Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

MEKN / Лр #1 МЕкн

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
16.02.2016
Размер:
414.7 Кб
Скачать

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1

ТЕМА ПОБУДОВА ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ КОРИСНОСТІ.ОПТИМІЗАЦІЙНА МОДЕЛЬ СПОЖИВЧОГО

ВИБОРУ

Короткі теоретичні відомості

Переваги споживача і його функція корисності. Введемо позначення: n – кінцеве число розглянутих товарів;

x (x1,x2 ,...,xn ) - вектор-стовпець товарів, придбаних споживачем за певний термін при заданих цінах і доході за той же термін.

Простір товарів – це множина наборів товарів х з ненегативними координатами:

C x: x 0 .

Передбачається, що кожний споживач має свої вподобання на деякій

підмножині простору товарівX C , тобто для

x, y X має місце одне із

трьох співвідношень:

 

x y

(набір х переважає у)

 

x y

(набір х менш привабливий, ніж у)

 

x y (обоє набору мають однаковий ступінь переваги) Відносини переваги мають властивості:

1)якщо x y, y z,x z (транзитивність);

2)якщо x>y, то x y (насичуваність: великий набір завжди переважніше

меншого)

Відносини переваги споживача можна представити у вигляді функції

корисності U(x), такій,

що з х у випливає U(x) U(y)й з

x y

випливає

U(x) U(y).

 

U x

 

 

 

Таке представлення

багатоваріантне. Наприклад якщо

 

- функція

 

корисності, то C*U x ,lnU x - також функція корисності. Припускається, що функція корисності має властивості:

1)U 0 - з ростом споживання блага корисності зростуть;

xi

2) lim U - не великий приріст блага при його первісній відсутності

xi 0 xi

різко збільшує корисність;

3) 2U 0 – з ростом споживання блага швидкість росту корисності

xi2

вповільнюється;

4) lim U 0 - при дуже великому обсязі блага його подальші збільшення

xi xi

не приводить до збільшення корисності.

Граничною корисністю товару називається межа відносини збільшення корисності до збільшення товару, що викликав цей приріст:

lim

U

 

U

,

(1)

xi

 

xi 0

 

xi

 

 

 

 

 

 

Таким чином, гранична корисність показує, на скільки зросте корисність, якщо товар зросте на одиницю.

Поверхнею байдужності називається гіперповерхня розміру (n-1), на якій корисність постійна:

U(x)=C – const,

Або

n

U

 

 

 

dU

dxi

0

(2)

 

 

x

i

 

 

i 1

 

 

 

Умова (2) означає, що дотична до поверхні байдужності перпендикулярна градієнту корисності.

Граничною нормою заміни одного товару іншим називається відношення граничних корисностей цих товарів:

 

dx2

 

U x1

(3)

 

 

dx1 U x2

Норма заміни показує, скільки потрібно одиниць другого товару, щоб замінити вибулу одиницю першого товару.

Бюджетною множиною називається множина тих наборів, які може придбати споживач, що має дохід М:

В x: px M ,

де p p1, p2 ,..., pn - вектор-рядок цін.

Завдання споживчого вибору Завдання раціональної поведінки споживача на ринку полягає у виборі такого споживчого набору х* , який максимізує його функцію корисності при заданому бюджетному обмеженні.

Формально завдання споживчого вибору має вигляд:

U(x) max

при умовах:

px M,x 0

(4)

Для розв'язку цього завдання на умовний екстремум застосуємо метод Лагранжа. Виписуємо функцію Лагранжа:

L(x, ) U(x) (px M).

Необхідні умови локального екстремуму:

n

 

 

 

 

 

pj x*j

M

 

 

(5)

j 1

 

 

 

 

 

L

 

U xi*

* pi

0,

i=1,2,…,n

(6)

 

 

xi

xi

 

 

 

З (6) випливає, що споживач при фіксованому доході так вибирає набір x*, що в цій точці відносини граничних корисностей дорівнюють відносинам цін:

U(x*)

U(x* )

 

 

1

:...:

n

p

:...: p

n

 

 

x1

1

 

xn

 

 

Хід роботи

Завдання 1.

Функція корисності споживача має вигляд: U x1,x2 3x123x123 . Визначити максимальну корисність, якщо споживач має прибуток в 100 од., а ціни товарів відповідно рівні 5 і 10 од./шт.. Яка норма заміни другого товару першим в оптимальній точці?

1. Розглянемо аналітичний розв'язок даного завдання.

Тому що бюджетне обмеження в оптимальній точці повинне виконуватися як рівність, тобто

5x* 10x* 100,

(1)

1

2

 

і в силу того, що всі товари необхідні, тобто умова незаперечності змінних буде виконана автоматично, умови локального екстремуму (5), (7) для даного завдання приймуть вид наступної системи рівнянь:

 

*

 

 

5

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

10

 

2

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

*

100

 

 

5x1

10x2

 

 

З першої умови випливає, що 4x*

x* ;

підставляємо це співвідношення в

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2-е рівняння системи (2) і знаходимо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x*

 

40

;x*

10

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

2

3

 

 

 

 

Отже, оптимальний набір товарів

x

*

 

 

40 10

 

, а максимальна функція

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

корисності Umax 25.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Геометричний розв'язок даної

 

 

 

задачі. Припустима множина ( тобто

множина наборів благ, доступних для споживача) представляє трикутник, обмежений осями координат і бюджетною прямою. На цій множині потрібно знайти точку, що належить кривій байдужності з максимальним рівнем корисності. Пошук цієї точки можна інтерпретувати графічно як послідовний перехід на лінії усе більш високого рівня корисності доти, поки ці лінії ще мають загальні точки із допустимою множиною.

Графічна ілюстрація розв'язку даного завдання, коли бюджетна пряма має вигляд рівняння 5x1 10x2 100, а рівень максимальної корисності 3x123x123 25.2 представлена на рис. 2.

5

2

Х2

=100

3

6

9

12

15

18

21

24

Х1

Рисунок 2.

3. Розрахуємо норму заміни одного товару іншим в оптимальній точці:

10

U x1 2x2* 2* 3 1

U x2 x1* 40 2

3

тобто буде потрібно 2 од. другого товару, щоб замінити одну вибулу одиницю першого товару.

Варіанти вихідних даних для лабораторної роботи № 1

Визначити, який набір товарів вибере споживач, що володіє доходом в

300+5х од., якщо його функція корисності U x1,x2 3x1x22 , а ціни товарів p1 2 ход./шт., p2 4ход./шт..

Соседние файлы в папке MEKN