Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

MEKN / Лр #3 МЕкн

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
16.02.2016
Размер:
401.85 Кб
Скачать

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №3 ТЕМА Математичні моделі завдання фірми. Рішення задачі фірми.

Аналіз впливу цін на об'єми витрат і випуску. Основне рівняння фірми.

Короткі теоретичні відомості

Нехай виробнича фірма випускає один вид продукції або багато видів, але в постійній структурі. Позначимо через Х - річний випуск фірми в натурально речовинній формі. Для виробництва продукції фірма використовує сьогоднішню працю L (середнє число зайнятих у рік), минулу працю у вигляді засобів праці K (основні виробничі фонди) і предмети праці М (витрачені за рік сировина, енергія, паливо й т.п.).

Нехай x x1,x2 ,...,xn - вектор-стовпець можливих обсягів витрат різних видів ресурсів. Тоді технологія фірми визначається виробничою функцією виду:

X F(x),

(1)

де F(х)- двічі диференційована функція й матриця її других похідних негативно визначена.

Розглянемо функцію прибутку:

П(x) pF(x) Wx,

(2)

де р – ціна одиниці продукції,

 

W (W1,W2 ,...,Wn ) - вектор-рядок цін ресурсів.

 

Якщо немає інших обмежень на розміри ресурсів, що введено у

 

виробництво, крім природної вимоги їх невід’ємності, то завдання на

 

максимум прибутку здобуває вид:

 

max pF(x) Wx .

(3)

x 0

 

Це завдання нелінійного програмування. Необхідними умовами її розв'язку є умови Куна-Таккера:

 

П

p

F

W 0,

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

F

 

 

(4)

 

 

 

p

 

 

W

0

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо в оптимальному розв'язку

використані всі

види ресурсів,

тобтоx* 0, то умови (4) приймають вид:

 

 

 

 

 

p

F(x*)

W ,

 

 

 

 

 

 

 

або

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

F(x*)

Wj ,

j=1,…,n.

(5)

 

 

 

xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його ціні.

Якщо розглядати завдання на максимум випуску при заданому обсязі витрат:

1

max F(x),

(6)

Wx C

x 0

то це завдання нелінійного програмування з одним лінійним обмеженням умовою невід’ємності змінних. Для його розв'язку на початку будуємо функцію Лагранжа:

L x, F x C Wx ,

а потім максимізуємо її за умовою невід’ємності змінних:

max L x, .

x 0

Умови Куна-Таккера для цього завдання

F W 0x

F

 

(7)

 

 

W x 0

 

x

 

 

повністю збігаються з (4), якщо 1 . p

Завдання

Випуск монопродуктової фірми задається виробничою функцією КоббаДугласса:

X F K,L 3K23L13 .

На оренду фондів і оплату праці виділено 150 грош.од., вартість оренди одиниці фондів Wk 5 грош.од./од. ф., ставка заробітної плати WL 10 грош.од./чол.; ціна одиниці продукції p=5 грош.од..

Визначити максимальний випуск X* двома способами: по завданню на максимум прибутки й по завданню на максимум випуску при заданому обсязі витрат.

Розв'язок проілюструвати графічно, побудувавши ізокости (лінії постійних витрат) для С=50,100,150 і ізокванти (лінії постійних випусків) для

Х=25.2; X*.

Визначити граничну норму заміни одного працівника фондами в оптимальній точці.

Хід роботи

1. Визначимо оптимальний випуск продукції за завданням на максимум випуску (див. (6)):

1.1. Оскільки F(0, L)=F(K, 0)=0, то в оптимальному розв'язку К* 0,L* 0.Отже, умови (7) приймають вид:

F WK ,K

F WL (8)

L

2

1.2. Підставимо в (8) вид

 

 

виробничої функції F K,L 3K2 3L1 3 ;

одержимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

L1 3

WK ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K1 3

 

 

 

 

 

 

 

K2 3

 

WL

(9)

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

1.3. Поділимо в (9) 1-е рівняння на 2-е:

 

 

 

 

2

L

 

WK

, тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

K

 

WL

 

2

 

5

 

1

, або K 4L

(10)

 

 

 

 

K

10

2

 

 

 

 

 

 

1.4. Підставивши (10)

 

в

умову WK K* WL L* 150,

знаходимо:

L* 5,K* 20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, X* 37.8

2.Визначення оптимального випуску за завданням на максимум прибутки необхідно провести самостійно.

3.Проілюструємо розв'язок завдання геометрично. Для цього побудуємо ізокости для с=50, 100, 150 і ізокванти для Х=25,2; 37,8:

3.1.Введемо значення L (наприклад, від 0 до20) у клітинки А1:A20;

3.2.Клітинки В1:B20, С1:C20, D1:D20 заповнимо значеннями K, розрахованими з рівняння

5 K+10L=C (C=50, 100, 150)

3.3.Клітинки Е1:Е20, F1:F20 заповнимо значеннями K, розрахованими

зрівняння

3K23L13 X X 25.2,37.8

3.4. Виділимо блок А1:F20 і за допомогою <Майстра діаграм> побудуємо ізокости й ізокванти, вибравши “точковий” варіант побудови графіків.

Побудований графік повинен мати вигляд графіка, зображеного нижче

Основные

0

0

0

=50

=100

=150

0

5

10

15

20

25

3

В оптимальній точці (20;5) ізокванта X* 37.8 й ізокоста С=150, що проходять через цю точку, дотикаються, оскільки, згідно (8), нормалі до цих

 

F

F

 

 

 

 

 

кривих

 

 

 

K ,WL , колінеарні.

 

K

 

L

 

4. Розрахуємо норму заміни праці фондами в оптимальній точці:

 

 

SK

 

F L

 

K*

 

20

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F K 2L

2*5 2

 

тобто один працівник може бути замінений двома одиницями фондів.

Варіанти вихідних даних для лабораторної роботи №3.

Варіант 1. Виробнича функція фірми має такий вигляд:

X 4x12 24x1 2x1x2 6x2 x22 ,

де x1,x2 - витрати ресурсів. Визначити максимальний випуск який забезпечують цей випуск витрати ресурсів.

Варіант 2. Виробнича функція виду:

 

 

 

 

 

 

X 5x1 3x1

3x1 3

описує залежність між витратами

ресурсів

x ,x

,x

3

і

1

2

3

 

 

1

2

 

 

випуском Х. Визначити максимальний випуск, якщо

x1 x2 x3

9.

Які

граничні продукти в оптимальній точці?

 

 

 

 

 

 

Варіант 3. Виробнича функція фірми має такий вигляд:

X 3x113x223

Визначити граничні продукти по ресурсах і побудувати ізокванту Х=3. Знайти норму заміни першого ресурсу другим у точці x1 x2 1.

4

Соседние файлы в папке MEKN