Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кременчугский национальный университет им. М. Остроградского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка по ЕМОИ.docx

Скачиваний:

Добавлен:

16.02.2016

Размер:

21.81 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Методичні вказівки

до розв`язання типових задач

Розділ 1. Алгебра

Приклад 1.1. Обчислити значення виразів:

Приклад 1.2. Знайти корені многочлена і розкласти його на множники.

Цілі корені многочлена шукаємо серед дільників вільного члена: Перевіркою переконуємось, що задовольняє рівняння За теоремою Безу многочлен ділиться без остачі. Виконавши ділення ( наприклад, «кутом»), маємо:

Відповідь:

Приклад 1.3. Розв`язати рівняння

Оскільки , то маємо симетричне рівняння.

Розділимо обидві його частини на

Заміна

Відповідь:

Приклад 1.4. Розв`язати рівняння

Заміна

Відповідь:

Приклад 1.5. Розв`язати рівняння

Заміна .

Відповідь:

Приклад 1.6. Розв`язати рівняння

Заміна

Відповідь:

Приклад 1.7. Розв`язати рівняння

Оскільки

Заміна

Відповідь:

Приклад 1.8. Розв`язати рівняння:

а) б)

а) Після заміни

Відповідь:

б) Після заміни одержимо систему

Відповідь:

Приклад 1.9. Розв`язати рівняння

Оскільки

то

Відповідь:

Приклад 1.10. Розв`язати рівняння:

Після заміни одержимо

Відповідь:

Приклад 1.11. Розв`язати рівняння

Відповідь:

Приклад 1.12. Для всіх значень параметра розв`язати рівняння:

Розглянути окремо випадки та

Відповідь: якщо то

якщо то

якщо , то розв`язків немає.

Приклад 1.13. Знайти всі значення параметра при кожному з яких корені рівняння належать інтервалу

Нехай

Якщо то

Якщо то задачарівносильна виконанню умов:

Відповідь:

Приклад 1.14. При яких значеннях параметра корені рівняння

розташовані в інтервалі

Задача зводиться до розв`язання системи нерівностей:

Відповідь:

Приклад 1.15. Розв`язати систему рівнянь (*)

Система (*) є симетричною.

(*)

Заміна

Відповідь:

Приклад 1.16. Розв`язати систему рівнянь (*)

Система (*) є однорідною. Оскільки то

(*)

Відповідь:

Приклад 1.17. Розв`язати систему рівнянь (*)

(*)

Приклад 1.18. Розв`язати систему рівнянь

Бачимо, що Помноживши рівняння (*) на, а рівняння (**) на і віднявши від першого рівняння друге, одержимо:

Розділивши рівняння (*) на , а рівняння (**) наі додавши, одержимо:

Приклад 1.19. Розв`язати систему рівнянь (*)

Скориставшись формулою

маємо:

або

Відповідь:

Приклад 1.20. Розв`язати систему рівнянь (*)

Оскільки то

(*) або

Відповідь:

Приклад 1.21. Розв`язати систему рівнянь (*)

(*)

Відповідь:

Приклад 1.22. Розв`язати нерівність

(*)

ОДЗ:

Оскільки число нерівність (*) не задовольняє і обидві частини нерівності (*) невід`ємні, то після піднесення (двічі) до квадрату і спрощення маємо:

(*)

Відповідь:

Приклад 1.23. Розв`язати нерівність

(*)

Відповідь:

Приклад 1.24. Розв`язати нерівність

Методом інтервалів знаходимо інтервали знакосталості виразів

Отже:

Відповідь:

Приклад 1.25. Розв`язати нерівність

На проміжках нерівність

еквівалентна сукупності системи

Розглянути чотири випадки: неважко переконатись, що при та розв`язками системи (**) будуть множини [1;2) та (0;1) відповідно, а при та система (**) розв`язків не має.

Відповідь: (0;2).

Приклад 1.26. Розв`язати нерівність

Відповідь:

Приклад 1.27. Знайти дійсні значення параметра , при яких нерівність

справдується для всіх

При отримаємо нерівність

яка не справджується для всіх

Тому не буде розв`язком задачі.

Нехай

Тоді

Якщо то шукане значення параметра знаходимо із сукупності систем:

Відповідь:

Приклад 1.28. Для кожного значення параметра розв`язати нерівність

Із (*) випливає, що Для такихОДЗ змінноїє множинаПісля замінинерівність (*) набуде вигляду:

Нехай

Тоді

Якщо

Випадок, коли корені квадратного тричлена належать множині рівносильний виконанню умов:

Відповідь: якщо

якщо то

при інших значеннях розв`язків немає.

Приклад 1.29. Для кожного значення параметра розв`язати систему нерівностей

I спосіб. Розгляньте взаємне розміщення коренів рівняння та коренів рівняння

2 спосіб. Зобразіть на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють системі нерівностей

Дослідіть перетин цієї множини сім`єю прямих

Відповідь: якщо

якщо то розв`язків немає.

Приклад 1.30. Скільки спільних точок мають графіки функцій

та залежно від параметра ?

Приклад 1.31. Скільки спільних точок мають графіки функцій та

залежно від параметра

Приклад 1.32. Скільки спільних точок мають графіки функцій та

залежно від параметра

Приклад 1.33. Скільки спільних точок мають множини:

залежно від параметра

фіксована множина (коло радіуса з центром в точці

коло з фіксованим центром та радіусом (залежним від параметра Змінюючи а отже і одержуємо основні можливі випадки взаємного розміщення заданих множин.

Приклад 1.34. Скільки спільних точок мають множини:

залежно від параметра

- фіксована множина; - коло з фіксованим центром і радіусом (залежним від параметра ).

Змінюючи радіус , маємо основні випадки взаємного розміщення обох множин:

Приклад 1.35. Для кожного дійсного значення параметра розв`язати рівняння

Можна скористатись графіками залежностей

Потрібно розглянути всі варіанти перетину зображеної множини сім`єю прямих

Відповідь: при

при

Приклад 1.36. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рівно два розв’язки?

Потрібно скористатись геометричною інтерпретацією: розглянути взаємне розташування графіка функції та кола.

Відповідь: a .

Приклад 1.37. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рівно єдиний розв’язок.

Рівняння системи є рівняннями кіл: перше коло радіуса з центром у точціC₁(0;-4), друге – коло радіуса з центром у точціC₂(3;0).

Система матиме єдиний розв’язок тільки за умови дотику цих кіл. Оскільки кола можуть дотикатися зовнішньо або внутрішньо, то потрібно розглянути відповідно два випадки.

Відповідь:{-8;-6;2;4}.

Приклад 1.38. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рівно два розв’язки.

Нехай а – шукане значення параметра і (x₀;y₀) – розв’язок системи. Можна показати, що пари чисел (-x₀;-y₀),(y₀;x₀),(-y₀;-x₀) також будуть розв’язками системи. Розв’язки (x₀;y₀) і (-x₀;-y₀) різні, оскільки тоді x₀=0 і y₀=0 та не задовольняється друге рівняння системи. Розв’язки (x₀;y₀) i (-y₀;-x₀) також різні, бо інакше і знову не задовольняється друге рівняння системи. За умовою система має рівно два розв’язки, отже, розв’язки (-x₀;-y₀) і (-y₀;-x₀) збігаються, тобто x₀=y₀.

Примітка. Можна скористатись геометричною інтерпретацією: взаємним розміщенням кола і прямих.

Відповідь: .

Приклад 1.39. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рівно чотири розв’язки.

Потрібно скористатись геометричною інтерпретацією: розглянути взаємне розміщення фіксованої множини та параметричної сім’ї кіл .

Відповідь: .

Приклад 1.40. При яких значеннях параметра а розв’язки нерівності

утворюють проміжок довжини ? Знайти цей проміжок.

Скористатись геометричною інтерпретацією: розглянути графіки функцій (півколо) і.

Відповідь: .

Приклад 1.41. Знайти чотири числа, з яких перші три утворюють геометричну прогресію, а останні три – арифметичну, причому сума крайніх чисел дорівнює 32, а середніх чисел – дорівнює 24.

Перші три числа складають геометричну прогресію, позначимо їх:

а останні три – арифметичну.

Якщо четверте число позначити через t, то числа – будуть послідовними членами арифметичної прогресії, тоді, звідки.

Отже, шукані числа можна записати у вигляді:

За умовами задачі:

Відповідь: 32; 16; 8; 0 та 2; 6; 18; 30.

Приклад 1.42. Якщо від чотирьох чисел, які утворюють арифметичну прогресію, відняти відповідно 1,5,8 і 9, то дістнемо чотири числа, які в тому ж порядку утворюють геометричну прогресію. Знайти ці числа.

Позначимо шукані числа через a₁,a₂,a₃ і a₄. Тоді числа a₁ – 1, a₂ – 5, a₃ – 8 I a4 – 9 повинні складати геометричну прогресію, тому:

Відповідь: 2;7;12;17.

Приклад 1.43. Сума трьох чисел, які утворюють геометричну прогресію, дорівнє 65. Якщо ці числа зменшити відповідно на 1,8 і 35, то одержимо числа, які утворюють арифметичну прогресію. Знайти ці числа.

Позначимо шукані числа через . Тоді. За умовою задачі числа утворюють арифметичну прогресію, тому:

Отже, задача звожиться до розв’язування системи:

Відповідь: 5;15;45 або 45;15;5.

Приклад 1.44. Три числа, сума яких дорівнює 21, утворюють арифметичну прогресію. Якщо від другого числа відняти 1, а до третього додати 1, то одержимо числа, які утворюють геометричну прогресію. Знайти ці числа.

Позначимо шукані числа . За умовою задачі числаутворюють геометричну прогресію, тобто для них виконується рівність.

Отже, задача зводиться до розв’язання системи:

Відповідь:12;7;2 або 3;7;11.

Приклад 1.45. Два вантажних автомобілі мають перевезти деякий вантаж за 6 год. Другий автомобіль затримався в гаражі, і коли він прибув на місце завантаження, то перший автомобіль перевіз вже всього вантажу. Частину вантажу, що залишилось, перевіз другий автомобіль, і весь вантаж був перевезений таким чином за 12 год. За який час перевезе весь вантаж кожен автомобіль окремо?

Нехай першому автомобілю для виконання всієї роботи (перевезення всього вантажу) потрібно год, а другому год. Узявши обсяг всієї роботи за одиницю, згідно умови задачі, маємо систему рівнянь:

Відповідь: 10 год, 15 год або 12 год, 12 год.

Приклад 1.46. З посудини, яка містить 54 л чистої кислоти, відлили декілька літрів і після ього долили посудину водою до попереднього обєму. Потім з посудини відлили суміші стільки ж літрів, як за першим разом. В результаті в суміші, що містяться у посудині, залишилось 24 л чистої кислоти. Скіьки літрів кислоти вилили за першим разом?

Нехай за першим разом було відлито л кислоти. Тоді в посудині залишилось л кислоти. Доливши посудину водою, одержимо 54 л суміші, яка містить л кислоти. Отже, в одному літрі суміші міститься л кислоти. За другим разом з посудини відлилил суміші, тобто кислоти відлилил. Отже, за першим разом було відлитол кислоти, за другим разомл кислоти, а всього за два рази відлили л кислоти.

Отже, одержуємо наступне рівняння:

За умовою задачі . Отже.

Відповідь: 18л.

Приклад 1.47. З міста А до міста В виїхав вантажний автомобіль, а за годину з А то В виїхав легковий автомобіль. До міста В автомобілі приїхали одночасно. Якщо б з міст А і В автомобілі виїхали одночасно назустріч один одному, то зустріч відбулася б за 1 год 12 хв після їх виїзду. Знайти час, за який проїде шлях від А до В вантажний автомобіль.

Нехай вантажний автомобіль проїжджає відстань від А до В за год. Тоді легковий автомобіль проїде цю відстань загод. Позначимо відстань між містами через км. Тоді, згідно з умовами задачі, одержимо наступне рівняння:

Оскільки , то

За змістом задачі . Отже.

Відповідь: 3 год.

Приклад 1.48. Обчислити

Відповідь: 1.

Приклад 1.49. Обчислити , якщо.

Відповідь: .

Приклад 1.50. Обчислити , якщо.

, звідки

Тоді .

Відповідь: .

Приклад 1.51. Виразити через a і b , якщо.

Відповідь: .

Приклад 1.52. Обчислити , якщо.

Логарифми визначені, якщо . При цих обмеженнях маємо:

Відповідь: .

Приклад 1.53. Обчислити , якщо.

маємо: , звідкиТому

Відповідь: .

Приклад 1.54. Довести, що , якщо.

За умовою

Звідки .

Приклад 1.55. Порівняти числа:

5) .

Отже,

3) для значення виконується нерівність, тому

Отже,

4) числа a і b задовольняють нерівності

а числа тазадовольняють нерівності

Отже, , тому

5) знайдемо різницю даних чисел:

Число с є значенням квадратного тричлена при

Визначимо знак: отже,приіпри

Для числа значенняотже,

Приклад 1.56. Розв’язати рівняння .

Відповідь: 7.

Приклад 1.57. Розв’язати рівняння .

Відповідь:{2;3}.

Приклад 1.58. Розв’язати рівняння .

Відповідь: 3.

Приклад 1.59. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: {-1;1}.

Приклад 1.60. Розв’язати рівняння: .

Відповідь:{2, }.

Приклад 1.61. Розв’язати рівняння: .

Рівняння однорідне, оскільки основи показникових функцій 4, 14 і 49 є послідовними членами геометричної прогресії:

Відповідь:{-1,0,1}.

Приклад 1.62. Розв’язати рівняння: .

Оскільки

то після зміни рівняння зводиться до квадратного:

Відповідь:{-4;4}.

Приклад 1.63. Розв’язати рівняння: .

Відповідь:.

Приклад 1.64. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: 3.

Приклад 1.65. Розв’язати нерівність:.

Відповідь:.

Приклад 1.66. Розв’язати нерівність: .

(Oскільки

Тому дана нерівність рівносильна нерівності

Відповідь: .

Приклад 1.67. Розв’язати нерівність: .(*)

Відповідь: .

Приклад 1.68. Розв’язати нерівність: .

Оскільки

a при всіхx, то

Із цього інтервалу вилучаємо точки, в яких або, тобтота

Відповідь: .

Приклад 1.69. Для всіх значень параметра а розв’язати нерівність:

Порівняємо числа

якщо тоякщото

Отже, при система нерівностей має розвязки

при .

Відповідь: .

Розділ 2. Тригонометрія

Приклад 2.1. Довести тотожність .

Тому , що й треба було довести.

Приклад 2.2. Довести тотожність

що й треба було довести.

Приклад 2.3. Спростити вираз .

За умовою .

Розіб’ємо цей проміжок на два і.

Тоді при маємо, тому

При маємо, тому

Відповідь: , якщо;, якщо.

Приклад 2.4. Довести, що коли – внутрішні кути трикутника,то справджується рівність

Спочатку виключимо кут , а після перетворень виразу знову покладемо.

що й треба було довести.

Приклад 2.5. Довести рівність .

що й треба було довести.

Приклад 2.6. Обчислити вираз .

Відповідь: .

Приклад 2.7. Обчислити без таблиць .

Нехай . Подамо тотожністьу вигляді. Звідси

Оскільки , то

Знаходимо додатний корінь квадратного відноснорівняння:.

Відповідь: .

Приклад 2.8. Обчислити значення виразу .

Позначимо . Тоді. Враховуючи непарність арктангенса, обчислимо

. За формулою обчислюємо значення.

Відповідь: 0,98.

Приклад 2.9. Обчислити значення виразу .

Оскільки , то

Нехай , тоді.

Отже, .

За формулами подвійного та половинного кутів маємо

Звідси .

Отже, .

Відповідь: .

Приклад 2.10. Розвязати рівняння .

Маємо . Звідки. Останнє рівняння має розв’язки лише за умови, яка виконується лише прита. При цих значенняхn дістанемо рівняння які мають відповідно розвязки

Відповідь:

Приклад 2.11. Розв’язати рівняння .

Бачимо, що , отже, згрупуємо функції і застосуємо формулу різниці косинусів:

Розв’язок міститься у розв’язку(при). Рівняння ж– не має цілих розв’язків.

Відповідь: .▼

Приклад 2.12. Розв’язати рівняння .

;

Відповідь: ▼

Приклад 2.13. Розв’язати рівняння

Відповідь: ▼

Приклад 2.14. Розв’язати рівняння

Оскількито

Отже, рівняння рівносильне системі

Система має розв’язки лише тоді, коли рівняння має розв’язки на множині цілих чисел. У цьому випадку маємо розв’язкитому

Відповідь: ▼

Приклад 2.15. Розв’язати рівняння (*)

Рівняння (*) рівносильне сукупності

або

Розв’яжемо першу систему рівнянь

Аналогічно знаходимо розв’язки другої системи

Відповідь: ▼

Приклад 2.16. Розв’язати рівняння

Рівняння рівносильне сукупності систем

Знаходимо розв’язки цих систем:

Відповідь: ▼

Приклад 2.17. Розв’язати рівняння .

∆ Оскільки тоОтже, дане рівняння матиме вигляд

Проте , тому ця рівність виконуватиметься лише тоді, коли

Отже, можливі два випадки

звідки

Відповідь: ▼

Приклад 2.18. Розв’язати рівняння

∆

Відповідь: ▼

Приклад 2.19. Розв’язати рівняння

∆ ОДЗ:

Виразимо арккосинус через арксинус:

Дістанемо рівняння ,звідки і .

Відповідь: {2}. ▼

Приклад 2.20. Розв’язати рівняння .

∆ОДЗ:

Нехай тодіпричому

Із рівняння маємо Обчислимо косинус від обох частин рівняння:

Підставимо значення дістанемо тотожність

Відповідь: ▼

Приклад 2.21. Розв’язати систему рівнянь

∆Система рівносильна сукупності двох систем

або

Перша система роз’язків не має.

Розв’язуємо другу систему рівнянь:

Відповідь: ▼

Приклад 2.22. Для кожного значення параметра розв’язати рівняння

Тому , звідки.

Це рівняння має розв’язки якщо, тобто.

При інших значеннях параметра розв’язків немає.

Відповідь: якщо , то розв’язків немає, якщо, то. ▼

Приклад 2.23. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняннямає розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Заміною, зведемо дане рівняння до квадратного:

Тригонометричне рівняння має розв’язки при тих значеннях параметра , при яких квадратне рівняння має принаймні один розв’язок на проміжку. Дискримінант квадратного тричлена, його корені при

Розглянемо такі випадки.

Обидва корені квадратного тричлена належать проміжку, якщо:

Маємо , томувизначаємо з системи:

Для цих значень дістанемо розв’язки тригонометричного рівняння:

Один із коренів квадратного тричлена належить проміжку

а) , а , якщо

У цьому випадку рівняння має розв’язки

б) , а , якщо

У цьому випадку рівняння має розв’язки

Для решти значень параметра рівняння не має розв’язків.

Відповідь: якщо , то

якщо , то

якщо , то. ▼

Приклад 2.24. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняннямає розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Права частина рівняння невід’ємна, причому. Тому ліва частина також невід’ємна, тобто. Зауважимо, що в цьому випадку

Рівність обох частин рівняння можлива лише у випадку, коли

Для решти значень параметра рівняння не має розв’язків.

Відповідь: при

Приклад 2.25. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняннямає розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Рівняння зводиться до однорідного:

Переконуємося, що , поділимо на, дістанемо рівняння

Заміною рівняння зводиться до квадратного

Це рівняння має розв’язки, якщо , тобто

Отже, якщо , то

якщо , то

якщо то розв’ків не має.

Відповідь: якщо , то

якщо , то

якщо то розв’ків не має.

Приклад 2.26. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняннямає розв’язки? Знайти ці розв’язки.

ОДЗ: . Запроваджуємо допоміжний кут:

Із множини розв’язків першого рівняння лише значення належить проміжку. Друге рівняння має розв’язки за умови. Зауважимо, що функціямає період, тому на проміжкудовжини періоду друге рівняння може мати: один розв’язок, якщо, тобто

, або (у цьому випадку розв’язки обох рівнянь збігаються); два розв’язки, якщоі; три розв’язки, якщо.

Отже, рівняння матиме рівно чотири різних розв’язки на проміжку , якщо.

Відповідь: . ▼

Приклад 2.29. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняннямає єдиний розв’язок? Знайти цей розв’язок.

Функціяпри всіх значеннях параметрає парною щодо.

Якщо число є розв’язком даного рівняння, тотакож буде розв’язком. Отже, єдиним може бути лише розв’язком. Знайдемо значення параметра, при яких рівняння не має інших розв’язків, крім.

Підставимо значення у рівняння, дістанемо квадратне рівняння

, яке має корені і.

Якщо , то дане рівняння матиме вигляд

Це рівняння інших коренів, крім , не має, оскільки, а

при .

Якщо , то дане рівняння має вигляд

і може мати корені, крім , наприклад,.

Тому значення не справджує умову задачі.

Відповідь: ,.▼

Приклад 2.30. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких система рівнянь

має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Якщо, то перше рівняння системи не має розв’язків, оскільки

, а . Знайдемо розв’язки системи, якщо

Рівняння має розв’язки.

Розв’язки обох систем збігаються.

Відповідь: . ▼

Приклад 2.31. Розв’язати нерівність .

Дана нерівність рівносильна сукупності двох систем нерівностей

Перша – несумісна. Знаходимо розв’язки другої

Перша нерівність має розв’язки а друга:

Знаходимо перетин цих множин.

Відповідь: .▼

Приклад 2.32. Розв’язати нерівність .

Нерівність рівносильна сукупності:

Відповідь: . ▼

Приклад 2.33. Розв’язати нерівність .

Знаходимо розв’язок тригонометричної нерівності:

звідки

Проте , тому при значенняхтарозв’язуємо нерівностіта. Для цього беремо косинус від усіх частин нерівностей. Враховуючи, що на інтервалікосинус спадає, дістаємота.