Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МатСтат задачі

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
16.02.2016
Размер:
686.25 Кб
Скачать

УКООПСПІЛКА ЛЬВІВСЬКА КОМЕРЦІЙНА АКАДЕМІЯ

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

(Математична статистика)

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНИХ ЗАНЯТЬ ТА САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ

напрямів підготовки:

6.030203 “Міжнародні економічні відносини”,

6.030502 “Економічна кібернетика”,

6.030504 “Економіка підприємства”,

6.030507 “Маркетинг”,

6.030508 “Фінанси і кредит”,

6.030509 “Облік і аудит”,

6.030601 “Менеджмент”

Львів Видавництво Львівської комерційної академії

2011

Укладачі: i j .h Dn h i .1b F.q,^ .h Kp h j h d • <.\ Fk., v d b ck .l \ b. dKel _ n Z <.g.1y d

Відповідальний за випуск .d n.- f. .g, i j .h Dn h i .1b F.q

J _ d h f _ g ^ h \j Zm<gdqhm gjhZx^ nh Zx d m e vf l_ _g l m^ ` f _ g l m

I j h l h ‹d2h \e 28•.^10. 2010 .j

©Копич І. М., Сороківський В. М., Стефаняк В. І., 2011 р.

J H A >. 1KEL : L B K L B QHG IBBCKJ ? A M E V LK: ILH1 K< L ? J ? @ ? G V

1.1.Дані про кількість бракованих виробів у навмання відібраних 15 партіях готових виробів задано таким рядом: 5, 2, 6, 4, 5, 4, 6, 1, 3, 7, 2, 4, 5, 0, 5.

Потрібно: а) побудувати ранжований та варіаційний ряди; б) записати таблиці частот та відносних частот; в) знайти моду та медіану.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

0

1

 

2

 

3

4

5

6

7

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< • ^ i h б\)

• ^

1

1

 

2

 

1

3

4

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

0

 

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

в)

 

Mo 5, Me 4 .

Z

1

 

1

 

2

 

1

 

3

 

4

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

15

 

15

 

15

 

15

 

15

 

15

 

15

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.Задано кількість студентів у навмання відібраних 16 групах І та ІІ курсів академії, середній бал успішності яких за рейтинговою системою навчання перевищує 90 балів: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 1, 2, 1, 0, 0, 8, 0, 2, 0, 3.

Потрібно: а) записати ранжований ряд; б) побудувати статистичні ряди частот та відносних частот; в) обчислити моду та медіану; г) побудувати полігони частот та відносних частот.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

0

1

2

3

4

5

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< • ^ i :h б\)

• ^ v

3

3

2

2

1

 

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

0

 

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; в) Mo 0 , Me

2 .

 

Z

4

 

3

 

3

 

2

 

2

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

16

 

16

 

16

 

16

 

16

 

16

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.Кількість пляшок напою “Coca Cola”, пошкоджених при транспортуванні,

задано таким рядом: 0, 6, 1, 3, 2, 3, 5, 4, 2, 3, 4, 0, 2, 1.

Потрібно: а) побудувати полігон частот та відносних частот; б) обчислити моду та медіану.

< • ^ i :hб)\Mo• 1^ v2 ; Mo2 3 ; Me 2,5.

1.4.Задано вибірку 1, 8, 2, 2, 3, 5, 7, 6, 4, 4, 3, 5, 3, 1, 0, 4, 5, 6, 5, 4. Побудувати полігони частот та відносних частот.

1.5.Дискретно розподілена ознака [ генеральної сукупності реалізується вибіркою у вигляді такого статистичного розподілу частот:

а)

xi

–1

0

1

2

3

 

; б)

xi

1

2

3

4

.

ni

1

2

4

3

2

 

ni

4

3

2

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Записати емпіричну функцію розподілу F[ x та побудувати її гра-

фік.

 

 

- 0,

x d 1;

 

 

 

 

-0;

 

x d1;

 

 

1°12,

1 x 0;

d

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0,4;°

x d2;

< • ^ i :hа)\F•

x^ v

°

 

0 x d1; б)

F

x

 

°

2

x 3;

3 12,

 

0,7;

[

 

®

 

1 x d2;

[

 

 

®

3

x d4;

 

 

7

12,

 

 

 

 

0,9;

 

 

°

 

2 x d3;

 

 

 

 

°

 

 

 

 

10 12,

 

 

 

 

°1,

 

x !4.

 

 

°

1,

x !3;

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

1.6.Випадково відібрали моменти часу протягом доби і зафіксували час доступу, тобто повного завантаження (в секундах), до веб-сторінки Віртуального центру дистанційного навчання в академії на одному з комп’ютерів лабора-

торії: 5, 9, 60, 15, 19, 22, 21, 15, 25, 20, 31, 32, 35, 35, 35, 40, 45, 31, 42, 54, 34, 28, 31, 28.

Потрібно: а) побудувати інтервальний варіаційний ряд, розбивши від-

різок 0; 60 >на 6 рівновеликих@ інтервалів; б) записати інтервальні таблиці

частот та відносних частот; в) побудувати гістограми частот та відносних частот.

< • ^ i h \ • ^

б)

[zi 1; zi )

[0; 10)

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60]

;

ni

2

3

6

8

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

[zi 1; zi )

[0; 10)

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60]

.

Z

0,083

0,125

0,250

0,333

0,125

0,083

 

 

 

i

 

1.7.Задано вибірку з 25 елементів: 730, 597, 591, 913, 962, 602, 665, 860, 718, 811, 624, 805, 713, 744, 768, 758, 685, 663, 553, 759, 625, 584, 642, 621, 602.

Побудувати інтервальну таблицю відносних частот, розбивши відрізок500; 1000 >на 5 рівновеликих інтервалів@ . Нарисувати відповідну гістогра-

му.

< • ^ i h \ • ^

[zi 1; zi )

[500; 600)

[600; 700)

[700; 800)

[800; 900)

[900; 1000]

.

Z

0,16

0,36

0,28

0,12

0,08

 

i

 

1.8.Обсяги часу (в годинах), який витратили 25 навмання вибраних студентів на підготовку до іспиту в період екзаменаційної сесії, наведено в такому ряді: 10,9; 12,0; 8,4; 17,2; 24,0; 8,6; 16,2; 7,5; 24,1; 14,2; 5,4; 6,3; 18,2; 6,2; 18,3; 5,5; 7,8; 17,7; 6,9; 11,3; 7,5; 5,8; 10,8; 4,0; 7,1.

4

Потрібно: а) побудувати інтервальну таблицю відносних частот (кількість інтервалів знайти за формулою Стерджеса; прийняти lg 25 |1,398 ); б) знайти емпіричну функцію розподілу та побудувати її графік.

 

[z

; z)

Z

 

 

i 1

i

i

 

 

[4,00; 7,35)

0,32

 

 

 

 

 

 

[7,35; 10,70)

0,20

 

 

 

 

 

;

< • ^ i h \а) • ^[10,70;

14,05)

0,16

 

 

 

 

[14,05; 17,40)

0,12

 

 

 

 

 

[17,40; 20,75)

0,12

 

 

 

 

 

[20,75; 24,10]

0,08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

0;

x d4,00;

 

 

 

 

0,096°

x 0,382;

4,00 x

7,35;

 

 

 

 

0,060°x 0,119;

7,35 x

10,70;

б)

 

 

°

 

 

 

[

®

 

10,70 x 14,05;

 

F

x

 

0,048x 0,009;

 

 

 

 

0,036x 0,177;

14,05 x

20,75;

 

 

 

 

°

 

20,75 x

24,10;

 

 

 

 

0,024x 0,424;

 

 

 

 

°

1;

x !24,10.

 

 

 

 

°

 

 

 

 

¯

 

 

 

1.9.Сформовано випадкову вибірку із 20 студентів. Результати вимірювання їх зросту (в см) виписали в ряд: 165, 171, 176, 183, 189, 168, 172, 176, 184, 190, 168, 172, 176, 184, 174, 178, 175, 179, 184, 180.

Потрібно: а) побудувати інтервальну таблицю відносних частот (кіль-

кість інтервалів знайти за формулою Стерджеса; прийняти lg 20 |1,301); б) знайти емпіричну функцію розподілу та побудувати її графік.

< • ^ i :h \ • ^ v

а)

[zi 1; zi )

[165; 170)

[170; 175)

 

 

[175; 180)

 

[180; 185)

 

[185; 190]

;

 

Z

0,15

0,20

 

 

 

 

0,30

 

0,25

 

 

0,10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

0;

 

 

x d165;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,03° x 4,95;

165 x

170;

 

 

 

 

 

 

 

 

0,04°x 6,65;

170 x

175;

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

®

10,15; 175

x 180;

 

 

 

 

 

 

F

 

 

x

 

0,06x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,05x 8,35;

180 x

185;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°

 

185 x

190;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,02x 2,80;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°

1;

 

 

x !190.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

1.10. Задано інтервальний статистичний ряд для вибірки:

а)

[zi 1; zi )

[0; 1)

[1; 2)

 

[2; 3)

[3; 4)

[4; 5]

;

ni

2

3

 

5

4

1

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

б)

[zi 1;

zi )

[0; 2)

[2; 4)

 

 

 

[4; 6)

 

 

 

 

[6; 8)

 

[8; 10]

 

.

 

 

 

 

ni

 

5

6

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Потрібно побудувати гістограму частот, а також знайти моду та медіа-

ну.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< • ^ i :hа)\Mo• ^ 2v2 ; Me 2,5; б) Mo 2,5; Mo

2

7,2; Me 4 2 .

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.11. За умови попереднього прикладу знайти перший та третій квартилі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

< • ^ i :hа)\Q• ^1 v

,

Q

3

3

 

 

; б) Q 2

 

, Q

3

7

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

12

 

 

 

 

16

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.12. Для заданої сукупності:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 1, 2, 3, 4;

б)

 

xi

 

 

1

 

 

 

 

2

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

 

2

 

 

 

 

1

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обчислити середнє арифметичне, геометричне, квадратичне та гармонійне.

 

 

< • ^ i :hа)\x• ^2,5v; x

4 24

 

2,21; x |

7,5

 

 

2,74; x 1,92| ;

 

 

 

a

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

б) x 2,625 ; x

8 864

2,33 ; x

8,125|

 

2,85 ; x 2 . |

 

 

 

a

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

1.13.Результати вступних випробувань (у балах) навмання відібраних 40 абітурієнтів задаються такою інтервальною таблицею частот:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

>i 1

;

i

>

 

>

 

 

70; 80

 

 

80; 90

 

 

90;100

 

>

 

z

 

z

50; 60

 

60; 70

 

 

 

 

 

 

 

100;110

 

 

 

ni

 

1

 

3

 

 

8

 

 

14

 

 

11

 

3

 

 

Обчислити середнє арифметичне, моду та медіану. Який їхній зміст? Чому їхні значення відрізняються між собою несуттєво?

< • ^ i :hxa\ •85^; Mov |86,67 ; Me |85,71. 1.14. Навмання відібраних 20 студентів погрупували за зростом (у см):

165 – 170

3 студ.;

170 – 175

4 студ.;

175 – 180

6 студ.;

180 – 185

5 студ.;

185 – 190

2 студ.

Обчислити середнє арифметичне та медіану. Який їхній зміст?< • ^ i :hxa\ •177,25^ v см; Me 177,5 см.

1.15.Дані про обсяги випуску продукції сільського господарства (млн. грн.) та індекси зростання випуску цієї продукції в 2005 р. (у %) в південних областях України задаються такою таблицею:

6

2275

3199

2039

2205

99,78

120,63

112,99

94,83

Обчислити середній індекс зростання.

< • ^ i :h107,24%\ • ^ .v

1.16.Задано обсяги ВВП на одну особу в Україні: 1998 р. – 2040 дол., 1999 р. – 2614 дол., 2000 р. – 3436 дол., 2001 р. – 4195 дол., 2002 р. – 4583 дол.

Розрахувати середній коефіцієнт зростання ВВП на одну особу за

1999-2002 рр.

< • ^ i :h122,43%\ • ^ .v

1.17.Задано число осіб, які загинули при пожежах: 1999 р. – 2086 чол., 2000 р. – 2423 чол., 2001 р. – 3524 чол., 2002 р. – 3660 чол.

Обчислити середній коефіцієнт зростання числа осіб, які загинули при пожежах, за 2000 – 2002 рр.

< • ^ i :h120,61%\ • ^ .v

1.18.За даними врожайності двох сортів винограду (кг з куща) перевірити виконання правила додавання дисперсій та обчислити значення емпіричного кореляційного відношення:

Сорт А

Сорт В

1,5; 1,8; 2,1; 1,4;

1,8; 2,4; 2,5; 2,1;

1,7; 1,5; 1,8; 1,8

2,5; 2,4; 2,5; 2,2

< • ^ i :hK\ • |0,80^ v .

емп.

1.19.У таблиці наведено дані про обсяги ВВП на душу населення в країнах Європи (включно з Росією, без Ватикану):

Західна

Північна

Південна

Східна та Централь-

Європа

Європа

Європа

но-Східна Європа

30,0; 29,1; 27,7;

31,1; 12,3;

19,0; 7,6; 6,1; 20,0;

 

29,6; 55,0; 25,0;

30,9; 10,2;

22,0; 26,7; 6,7; 7,7;

6,1; 1,8; 11,1; 13,3;

28,6; 27,0; 27,6;

11,4; 37,8;

18,0; 34,6; 7,0; 9,0;

13,9; 5,4; 15,7; 8,9

27,6; 32,7

26,8; 27,4

2,2; 10,6; 4,5

 

Потрібно: а) перевірити справедливість правила додавання дисперсій; б) обчислити емпіричний коефіцієнт детермінації та емпіричне кореляційне відношення. Зробити відповідні висновки.

< • ^ i :hб)\R•2 ^ |v0,49 ; K |0,70.

емп. емп.

1.20.Оскільки емпіричний коефіцієнт детермінації та емпіричне кореляційне відношення вказують на те, яка частина загальної варіації обумовлена ознакою групування, то ці характеристики можна використовувати для оцінки якості аналітичного групування, а саме: чим більші ці значення, тим виразнішим є групування. За однією класифікацією дані про виробництво мо-

7

лока всіх видів (тис. т) за регіонами України (за січень 2008 р.) розбито на 3 групи:

 

Західні

 

 

Східні та

Північні та

 

області

 

південні області

центральні області

20,7; 16,0; 19,4; 21,9;

 

15,6; 16,8; 22,3; 16,5; 15,6;

48,1; 31,6; 38,7; 16,5;

18,6; 17,2; 33,9; 16,2

 

15,3; 19,8; 27,3; 14,5

41,3; 24,8; 34,8; 25,9

за іншою класифікацією – на 2 групи:

 

 

 

 

 

 

 

 

Лівобережна Україна

 

Правобережна Україна

 

15,6; 16,8; 22,3; 16,5; 15,6;

 

48,1; 20,7; 31,6; 16,0; 19,4;

 

 

 

38,7; 16,5; 21,9; 15,3; 19,8;

 

 

41,3; 24,8; 27,3; 14,5; 25,9

 

 

 

 

18,6; 17,2; 33,9; 34,8; 16,9

 

 

 

 

 

 

 

 

В якій із таблиць ознака групування є виразнішою? Відповідь поясни-

ти.

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

< • ^ i :hK\ |•0,48^ v;

K |0,02 . Класифікація у першій таблиці виразніша.

1

2

 

 

 

 

J H A 2>. 1LEH Q D HH <P 11 G DI :BJ : F ? L JJ1H< A I H > 1 E M

2.1.Вимірюючи твердість 10 зразків легованої сталі (в деяких умовних одини-

цях), отримали такі результати: 13,1; 12,8; 11,9; 12,4; 13,5; 13,7; 12,8; 13,8; 10,6; 12,4.

Обчислити вибіркове середнє, зміщену та незміщену оцінки дисперсії.

< • ^ i :hx \ 12,7• ^ ;vD 0,826; D |0,918. 2.2. Для заданої вибірки з 12 елементів: 1,7; 0,3; 0,7 ; 2,1; 0,3; 0,5; 1,7;0,1; 1,4 ; 0,0; 2,6 ; 0,5 обчислити вибіркове середнє, зміщену та незмі-

щену оцінки дисперсії.

< • ^ i :hx \ | •0,34^ v; D |1,56 ; D |1,70.

2.3.Із генеральної сукупності відібрано вибірку з 15 елементів, записану у вигляді статистичного ряду частот

xi

1

4

7

10

.

ni

6

4

3

2

 

Оцінити генеральне середнє M[, а також генеральне середньоквадратичне відхилення за допомогою V та V.

< • ^ i :hx \ 4,2• ^; vV |3,19 ; V |3,30 .

2.4.Число студентів групи, які зайшли усміхненими в аудиторію перед іспитом, записали у вигляді таблиці частот

8

Число усміхнених

3

4

5

8

9

10

13

 

студентів, xi

.

Кількість груп, ni

1

2

5

10

5

3

4

 

Обчислити вибіркове середнє x , вибіркову D та виправлену вибіркову D дисперсії, а також оцінки для середньоквадратичного відхилення V та V.

< • ^ i :hx \ 8,1• ^; Dv 7,29 ; D |7,54 ; V 2,7 ; V |2,75.

2.5.Серед усіх груп студентів в академії відібрали 20 груп (по 25 чоловік) з метою взнати, скільки студентів у групі регулярно п’ють каву на сніданок.

Отримали такі дані: 7, 4, 10, 6, 8, 7, 9, 5, 8, 7, 9, 2, 6, 3, 4, 5, 10, 10, 2, 6.

Сформувавши спочатку таблицю частот, знайти основні точкові оцін-

ки: x , D , D , V, V.

< • ^ i :hx \ 6,4• ^; Dv 6,24 ; D |6,57 ; V |2,50 ; V |2,56 .

2.6.Задано відхилення показів 25 тестових амперметрів від справжнього значення сили струму (з точністю до міліамперів): 1, 1, 1, 2, 1, 2, 6, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2 , 1, 1, 3, 2, 1, 3, 5.

Сформувавши спочатку таблицю частот, знайти точкові оцінки x , D ,

D .

< • ^ i :hx \ 0,2• ^; Dv 4,32 ; D 4,5 .

2.7.Обчислити вибіркове середнє та незміщену оцінку дисперсії для неперервної вибірки

[zi 1; zi )

[10; 12)

[12; 14)

[14; 16)

[16; 18)

[18; 20]

.

ni

2

4

6

8

12

 

< • ^ i :hx \ 16,5• ^ ;vD 6,45 .

2.8.Зріст (у см) навмання відібраних імовірних учасниць конкурсу “Міс Академія – 2010” записали в інтервальну таблицю частот:

[zi 1; zi )

[170; 174)

[174; 178)

[178; 182)

[182; 186)

[186; 190]

.

ni

2

4

10

6

3

 

Знайти оцінку для середнього зросту ймовірних учасниць в генеральній сукупності та виправлене вибіркове середньоквадратичне відхилення.

< • ^ i :hx \ 180,64• ^ v см; V |4,42 см. 2.9. Задано розподіл ваги (кг) вибірково відібраних новонароджених:

zi 1 zi

2,0 – 2,5

2,5 – 3,0

3,0 – 3,5

3,5 – 4,0

4,0 – 4,5

ni

15

30

35

25

15

9