Лабораторна робота №1

5.1 Парна регресія

1. За кореляційним полем вибираємо вигляди залежності.

За виглядом кореляційного поля (тому що з ростом x y, в основному, збільшується) припускаємо наявність залежності двох типів:

• прямолінійна

; (5.1 )

• експоненціальна

. (5.2 )

2. Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайдемо оцінки параметрів моделей ,,і.

Відомо, що для лінійної моделі оцінки параметрів рівняння визначаються за формулами 5.3 і 5.4:

(5.3 )

(5.4 )

де r_xy - вибірковий парний коефіцієнт кореляції поміж x і y;

(5.5 )

S_y, S_x - вибіркові середні квадратичні відхилення; визначаються як корінь квадратний із вибіркових дисперсій і:

; (5.6)

, - вибіркові середні

;. (5.7)

Таблиця з розрахованими значеннями наведена нижче:

Тоді отримана лінійна модель набуває вигляду:

y = +  X

Для визначення оцінок іприведемо рівняння експоненціальної залежностідо лінійного вигляду, прологарифмувавши його. Одержуємо. Здійснивши відповідні заміний, одержимо лінійну залежність вигляду.

Розрахунки оцінок параметрів і проміжних величин зробимо за формулами   (5. 3-5. 7) для лінійної моделі.

Тоді оцінка параметра і отримана експоненціальна модель приймає вигляд:

y =  e ^x.

3. Виберемо з двох отриманих залежностей найкращу. Критерієм оптимальності можна прийняти величину дисперсії залишків:

(5.8)

де - розрахункове значення, отримане дляпо моделі з визначеними оцінками параметрів.

Тоді дисперсія залишків складе:

• для лінійної моделі ;

• для експоненціальної моделі .

Тому що значення дисперсії залишків для лінійної моделі більше, ніж значення дисперсії залишків експоненціальної моделі, то перша модель гірше ніж друга наближає істинне значення y. Тому модель, що найбільше відбиває добре дану залежність, приймається отримана експоненціальна модель

y =  e ^x .

4. У даному випадку оцінки параметрів моделі можна перевірити на значущість відмінності від нуля за значущістю коефіцієнта кореляції r із використанням критерію Стьюдента.

Розрахункове значення критерію

(5.9)

2,2. t_роз= .

Табличне значення знаходимо за таблицею t-розподілу для імовірності = 0,05 і числа ступенів свободи k = n-2 = 20-2 = 18, 2,1.

Отже, коефіцієнт кореляції r, а значить і d, суттево відрізняється від нуля з надійністю Р = 1- = 1-0,05 = 0,95.

Тому що розрахункове значення критерію Стьюдента більше за табличний, то параметр d суттєво відрізняється від нуля.

5. Адекватність отриманої моделі експериментальним даним перевіримо за критерієм Фішера. Розрахункове значення критерію визначається як відношення дисперсій:

(5.10 )

F_роз = .

Табличне значення знаходимо за таблицею F-розподілу для імовірності  = 0,05 і числа ступенів свободи k₁ = m = 19 і k₂ = n-m-1 = 20-2 = 18

Тому що розрахункове значення критерію Фішера більше табличного, обрану модель можна вважати адекватною.

6. Проведемо аналіз отриманої експоненціальної залежності.

Коефіцієнт еластичності для отриманої моделі буде дорівнювати:

. (5.11 )

Підставивши рівняння залежності в [5.11] одержимо:

.

Тоді при зміні x для вихідних даних в інтервалі  х  коефіцієнт еластичності буде змінюватися в межах  K_x  . Таким чином, збільшення значення фактора на 1% викликає ріст значення показника в середньому на %.

Значення коефіцієнта кореляції, наближене до 1, а також мале значення величини дисперсії залишків означають тісний взаємозв'язок між фактором і показником. Оцінка значущості відмінності від нуля параметра рівняння й адекватності моделі дозволяють зробити висновок, що модель можна використовувати з метою прогнозування величини показника.