Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ГЕОМ_Лобачевского.DOC
Скачиваний:
192
Добавлен:
17.02.2016
Размер:
5.47 Mб
Скачать

Глава III. Элементы геометрии Лобачевского

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) основана на аксиомах I-IVабсолютной геометрии и наV*.

V*.Пусть а - произвольная прямая, а А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, не менее двух прямых, проходящих через т. А и не пересекающих прямую а.

Ясно, что в геометрии Лобачевского выполняются все теоремы, которые следуют из I-IVгрупп аксиом системы Гильберта: равенство треугольников, понятие углов и т.д., и т.п. Вплоть до теоремы Дедекинда. Разве что нельзя пользоваться евклидовой аксиомой параллельности.

Сначала изучим свойства, т.е. основные факты, сразу вытекающие из аксиом этой геометрии, а потом уже построим модель. Будем использовать те же базисные множества, которые называли точками прямыми и удовлетворяющиеI-IV,V*. Ограничимся плоскостью.

Для начала сразу заметим, что из V*сразу следует, что если даны прямая а и т. А, не лежащая на ней, тобесконечно много прямых, проходящих через т. А и не пересекающих прямую а.

Прямая ацеликом лежит внутри угла 1. Тогда никакая прямая, лежащая внутри углов 2 и 3, прямуюа не пересекает (т.к. прямая делит плоскость на две полуплоскости).

§1. Параллельные прямые

Среди всех прямых, проходящих через точку А и не пересекающиха, выделяют специальные прямые, которые называются параллельными. Будем считать, что наши прямые являются направленными, и обозначать их будем:AB(А предшествуетB).

Опр 1. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые

  1. не имеют общих точек

  2. для любых точек. Р и Q, лежащих на АВ и CD, соответственно, любой внутренний луч угла QPВ пересекает QD. (пишут АВ//СD).

Замечание 1. Отсюда не следует, чтоAB//DC!

Замечание 2. Параллельность по Лобачевскому - это как бы предельное положение «не пересечения» прямых.

Оказывается, что имеет место признак параллельности прямых.

Теорема 1.Если прямые АВ и СD не имеют общих точек и существуют точки РАВ и Q СD, такие, что любой внутренний луч угла QРВ пересекает луч QD, то АВ//СD(без доказательства).

А вот следующую теорему, выражающую корректность введенного понятия, мы все же докажем.

Теорема 2 (существования и единственности параллельных по Лобачевскому). (Самостоятельно (стр. 261-262). Сказать только идею).Пусть АВ - произвольная направленная прямая, а М - точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существует одна и только одна направленная прямая СD, проходящая через т. М и параллельная прямой АВ.

Доказательство. Рассмотрим перпендикулярMN, проведенный из точки М к прямой АВ, и прямую МРMN. Точки Р и В лежат по одну сторону отMN. Т.к. внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые МР иNВ не пересекаются, этот факт доказывается безVпостулата). Точки отрезкаNPразобьем на два класса К1и К2.

К1={XXNP(лучМХлучNB},K2=NP\K1. Докажем, что указанное разбиение удовлетворяет условиям а) и б) теоремы Дедекинда:

  1. Ясно NK1, т. к.MNAB, иPK2, т. к.MPAB=. Класс К1не пуст: Возьмем т.X1наNВ. Луч МX1пересекаетNP(т.к.X1лежит внутри углаNМР и по разные стороны отNР с М) и содержит точки отличные отN. К2тоже содержит точки отличные от Р. Действительно, поV*прямая МS1отличная от МР и не пересекающаяAВ. Прямая МS2, симметричная прямой МS1относительно МNтоже не пересекает АВ. Но одна из прямых МS1или МS2проходит внутри углаNМРпересекаетNР в точкеYК2. Кроме того, К1К2=NP, К1К2=.

  2. Пусть хК1хN,YK2. Тогда х лежит междуNиY. Т.к. иначеYлежит междуNи Х иNYNBт.к. он внутренний луч углаNMXYK1.

Тогда, по теореме Дедекинда, существует т.D, производящая это сечение. Докажем, чтоDК2. От противного: ПустьDК1, тогда луч МDNB=D1. Возьмем т.D1/:N-D1-D1/, тогда луч МD1/NP=D/D/К1иD-D/-P. Противоречит утверждениюThДедекинда. Следовательно,DК2. Выберем теперь т. СМD: С-М-D. Прямая СD//АВ.

Теперь единственность: Пусть С/D/другая прямая, проходящая через т. М и параллельная АВ. Рассмотрим углыNMDиNМD/поdfпараллельных внутренние лучи этих углов пересекаютNВ, сл -но МDи МD/лежат в той же полуплоскости с границей МN, что иNВ, но тогда либо МD- внутренний луч углаNМD/, либо МD/вн. луч углаNМD. Тогда либо СDлибо СD/пересекает АВ. Ч.т.д.