МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

«Рівняння з частинними похідними»

ДЛЯ СТУДЕНТІВ IV КУРСУ ДЕННОЇ ФОРМИ НАВЧАННЯ

ЗА НАПРЯМОМ 6.040302 – «ІНФОРМАТИКА»

КРЕМЕНЧУК 2010

Методичні вказівки щодо практичних занять з навчальної дисципліни «Рівняння з частинними похідними» для студентів IV курсу денної форми навчання за напрямом 6.040302 – “Інформатика”

Укладачі: к.ф.-м.н., доц. В.П. Ляшенко,

к.ф.-м.н., доц. В.П. Черненко,

асист. О.Б. Кобильська

Рецензент к.ф.-м.н., доц. В.О. Семенов

Кафедра інформатики і вищої математики

Затверджено методичною радою КНУ імені Михайла Остроградського

Протокол №___ від “___” __________________2010 р.

Заступник голови методичної ради___________ доц. С.А. Сергієнко

ЗМІСТ

Вступ 5

Перелік практичних занять

Практичне заняття № 1 Диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку. Загальний розв’язок 6

Практичне заняття № 2 ДРЧП 1-го порядку. Задача Коші. 8

Практичне заняття № 3 Класифікація ДРЧП 2-го порядку та зведення до канонічного вигляду 10

Практичне заняття № 4 Спрощення канонічних форм лінійних ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами 12

Практичне заняття № 5 Контрольна робота № 1 15

Практичне заняття № 6 Метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу. Задача Коші. 16

Практичне заняття № 7 Хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння 18

Практичне заняття № 8 Метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння 19

Практичне заняття № 9 Метод Фур’є. Рівняння теплопровідності 21

Практичне заняття № 10 Метод Фур’є для неоднорідних рівнянь 24

Практичне заняття № 11 Задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є) 27

Практичне заняття № 12 Задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.

Практичне заняття № 13 Контрольна робота № 2 31

Практичне заняття № 14 Метод функцій Гріна для рівняння теплопровідності 32

Список літератури 35

ВСТУП

Багато задач у математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівнянь відносно функцій двох, трьох та більшого числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних. Математичні знання, які студент повинен отримати, вивчаючи курс «Рівняння з частинними похідними» необхідні для успішної побудови математичних моделей фізичних явищ та технологічних процесів із застосуванням знань загальнотеоретичних і спеціальних дисциплін, таких як алгебра та геометрія, математичний аналіз, диференціальні рівняння та ін.

Мета викладання цієї дисципліни полягає в ознайомленні студентів з методами розв’язання рівнянь з частинними похідними.

Ознайомити студентів з основами математичного апарата, необхідного для розв’язування теоретичних і практичних задач, що виникають під час вивчення даного предмета.

Прищепити навички математичного дослідження фізичних задач. Навчити студентів самостійно вивчати та працювати з навчальною та спеціальною літературою з математичної фізики та її прикладних питань.

Дати необхідну математичну підготовку та знання для вивчення інших дисциплін математичного циклу. Дані методичні вказівки розроблено з метою допомогти студентові в освоєнні основних положень теоретичного матеріалу та прийомів розв’язання практичних задач. До розгляду запропоновано основні теми, що входять до курсу: диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП) 1-го порядку; ДРЧП 1-го порядку, задача Коші; класифікація ДРЧП

2-го порядку та зведення до канонічного вигляду; спрощення канонічних форм лінійних ДРЧП 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами; метод характеристик для рівнянь гіперболічного типу, задача Коші; хвильове рівняння. Метод Д’Аламбера для хвильового рівняння; метод Фур’є (метод відокремлення змінних). Хвильове рівняння; метод Фур’є. Рівняння теплопровідності; метод Фур’є для неоднорідних рівнянь; задача Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику (метод Фур’є); задачі Діріхле для рівняння Лапласа у крузі та кільці.

Кожний розділ починається коротким анонсом теоретичного матеріалу. Далі подано задачу, що ілюструє тему практичного заняття з детальним викладенням алгоритму її розв’язання. Подано перелік задач необхідних для розв’язування на практичному занятті. У кінці практичного заняття студенти мають відповісти на контрольні питання запропоновані в методичних вказівках.