MEKN / Лр #3 МЕкн
.pdfЛАБОРАТОРНА РОБОТА №3 ТЕМА Математичні моделі завдання фірми. Рішення задачі фірми.
Аналіз впливу цін на об'єми витрат і випуску. Основне рівняння фірми.
Короткі теоретичні відомості
Нехай виробнича фірма випускає один вид продукції або багато видів, але в постійній структурі. Позначимо через Х - річний випуск фірми в натурально речовинній формі. Для виробництва продукції фірма використовує сьогоднішню працю L (середнє число зайнятих у рік), минулу працю у вигляді засобів праці K (основні виробничі фонди) і предмети праці М (витрачені за рік сировина, енергія, паливо й т.п.).
Нехай x x1,x2 ,...,xn - вектор-стовпець можливих обсягів витрат різних видів ресурсів. Тоді технологія фірми визначається виробничою функцією виду:
X F(x), |
(1) |
де F(х)- двічі диференційована функція й матриця її других похідних негативно визначена.
Розглянемо функцію прибутку:
П(x) pF(x) Wx, |
(2) |
де р – ціна одиниці продукції, |
|
W (W1,W2 ,...,Wn ) - вектор-рядок цін ресурсів. |
|
Якщо немає інших обмежень на розміри ресурсів, що введено у |
|
виробництво, крім природної вимоги їх невід’ємності, то завдання на |
|
максимум прибутку здобуває вид: |
|
max pF(x) Wx . |
(3) |
x 0 |
|
Це завдання нелінійного програмування. Необхідними умовами її розв'язку є умови Куна-Таккера:
|
П |
p |
F |
W 0, |
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
П |
|
|
|
|
|
F |
|
|
(4) |
|||
|
|
|
p |
|
|
W |
0 |
||||||
|
|
x |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Якщо в оптимальному розв'язку |
використані всі |
види ресурсів, |
|||||||||||
тобтоx* 0, то умови (4) приймають вид: |
|
|
|
||||||||||
|
|
p |
F(x*) |
W , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
або |
|
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p |
F(x*) |
Wj , |
j=1,…,n. |
(5) |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його ціні.
Якщо розглядати завдання на максимум випуску при заданому обсязі витрат:
1
max F(x), |
(6) |
Wx C
x 0
то це завдання нелінійного програмування з одним лінійним обмеженням умовою невід’ємності змінних. Для його розв'язку на початку будуємо функцію Лагранжа:
L x, F x C Wx ,
а потім максимізуємо її за умовою невід’ємності змінних:
max L x, .
x 0
Умови Куна-Таккера для цього завдання
F W 0x
F |
|
(7) |
|
|
|
W x 0 |
|
|
|||
x |
|
|
повністю збігаються з (4), якщо 1 . p
Завдання
Випуск монопродуктової фірми задається виробничою функцією КоббаДугласса:
X F K,L 3K23L13 .
На оренду фондів і оплату праці виділено 150 грош.од., вартість оренди одиниці фондів Wk 5 грош.од./од. ф., ставка заробітної плати WL 10 грош.од./чол.; ціна одиниці продукції p=5 грош.од..
Визначити максимальний випуск X* двома способами: по завданню на максимум прибутки й по завданню на максимум випуску при заданому обсязі витрат.
Розв'язок проілюструвати графічно, побудувавши ізокости (лінії постійних витрат) для С=50,100,150 і ізокванти (лінії постійних випусків) для
Х=25.2; X*.
Визначити граничну норму заміни одного працівника фондами в оптимальній точці.
Хід роботи
1. Визначимо оптимальний випуск продукції за завданням на максимум випуску (див. (6)):
1.1. Оскільки F(0, L)=F(K, 0)=0, то в оптимальному розв'язку К* 0,L* 0.Отже, умови (7) приймають вид:
F WK ,K
F WL (8)
L
2
1.2. Підставимо в (8) вид |
|
|
виробничої функції F K,L 3K2 3L1 3 ; |
|||||||||||||
одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
L1 3 |
WK , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K1 3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
K2 3 |
|
WL |
(9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||||
1.3. Поділимо в (9) 1-е рівняння на 2-е: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
L |
|
WK |
, тобто |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
L |
|
|
|
K |
|
WL |
|
||||||||
2 |
|
5 |
|
1 |
, або K 4L |
(10) |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
K |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.4. Підставивши (10) |
|
в |
умову WK K* WL L* 150, |
знаходимо: |
||||||||||||
L* 5,K* 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, X* 37.8
2.Визначення оптимального випуску за завданням на максимум прибутки необхідно провести самостійно.
3.Проілюструємо розв'язок завдання геометрично. Для цього побудуємо ізокости для с=50, 100, 150 і ізокванти для Х=25,2; 37,8:
3.1.Введемо значення L (наприклад, від 0 до20) у клітинки А1:A20;
3.2.Клітинки В1:B20, С1:C20, D1:D20 заповнимо значеннями K, розрахованими з рівняння
5 K+10L=C (C=50, 100, 150)
3.3.Клітинки Е1:Е20, F1:F20 заповнимо значеннями K, розрахованими
зрівняння
3K23L13 X X 25.2,37.8
3.4. Виділимо блок А1:F20 і за допомогою <Майстра діаграм> побудуємо ізокости й ізокванти, вибравши “точковий” варіант побудови графіків.
Побудований графік повинен мати вигляд графіка, зображеного нижче
Основные
0
0
0
=50
=100
=150
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25
3
В оптимальній точці (20;5) ізокванта X* 37.8 й ізокоста С=150, що проходять через цю точку, дотикаються, оскільки, згідно (8), нормалі до цих
|
F |
F |
|
|
|
|
|
||||||
кривих |
|
|
|
K ,WL , колінеарні. |
|||||||||
|
K |
|
L |
||||||||||
|
4. Розрахуємо норму заміни праці фондами в оптимальній точці: |
||||||||||||
|
|
SK |
|
F L |
|
K* |
|
20 |
|
1 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
F K 2L |
2*5 2 |
|
тобто один працівник може бути замінений двома одиницями фондів.
Варіанти вихідних даних для лабораторної роботи №3.
Варіант 1. Виробнича функція фірми має такий вигляд:
X 4x12 24x1 2x1x2 6x2 x22 ,
де x1,x2 - витрати ресурсів. Визначити максимальний випуск який забезпечують цей випуск витрати ресурсів.
Варіант 2. Виробнича функція виду: |
|
|
|
|
|
|
|||
X 5x1 3x1 |
3x1 3 |
описує залежність між витратами |
ресурсів |
x ,x |
,x |
3 |
і |
||
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
випуском Х. Визначити максимальний випуск, якщо |
x1 x2 x3 |
9. |
Які |
||||||
граничні продукти в оптимальній точці? |
|
|
|
|
|
|
Варіант 3. Виробнича функція фірми має такий вигляд:
X 3x113x223
Визначити граничні продукти по ресурсах і побудувати ізокванту Х=3. Знайти норму заміни першого ресурсу другим у точці x1 x2 1.
4