- •1.Основы теории погрешностей
- •2.Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным
- •3. Численные методы решения систем линейных уравнений
- •4. Интерполирование функций
- •5. Численное дифференцирование
- •6. Численное интегрирование
- •7. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
1.Основы теории погрешностей
2.Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным
3.Численные методы решения систем линейных уравнений
4.Интерполирование функций
5.Численное дифференцирование
6.Численное интегрирование
7.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
1.Основы теории погрешностей
Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:
Неустранимая погрешность.
Ошибки арифметических действий.
Основные задачи теории приближённых вычислений.
При решении конкретной задачи источником погрешностей окончательного результата могут быть неточность начальных данных, округления в процессе счета, а также приближённый метод решения. В соответствии с этим будем разделять погрешности на:
погрешности из-за начальной информации (неустранимая погрешность);
погрешности вычислений;
погрешности метода.
Неустранимая погрешность
Неустранимая погрешность - это погрешность, связанная с ошибками в исходной информации. Причинами этих ошибок может быть, например, неточность измерений, невозможность представить данную величину конечной дробью.
Различают абсолютную и относительную погрешности. Пусть x - истинное значение величины, - её приближенное значение, принимаемое в расчетах. Величина называется абсолютной погрешностью числа . Точная верхняя грань множества значений , которое определяется найденным , и имеющейся информацией относительно x, называется предельной абсолютной погрешностью величины . Относительной погрешностью δ величины называется отношение её абсолютной погрешности к величине : . Аналогично можно определить предельную относительную погрешность δ x числа : Относительные погрешности чисел принято выражать в процентах, поэтому: При записи приближённых чисел желательно указывать их точность, сообщая те границы, в которых это число может находиться: ± Δx.
Значащая цифра числа считается верной в узком смысле, если абсолютная погрешность (предельная) не превосходит половины единицы того разряда, в котором стоит данная цифра. В противном случае цифра считается сомнительной. Значащая цифра числа считается верной в широком смысле, если абсолютная погрешность (предельная) не превосходит единицы того разряда, в котором стоит данная цифра.
При записи чисел руководствуются следующим правилом: все цифры числа должны быть верными. Поэтому округление чисел, записанных в десятичной системе, производится по правилу первой отбрасываемой цифры:
Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставляемые десятичные знаки сохраняются без изменения;
Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на 1;
Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней идут не нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на 1;
Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, и все цифры, идущие за ней - нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная, и остаётся без изменения, если - четная.
Ошибки арифметических действий
Если f (x, y) = x + y, то Δx + y = Δx + Δy. Если f (x, y) = x - y, то Δx - y = Δx + Δy. Если f (x, y) = x · y, то Δxy = . Если f (x, y) = , то .
Из формул для абсолютных погрешностей суммы, разности, произведения и частного выводятся формулы для соответствующих относительных погрешностей.
Если f (x) = x n , то Δxn = . Если , то . δxn = n · δx. .
Основные задачи теории приближённых вычислений
Прямая задача: указаны действия, которые нужно выполнить и заданы предльные погрешности. Требуется оценить погрешность результата.
Обратная задача: указаны действия, которые нужно выполнить, задана погрешность, которая допустима для результата. Требуется установить, какими должны быть погрешности исходных данных, чтобы полученный результат имел заданную точность.