Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теория измерений.DOC
Скачиваний:
37
Добавлен:
17.02.2016
Размер:
367.62 Кб
Скачать

Глава II. Длина, площадь и объем.

В этой главе речь пойдет о теории измерений. Вернее, о теории измерений длины, площади и объема. В курсе анализа вы уже встречались с понятием квадратируемой и кубируемой фигуры, но при этом опирались на площадь многогранника, объемы известных многогранников. Здесь же мы ответим на вопрос о том, как понимать измерение этих элементарных вещей. В школьной математике имеют дело с такими частными случаями измерение: длины, площади и объема, и с таким частным случаем величин, как положительные скалярные величины.

Как правило, под измерением всегда понимают установление соответствия объекта и некоторого положительного числа. Хотя это не совсем верно (обще). Во времена Евклида не знали учения о действительных числах. Однако теория измерения была довольно развита. Сказать о теории меры. Подробности: Любецкий «Основные понятия школьной математики» Москва. Просвещение 1987

В этой главе мы рассмотрим теорию измерения отрезка в абсолютной геометрии и измерение площади и объема в Евклидовой.

§1.Измерение и длина отрезка

Предположим, что мы находимся в рамках теории, в которой выполняется первые четыре группы аксиом Гильберта, т.е. абсолютная геометрия. Тем самым определено понятие отрезка, равных отрезков и т.д. Под измерением отрезка понимают некий процесс, в результате которого, получается некоторое число. Каждому отрезку ставится в соответствие некоторое положительное число, которое называется его длиной. L- множество всех отрезков, R+множество всех действительно положительных чисел.

Опр 1.Будем говорить, что установлено измерение отрезков, если определено отображение l: L®R+, удовлетворяющим следующим аксиомам:

L1. если отрезки АВ и А/В/равны, то l(АВ)=l(А/В/)

L2. если А-В-С, то l(АВ)+l(ВС)=l(АС)

L3. $отрезок PQ: l(PQ)=1

Отрезок PQ и любой равный ему отрезок называется линейной единицей или единичным отрезком. Положительное число l(АВ)с указанием линейной единицы называется мерой или длиной отрезка АВ.

Постановка задачи: Задача заключается в том, чтобы доказать, что в абсолютной геометрии всегда существует отображение l:L®R+, удовлетворяющее аксиомам 1,2 и 3, при этом если выбран единичный отрезок PQ, то это отображение определяется единственным образом.

В Á(åW) это уже сделано. ВÁ(åР) - введено в аксиомы. Сложнее в других теориях. Но во всех этих теориях работает абсолютная геометрия. А после того как докажем единственность, станет ясно, что это та самая длина и есть.

§2. Теорема существования

Теорема (существование длины в абсолютной геометрии).В абсолютной геометрии при любом выборе единичного отрезка PQ существует отображение g: L®R+, удовлетворяющее трем аксиомам измерения отрезков, причем g (АВ) есть число, полученное в результате измерения отрезка АВ.

Доказательство.Пусть АВ - произвольный отрезок, а PQ – выбранный единичный отрезок. Это типичная Th существования. Мы построим конкретное отображение g, а потом докажем, что оно удовлетворяет L1, L2, L3. Отображение опишем как процесс, ставящий в соответствие каждому отрезку положительное число. Этот процесс и будет называться измерением отрезка. Для доказательства нам понадобится систематические двоичные дроби. Т.е. числа вида, а=n,n1,n2,…, где n-целое неотрицательное число ,niравно 0 или 1. Тогда а=. По теореме: Всякое действительное числоaможно представить в виде конечной или бесконечной систематической дроби с любым основанием.

1.ПостроениеНа луче АВ отложим последовательно отрезки АА1, А1А2,… равныеPQ., если Аnсовпадает В, то будем считать, чтоg(АВ)=а=n. Если нет, то$Аn+1:An-B-An+1- по аксиоме Архимеда. Пусть Р1- середина отрезка АnAn+1. Возможны три случая: а)Р1- совпадает с В б) Аn-В-Р1, в)P1-B-An+1. В случае а) будем считать, чтоg(АВ)=n,1 (a=n+1/2); б) запишемn,0… и)n,1… и перейдем к следующему шагу.

Пусть Р2середина того отрезка, который содержит т.B.AnP1 (P1An+1). Снова три случая а) Р2совпадает с т. В а=n,01или (a=n+)(a=n,11) б) Аn-B-P2n,00n,10… в)P2-B-P1n,01n,11… и переходим к следующему шагу.

Продолжая этот процесс, приходим к определенному числу а, т.к. каждый раз мы идем по одной ветке и, значит, этот процесс сходится по аксиоме Кантора. g(AB)=a

2. Проверка аксиом L1, L2, L3.

L3- очевидно , т.к.g(РQ)=1

L1. Пусть АB=A/B/. Система точек на лучахABиA/B/,полученная в процессе измерения, имеет одинаковый порядок расположения и отрезки с концами в соответствующих точках равныn=n/,n/1=n1,…., иg(AB)=g(A/B/) (единственность предела)

А вот с L2 сложности.

Лемма 1 Если A/B/АВ, то g(A/B/) g(AB)

ДоказательствоОтложим на луче АВ отрезок АС равныйA/B/., т.к. АСАВ то А-С-В. Т.к.g(A/B/) =g(AС) поL1, то будем говорить оg(AС) иg(АВ).G(АС)=n,n1n2…g(AB)=m,m1m2… если С-Аn-В, тоnmи ч.т.д. Пусть Аn-С-В- Аn+1.Т.к. выбираем середину мы приближаемся к В. Если на к шаге попадем в случай а) процесса, то у В будет 1, а у С 0. всегда на каком-то шаге середина окажется внутри СВ, т.к. половина отрезка меньше целого и значит, выбирая середину меньшего отрезка, мы тем самым уменьшаем отрезок, в котором может содержаться СВ (т.е. получаем бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков), а больший отрезок в меньшем содержаться, не может.g(AC)<g(AB)Значит g(A/B/)<g(AB) ч.т.д.

Лемма 2Пусть PQ-единичный отрезок, а ЕF-отрезок, в котором -часть отрезка РQ укладывается k раз, где kN. Тогда gF)=.

Самостоятельно и доказательство L2 тоже.

Доказательство L2:

Пусть А-В-С а= g(AB), в=(ВС),c=g(АС) докажем а + в = с. Пустьа+в-с0n:а+в-с

РРn частьPQAk+1и Акт. что ВАкАВВАк+1, сs и сs+1:BCsBCBCs+1

Лемма 1g(BAk)a<g(BAk+1) g(BCs) b<g(BCs+1) 

Складываем AkCs AC<Ak+1Cs+1 на множествеR.a+b-c<противоречие.

Теорема доказана.