другая затухает. Максимум усиления достигается в резонансном случае - при нулевой расстройке. Тогда из уравнения (7.89) имеем:
(7.91)
В силу пропорцианальности ~ усиливается волна, имеющая положительную мнимую часть волнового вектора. При этом её волновой вектор и инкремент нарастания амплитуды поля определяются как
(7.92)
(7.93)
В нерезонансном случае, корни уравнения (7.89) зависят от расстройки (рис.7.3). Но, по-прежнему, усиливается волна с волновым числом и инкрементом .
Рис.7.3. Зависимость от расстройки
Таким образом, в плазменном волноводе, пронизываемом электронным пучком, возможно усиление плазменных колебаний по экпоненциальному закону ~eγx, инкремент которых γ максимален в резонансном случае, т.е. когда фазовая скорость невозмущённой плазменной волны равна скорости электронов пучка, и определяется выражением (7.93).
Отрезок плазменного волновода может служить электродинамической структурой не только усилителя, но и генератора СВЧ колебаний. Для этого требуется создать условия передачи части энергии усиливаемых колебаний от выходной границы отрезка волновода к входной, обеспечивающие самовозбуждение электромагнитных колебаний на собственных частотах. От линейной теории требуется определить значение тока пучка, с которого начинается самовозбуждение колебаний в системе на некоторой собственной частоте.
Пусть электродинамическая структура плазменного генератора представляет собой отрезок волновода длины L, на входе которого при x=0 имеется металлическая сетка, прозрачная для электронов пучка и непрозрачная для волн, а на выходе при x=L происходит частичное излучение наружу и отражение внутрь с коэффициентом отражения . Тогда, на границе x=0 равны нулю тангенциальная составляющая поля волны и возмущения плотности тока и плотности заряда в пучке, так как на вход системы пучок поступает невозмущенным. Из уравнений (7.86) (7.83), (7.74) и уравнения непрерывности заряда пучка граничные условия можно записать следующим образом [19]:
(7.94)
При записи условий (7.94) учтено, что волна с волновым числом , распространяющаяся навстречу пучку, возмущает пучок достаточно слабо.
Граничные условия (7.94) с учётом уравнений (7.87)- (7.89) приводятся к виду
(7.95)
где
Уравнение (7.95) означает, что волна, бегущая навстречу пучку с волновым числом на границе x=0 трансформируется в волны с волновыми числами , амплитуды которых определяются согласно (7.95), при этом
На границе x=L происходит обратная трансформация волн с волновыми числами в волну с волновым числом . Если считать, что для всех трёх волн комплексный коэффициент отражения одинаков, то процесс трансформации волн может быть описан соотношением
(7.96)
или с учётом (7.88):
(7.97)
В случае, когда усиление второй волны на длине отрезка волновода значительно, т.е. выполнено неравенство
, (7.98)
на границе x=L можно пренебречь волнами с волновыми числами и . Учитывая это, и разделяя действительные и мнимые части уравнения (7.97), получим систему двух уравнений:
(7.99)
где N= 0,1,2… . Уравнение (7.99) имеет смысл баланса амплитуд и фаз на границах отрезка плазменного волновода, необходимого для самовозбуждения системы. Первое определяет спектр собственных частот на которых начинается самовозбуждение, а второе – необходимую для этого ленгмюровскую частоту электронов пучка. При наиболее близком к значению , соответствующему нулевой расстройке , коэффициент усиления максимален и, следовательно, минимально. Если , то, как следует из (7.91) и (7.95), и уравнения (7.99) принимают вид
(7.100)
где N0 - значение N, при котором
Учитывая, что а , из второго уравнения (7.100) найдем минимальное пороговое значение ленгмюровской частоты электронов пучка, при котором начинается генерация колебаний:
(7.101)
Если резонатор не имеет собственной частоты, для которой , т.е. уравнения (7.98) и несовместимы, то пороговое значение будет несколько больше определяемого формулой (7.101).
Из определения ленгмюровской частоты и тогда пороговая плотность тока электронного пучка
. (7.102)
Таким образом, в резонаторе, представляющем собой отрезок плазменного волновода, пронизываемый электронным пучком, начиная с некоторой пороговой плотности электронного пучка, определяемой в линейном приближении выражением (7.102), возможно самовозбуждение, т.е. начало генерации на собственных частотах. Поступающая энергия от электронного пучка компенсирует энергию поля в резонаторе, затухающую вследствие излучения через выходное устройство.