Posibnuk

3
Приклад 5. Знайти інтеграл ∫5					tg5 (10x −8)dx .
	2
5

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Проміжні дії мають такий вигляд:

>Int(tan(10*x-8)^5,x);

>changevar(t=10*x-8,%,t);

>simplify(%);

>J:=changevar(z=tan(t),%,z);

>convert(integrand(%),parfrac,z);

>(J/Int(integrand(J),z))*Int(%,z);

>expand(%);

>value(%);

>changevar(z=tan(t),%,t);

163

>changevar(t=10*x-8,%,X);

>Eval(%,x=2/5..3/5);

>value(%);

Контрольні завдання 1. Знайти інтеграли від тригонометричних функцій.

π

π

π

2

dx

2

cos3 x

1.

а) ∫

,

б) ∫

dx ,

2 + 7sin x

sin

4

x

0

π

3

г).

2∫πsin(−3x +10) cos(x + 7)dx ,

0

π

2.

а)

π

dx

,

б)

3

sin

5

x

dx ,

∫

∫

2 −3cos x

cos

2

π

0

x

2

3π

г).

∫2 sin(−2x +3) cos(3x +1)dx ,

0

3π

π

3.

а)

∫2

dx

,

б)

∫2 sin5 x cos3 xdx ,

0 3 −sin x

π

−

2

π

г).

∫3 sin(−x +1) cos(3x − 2)dx ,

−

π

2

π

2π

dx

2

4

x

4.

а)

∫

,

б)

∫

cos

dx ,

4 + cos x

3

π

π

sin

x

2

4

в). ∫2 cos4 xdx ,

−π2

0,5

д) ∫tg2 (x +1)dx ;

	0
	π
	в). ∫2 sin 4 (2x)dx ,
	−π
	2
д)	∫1 ctg2 (2x −3)dx ;
	0
в).	π∫cos4 (2x)dx ,
	−π
	2
	0,5
д)	∫tg3 (4x −7)dx ;
	0

π

в). ∫4 sin 4 (4x)dx ,

0

164

г). π∫sin(3x + 2) cos(x + 6)dx ,

0

3π

5.

а)

∫2

dx

,

б)

−

π 5 + 4sin x

2

π

г).

∫2 sin(x +5) cos(3x + 4)dx ,

−π

6.

а)

2∫π

dx

,

б)

0 6 −5cos x

π

г). ∫2 sin(7x −8)sin(2x +1)dx ,

0

7.

а)

2∫π

dx

,

б)

−

3π 7 −3sin x

2

г).

π∫sin(x + 4)sin(2x −8)dx ,

−π

2

π

8.

а)

∫2

dx

,

б)

2 +5cos x

−

π

2

3π

г).

∫2 sin(x +3)sin(2x + 7)dx ,

0

π

9.

а)

∫2

dx

,

б)

3 + 4sin x

0

π

г). ∫3 sin(5x + 2)sin(−3x + 7)dx ,

0

10.

а)

∫0

dx

,

б)

4 +3cos x

−

3π

2

д)

∫1 ctg3 (x + 2)dx ;

0

3π

π

∫2 cos6 x sin3 xdx ,

в).

∫4 cos4 (4x)dx ,

0

0

д)

∫0

tg4 (2x −5)dx ;

−0,5

π

π

3

5

x

2

∫

sin

dx ,

в).

∫sin 6 (2x)dx ,

3

0

cos

x

π

4

д)

∫0

tg5 (5x + 7)dx ;

−0,4

π

2∫πcos4 x sin3 xdx ,

в).

∫2 cos6 (2x)dx ,

0

0

0

д)

∫ctg6 (x +3)dx ;

−1

π

2

6

x

π

∫

cos

dx ,

в). ∫sin 4 (2x −5)dx ,

3

π

sin

x

0

4

0

д)

∫tg2 (2x + 7)dx ;

−1

π

∫2 sin 6 x cos5 xdx ,

в).

2∫πcos4 (3x + 2)dx ,

−

3π

0

2

0,2

д)

∫ctg5 (5x + 2)dx ;

0

2∫πsin3 x cos2 xdx ,

в).

π∫sin 4 (2x −3)dx ,

0

π

− 2

165

3π

г).

∫2 sin(x + 2)sin(−2x +5)dx ,

−

π

2

3π

11.

а)

∫2

dx

,

б)

0 5 − 2sin x

π

г). ∫5 cos(2x −5) cos(5x)dx ,

0

π

12.

а)

∫2

dx

,

б)

−2π 6 + 4cos x

г). π∫sin(x +1) cos(−2x +11)dx ,

0

13.

а)

π

dx

,

б)

∫

2cos x −

3sin x

π

2

3π

г).

∫2 cos(2x −3) cos(4x −7)dx ,

−

π

2

14.

а)

−∫π

dx

,

б)

2 −7 cos x

−

3π

2

π

г).

∫3 cos(−2x +14) cos(3x)dx ,

−

π

2

π

15.

а)

2

dx

,

б)

∫

3cos x +

2sin x

0

г).

∫0 cos(−3x) cos(2x +1)dx ,

−π

3π

16.

а)

∫2

dx

,

б)

π 3 −5cos x

2

д)

3π

∫2 sin 7 x cos4 xdx ,

π

2

д)

π∫sin5 x cos6 xdx ,

0

д)

π

∫2 cos5 x dx , π sin 6 x

8

д)

π

∫5 sin3 (2x) dx , 0 cos2 (2x)

д)

π

0,5

∫tg2 (x + 4)dx ;

0

π

в). ∫5 cos6 (5x −1)dx ,

0

∫0 ctg4 (2x −7)dx ;

−0,5

π

в). ∫8 sin6 (8x −3)dx ,

0

0,2

∫ctg6 (7x −8)dx ;

0

3π

в). ∫2 sin 4 (2x +3)dx ,

0

∫0 tg2 (3x + 4)dx ;

−0,5

в). 2∫πcos4 (x − 2)dx ,

−32π

∫1 tg3 (x +5)dx ;

0

π

∫5 sin 4 (5x) cos3 (5x)dx ,						в).	∫3 sin6 (3x +8)dx ,
0							0
					0,2
				д)	∫ctg4 (x + 6)dx ;
					0
3π							3π
2	cos3 (3x)				,	в).	2		6		,
∫				dx			∫cos			(2x −5)dx
	sin	4	(3x)
π							0

166

π

15∫sin(5x −1) cos(15x)dx ,

0,5

г).

д)

∫ctg3 (3x − 2)dx ;

0

0

3π

π

3π

2

dx

6

sin

2

(2x)

2

17.

а)

∫

,

б) ∫

dx ,

в). ∫sin 6 (2x + 7)dx ,

− 2sin x

cos

3

0 7

0

(2x)

π

2

π

г). ∫5 sin(10x) cos(5x + 2)dx ,

0,5

д)

∫tg3 (−x +1)dx ;

0

0

π

π

18.

а)

∫0

dx

, б) ∫8

sin 4 (3x)

dx ,

в). ∫3 sin 4 (3x −5)dx ,

π 5cos x − 2sin x

0

cos (3x)

0

− 2

π

0,5

14∫sin(−14x) cos(−7x +1)dx ,

г).

д)

∫ctg5 (x + 6)dx ;

0

0

π

π

π

19.

а)

∫2

dx

,

б)

∫3

cos6 (2x)

dx

0 5cos x +

4sin x

π

sin

(2x)

8

г). π∫sin(6x +10) cos(5x −3)dx ,

0

π

π

2

dx

3

7

20.

а)

∫

,

б)

∫

cos (3x)

dx

7

+5cos x

2

−π

π

sin

(3x)

8

,в). ∫5 cos4 (5x +3)dx ,

	0
д) ∫0	tg4 (3x +1)dx ;

−0,5

3π

,в). ∫2 sin 4 (2x −7)dx ,

0

π

0,5

г). ∫sin(−7x + 2) cos(11x)dx ,

д)

∫ctg2 (−2x +3)dx ;

0

0

π

3π

π

dx

3

sin

5

x

2

21.

а)

∫

,

б)

∫

dx ,

в). ∫cos6 (2x − 4)dx ,

cos x − 2sin x

cos

2

π

0

x

0

2

π

д) ∫0 ctg4 (−3x +10)dx ;

г).

15∫sin(5x + 4)sin(15x)dx ,

0

−0,5

3π

π

π

2

dx

3

sin

6

(4x)

7

22.

а)

∫

,

б)

∫

dx ,

в). ∫cos6 (7x −9)dx ,

3cos x +sin x

7

π

π

cos

(4x)

0

4

167

π

г).

18∫sin(6x +13)sin(18x −6)dx ,

0

5π

π

23.

а)

∫2

dx

,

б) ∫2 cos5

7 −sin x

0

π

− 2

π

г).

10∫sin(−10x)sin(5x + 7)dx ,

0

24.

а)

π∫

dx

,

б)

sin x −3cos x

π

2

π

г).

18∫sin(−9x + 4)sin(18x)dx ,

0

25.

а)

π

dx

,

б)

∫

2cos x −

3sin x

π

2

π

г). ∫8 sin(8x −3)sin(2 − 4x)dx ,

0

π

26.

а)

2

dx

,

б)

∫

5sin x +3cos x

0

π

г).

∫3 cos(x +1) cos(3x − 4)dx ,

−π

3

27.

а)

2∫π

dx

,

б)

π 4 −5sin x

г). π∫cos(2x −1) cos(5x)dx ,

0

28.

а)

∫0

dx

,

б)

−

3π 5 +3cos x

2

0,1

д)

∫ctg5 (5x −1)dx ;

−0,2

x sin 4 xdx ,

в). π∫sin 4 (5 − 2x)dx ,

0

д)

∫0

tg6 (6x +10)dx ;

−0,2

π

π∫sin5 x cos4 xdx ,

в).

∫3 cos4 (3x)dx ,

0

0

0,2

д)

∫ctg2 (8x −3)dx ;

0

π

π

3

sin

3

x

2

∫

dx ,

в).

∫sin 4 (7 − 4x)dx ,

2

0

cos

x

−

π

4

0,5

д)

∫tg6 (5x + 2)dx ;

0

π

2∫πcos5 x sin 2 xdx ,

в).

∫9 cos4 (9x − 4)dx ,

π

0

− 2

0,1

д)

∫ctg3 (11x +1)dx ;

0

π

4

sin

5

π

∫

(5x)

dx ,

в).

∫sin 6 (2x −1)dx ,

6

π

cos

(5x)

−

π

5

2

0,2

д)

∫ctg2 (6x −11)dx ;

0

2π

π

3

cos3 x

dx ,

в).

6

6

(1−6x)dx ,

∫

∫cos

sin

2

x

π

0

2

168

π

г). ∫2 cos(5x −18) cos(3x + 4)dx ,

д)

∫0

tg2 (9x + 4)dx ;

0

−0,2

π

π

29. а) ∫0

dx

,

б)

∫9 sin 4 (9x) cos5 (9x)dx ,

в). ∫8 sin 4 (1−8x)dx ,

−π 6 −7sin x

0

0

π

0,2

г). ∫cos(7x +1) cos(2x)dx ,

д)

∫ctg3 (5x + 4)dx ;

0

0

π

π

π

2

dx

2

cos3 x

2

4

30. а)

∫

,

б)

∫

dx ,

в). ∫cos

(4x −11)dx ,

cos x +

3sin x

sin

4

x

0

π

π

3

− 4

π

10∫cos(15x −3) cos(10x)dx ,

0,5

г).

д) ∫tg4 (2x +11)dx .

0

0

Завдання підібрано з джерела [6].

	Питання для самоперевірки
1.	Коли і як застосовується універсальна тригонометрична підстановка?
2.	Які підстановки існують для раціоналізації інтегралів		виду
	x2
	∫R(sin x,cos x)dx ?
	x1
3.	x2
	Як знайти інтеграли виду ∫sinn xcosm xdx , (n,m – цілі числа)?
	x1
4.	x2	x2
	Якими підстановками обчислюються інтеграли ∫tgn x ,	∫ctgn x ,	(n –
	x1	x1
	натуральні, n>1)?
5.	За допомогою яких формул розкладається підінтегральна функція на
	x2	x2
	доданки для знаходження інтегралів виду ∫sin mxcos nxdx ,	∫cosmxcosnxdx ,
	x1	x1
	x2
	∫sin mxsin nxdx , (m, n – дійсні числа)?
	x1

169

Заняття 3 «Універсальні методи обчислення інтегралів, що містять

квадратний тричлен під коренем»

Теоретико-практична частина

Підстановки Ейлера

Для обчислення інтегралів, що містять квадратний тричлен під знаком радикала, можна використовувати метод підстановок Ейлера, який може бути застосований до всіх інтегралів вигляду

x∫2 R( ax2 +bx + c, x)dx .

x1

Наведемо відповідні формули.

1. Якщо перший коефіцієнт квадратного тричлена, який міститься під коренем, додатний (a>0), то вводимо першу підстановку Ейлера:

ax2 + bx + c =t ± x a , t1,2 = ax1,2

2 +bx1,2 + c m x1,2 a .

2.Якщо перший коефіцієнт від’ємний, а вільний член додатній, тобто a<0, с>0, то використовується друга підстановка Ейлера

ax2 + bx + c =tx ±	c , t1,2	=	ax2	+bx + c m	c	.
			1,2	1,2
				x1,2

3. Якщо квадратний тричлен під коренем має два різні дійсні корені: xI та xII , то можна застосувати третю підстановку Ейлера

ax2 +bx + c = t(x − xI ), t1,2

ax2

+bx

+ c

, або

=

1,2

1,2

x1,2 − xI

ax2 +bx + c = t(x − xII ),

ax2

+bx

+ c

.

t1,2

=

1,2

1,2

x

− x

II

1,2

Зауважимо, що у розглянутих трьох випадках має місце шість різних формул для підстановок, причому в кожній парі формули однаково успішно призводять до раціоналізації.

170

10		dx
Приклад 1. Обчислити інтеграл ∫				.
	(2x −1)		2
1		4x		+10x +9

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Проміжні дії для підстановок Ейлера виконуються аналогічно до всіх інших підстановок, тому не потребує пояснення

>Int(1/(2*x-1)/sqrt(4*x^2+10*x+9),x);

>changevar(sqrt(4*x^2+10*x+9)=t-x*sqrt(4),%,t);

>simplify(%);

>JD:=integrand(%);

>denom(%);

>completesquare(%);

>sort(%);

>op(1,%);

>zam:=sqrt(%);

>changevar(z=zam,Int(JD,t),z);

171

>simplify(%);

>value(%);

>changevar(z=zam,%,t);

>changevar(t=2*x+sqrt(4*x^2+10*x+9),%,x);

>Eval(%,x=1..10);

>value(%);

>evalf(%);

	4
5					dx
Приклад 2. Обчислити інтеграл ∫							.
			x	− 2x	2	−5x +9
	1
5

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Проміжні дії мають такий вигляд

> Int(1/(x)/sqrt(-2*x^2-5*x+9),x);

172