Федеральное Агентство по образованию РФ

Волжский Политехнический Институт (филиал)

Волгоградского Государственного Технического Университета

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Лабораторная работа № 21

Волжский 2006

Лабораторная работа № 21

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ИЗГИБА

21.1. Цель работы: Изучение закона Гука и определение модуля упругости (модуля Юнга) для стали и латуни.

21.2. Содержание работы

Все материалы, применяемые в машиностроении, обладают упругими свойствами. Упругость - свойство макроскопических тел изменять свою форму и размеры под действием внешних сил и самопроизвольно восстанавливать исходную конфигурацию при прекращении внешних воздействий.

Вданной лабораторной работе для упрощения рассуждений будем рассматривать деформацию идеально упругих, однородных и изотропных тел. Вспомним, что идеально упругими считаются тела, которые могут претерпевать только упругие деформации, исчезающие с прекращением действия внешней силы. Изотропными в теории упругости называются тела, упругие свойства которых по всем направлениям одинаковы.

У

Рис.21.1

пругие свойства тел обусловлены силами взаимодействия атомов, из которых они построены. Характер изменения этих сил с расстояниемrмежду. атомами показан на рис.21.1. При больших расстояниях между атомами преобладают силы притяжения, быстро убывающие с ростом г. При сближении атомов вплотную друг к другу начинает превалировать взаимное отталкивание электронных оболочек атомов. Приr=r₀силы отталкивания и притяжения уравновешивают друг друга, и атомы твердого тела при отсутствии внешних сил располагаются на расстоянииrдруг от друга.

Р

Рис.21.2

ассмотрим упругую деформацию стержня длиныи площади поперечного сечения S (рис.21.2). Пусть к обоим концам приложена внешняя силаF, под действием которой стержень удлинится на некоторую величину. При этом расстояния между соседними атомами вдоль оси стержня возрастут на некоторую ве­личинуr(см.рис.21.1). Удлинение всей цепочки атомовсвязано сrсоотношением:

. (21.1)

При смешении атомов из своих положений равновесия между ними возникнут силы притяжения f, возрастающие по абсолютной величине |f| с увеличениемr. При малых растяжениях, покаrr, (следовательно и) нелинейную зависимостьfотrможно практически заменить прямой линией (пунктир на рис.21.1). Тогдаfбудет прямо пропорциональноr, в с учетом знака можно записать

, (21.2)

где k- коэффициент пропорциональности, зависящий от конкретного вида кривой взаимодействия атомов данного твердого тела.

Мысленно расчленим по длине рассматриваемый стержень на ряд параллельных цепочек атомов. Число этих цепочек, приходящихся на единицу площади поперечного сечения стержня, обозначим через n₀. Тогда во всем поперечном сечении будет действовать суммарная сила притяжения

f= -krn₀S. (21.3)

Изменение расстояния между атомами rбудет возрастать до тех пор, пока эта сила не уравновесит внешнюю силуF, т.е.

F= -f. (21.4)

Подставляя в уравнение (21.4) уравнение (21.3), предварительно выразив rиз уравнения (21.1) для внешней силы получим

F= kn₀r₀S/. (21.5)

На практике принято рассматривать не силу F, а напряжение=F/S, т.е. силу, отнесенную к единице площади поперечного сечения стержня.

Разделив обе части уравнения (21.5) на площадь поперечного сечения S, для напряженияполучим

=kn₀r₀/. (21.6)

Отношение /=называется относительным удлинением. Оно равно отношению абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине. Это безразмерная величина. В случае деформация сжатия она будет характеризовать относительное укорочение стержня. Поэтому в общем случаеназывают относительной деформацией.

Произведение kn₀r₀характеризует механические свойства материала, из которого изготовлен стержень: это модуль упругости или модуль Юнга Е.

Окончательно уравнение (21.6) примет вид:

=E. (21.7)

Соотношение (21.7) выражает закон Гука: нормальное напряжение прямо пропорционально относительной деформации.

При удлинении атомных цепочек при растяжении стержня (рис.21.2) расстояния между атомами вдоль цепочек возрастают. При этом изменяется взаимодействие между соседними цепочками, к они несколько сближаются друг с другом. Поэтому при растяжении стержня его поперечные размеры несколько уменьшаются. В первом приближения это уменьшение пропорционально напряжению .

Закон Гука является приближенным и с достаточной степенью точности выполняется для большинства материалов лишь в области малых деформаций.

Выясним физический смысл модуля упругости (модуля Юнга). Положим в уравнении (21.7) относительную деформацию равной единице; в этом случае нормальное напряжение будет равно модулю Юнга. Следовательно, модуль упругости материала численно равен такому нормальному напряжению, при котором относительная деформация образца равна единице. Для случая деформации растяжения/=1 или=, т.е. длина стержня увеличится в два раза. Согласно уравнению (21.1), межатомные расстояния также должны увеличиться в два раза. Но такого в действительности не наблюдается. Материалы разрушаются раньше, чем напряжения достигнут модуля Юнга. Так, если межатомные расстояния г=г₁(рис.21.1), сила притяжения принимает наибольшее возможное значениеf₁. При дальнейшем растяжении тела силы взаимодействия между его атомами падают и уже не могут уравновесить приложенную нагрузку. Тело при этом разрывается. Напряжение, равное модулю Юнга выдерживает, не разрушаясь, только каучук. Причиной снижения модуля упругости во всех реальных материалах является наличие дефектов кристаллического строения: дислокаций, вакансий, междуузельных атомов.

Значение модуля упругости различно для разных материалов и зависит только от природы атомов (молекул), образующих тело, а также от их взаимного расположения. Изменить модуль упругости можно лишь путем значительного изменения состава или внутренней структуры твердого тела. Однако и в этом случае наблюдается небольшое изменение Е. Следовательно, модуль Юнга является одной из основных характеристик упругих свойств материалов, мало изменяющихся под влиянием различных факторов.

Следует, однако, отметить зависимость модуля упругости от температуры. Постоянной величиной модуль Юнга является только в определенных температурных интервалах, характерных для каждого материала. Температурное изменение модуля упругости может оказаться весьма вредным в приборах автоматического управления, часах, высотомерах и других точных приборах. В этих случаях упругие элементы (пружины) таких приборов изготавливают из специальных сплавов (элинваров), не изменяющих своего модуля упругости в определенном интервале температур (например, от -50 до +50° С).

Таблица 21.1 Значения модулей упругости различных материалов

Материал	Модуль Юнга, ГПа	Материал	Модуль Юнга, ГПа
Алюминий	69	Медь	110 – 130
Бронза оловянистая	75 - 124	Никель	210
Висмут	32	Олово	30
Гранит	35 - 50	Свинец	157
Дюралюмин катан.	71	Серебро	82
Железо	196	Сталь легированная	210 - 220
Иридий	520	Сталь углеродистая	200 - 210
Кадмий	50	Стекло	49 – 78
Константан	160	Титан	116
Латунь	92 - 96	Фторопласт	0,5 - 0,8
Лед	3	Цинк	78

Важность изучения закона Гука обусловлена тем, что именно с упругой деформации начинается всякий процесс деформирования. И пластической деформации, и разрушению всегда предшествует упругая деформация. Кроме того, упругие свойства материалов необходимо учитывать при плотном соединении различных деталей (например, болтов и гаек), т.к. иногда должно иметь место некоторое вполне определенное сочетание значений модулей упругости.

В

данной лабораторной работе рассматривается упругая деформация стержня с прямоугольным поперечным сечением, лежащего на двух опорах, под действием внешней силыF, приложенной к его середине и направленной вертикально вниз (рис.21.3).

Т

Рис.21.3

акая деформация называется изгибом. Изгиб - сложная деформация, которую можно представить как совокупность растяжения и сжатия. Мысленно разобьем стержень на "волокна" вдоль его длины. В исходном состоянии все "волокна" имеют длину, равную длине стержня. При его изгибе верхние "волокна" будут сжиматься, нижние - растягиваться, а средние (нейтральные) "волокна" сохраняют свою длину и только претерпят искривление. Чем выше располагаются "волокна" относительно нейтрального слоя, тем больше они сжаты, в чем ниже расположены •волокна" относительно нейтральных, тем больше она растянуты.

Для отдельного "волокна" изогнутого стержня деформация будет приблизительно однородной, и закон Гука можно записать в форме(21.7). Зная деформацию "волокна", можно определить модуль Юнга. Но измерение деформации каждого такого элемента структуры стержня представляет значительные теоретические и - экспериментальные трудности. Поэтому принято рассматривать идеализированный случай изгиба невесомых, тонких и узких стержней, у которых поперечные сечения всегда бы оставались неизменными по форме и нормальными к продольной оси. На практике тонким принято считать стержень, если его длина много больше его ширины а и толщиныb. В этих случаях можно не учитывать напряжения, возникающие при деформации, на его боковых поверхностях.

Практически при изгибе тонких и узких стержней принято измерять не деформацию, а стрелу прогиба - смещение середины стержня в направлении, перпендикулярном его продольной оси. Закон Гука в этом случае можно записать в виде

F=ch, (21.8)

где h- стрела прогиба; с - постоянный для данного стержня коэффициент, зависящий от его размеров и упругих свойств.

. (21.9)

Решая совместно уравнения (21.8) в (21.9), получим формулу для вычисления модуля упругости материала стержня

(21.10)

Измерив размер стержня (,a,b). стрелку прогиба и внешнюю силуFможно определить модуль Юнга.