Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
госы / Volkov.docx
Скачиваний:
44
Добавлен:
17.02.2016
Размер:
270.26 Кб
Скачать

«Математические методы в геологии»

    1. Метод наименьших квадратов

Суть метода-минимизация отклонений функции от исходных данных.

Осн.уравнение: A*fi=U

(Af-U)T(Af-U)=(fTAT-UT)(Af-U), где

А-матрица значений базисных функций

fi –вектор коэффициентов

U-вектор наблюденных значений.

Каждая строчка матрицы А соответствует одному значению U.

Этот метод апромаксимационный, т.е. всегда будет отклонение.

Задача найти fi=A\’U=A-1U

\ - матричное деление

от х зависит А,

у записывается в U

если имеем карту, то х у z

A U

если 3х-мерную модель, то: х у z Параметр

А U

Метод наименьших квадратов работает только тогда, когда много точек наблюдения. В чистом виде он применяется, когда точек наблюдения больше, чем количество точек функции на области определения. Для картирования этот метод не подходит.

Ошибка аппроксимации минимальна.

    1. Вариационная задача

||Af-U||2 Rn+α||Df||2 L2→min

(AtA α+Q)fi=AtU α+λQφ, где

А-матрица значений базисных функций

Q-стабилизирующий функционал

fi-вектор коэффициентов (функция)

U- вектор значений

λ, Q, φ – априорная информация

D-дифференциальный оператор взятия некоторой производной

Q: - min значений

- min кривизны

- min поверхности

Переход от простого МНК к более сложному виду позволяет решать задачу при малом количестве наблюдений. Варьирование производится с помощью α, который задает соотношение между весом на точки и весом на стабилизирующий функционал. Чем больше вес на точки, тем ближе к точкам проходит функция.

    1. Информация для задач с одномерным аргументом и выделение реперов

Для задач стратиграфии наиболее информативным является 2хметровый градиент- и потенциал- зонды. С точки зрения критерия Стьюдента, другие зонды (в частности ПС) имеют гораздо худшие статистические показатели.

Репера выделяются: проводится вначале аппроксимация β-сплайнами(это класс сеточных функций) с большим шагом для выделения крупных реперов, при этом вычисляются первые две производные, по смене знака производной выделяются глубины экстремумов. По середине 2х экстремумов проводится граница с повышенными и пониженными сопротивлениями.

Для определения местоположения границы используется график кривой и таблица глубин границ и их тип.

После интерполяции с большим шагом, можно провести в пределах одного крупного репера интерполяцию с более мелким шагом для выделения в его пределах более мелких тел.

f ’ – первая производная

f ’’ – вторая производная

    1. СВОЙСТВА ВЫДЕЛЕННЫХ ТЕЛ

Это читал Новых:

После того, как выделили тела, необходимо оценить их свойства. В рамках одного тела ведется аппроксимация с шагом 4 м, следовательно, размеры минимальных выделенных тел будут равны 4м. Интервал залегания слоя проектируется на отрезок [-1;1].

Сопротивление в интервале аппроксимируется ортогональными полиномами Чебышева: cos(n*arcсos(X))

X принадлежит интервалу [-1;1]

n-степень полинома

Коэффициенты:

f0-среднее значение

f1-первая производная

f2- fn – характеризуют структуру слоя

Совокупность этих коэффициентов представляет собой статистический портрет свиты, сравнивая статистические портреты в разных свитах, можно проводить корреляцию.

Из книги Волкова: Традиционно в качестве характеристики свойств геологических тел используются статистики: среднее значение параметра по интервалу и дисперсия. Дисперсия в критериях сравнения средних выступает в роли нормирующего множителя, превращающего значения параметра в безразмерную величину. В итоге имеем по одному признаку на каждый параметр. Полнота исследований свойств достигается за счет привлечения множества параметров, увеличения размерности признакового пространства.

Данные по скважине 131 Федоровской площади. Средние сопротивления глинистых и песчаных пластов 7.0923 и 8.0790 соответственно, дисперсия 22.2895 (глинистые пласты), число пластов 94. Средняя мощность пластов около 14м.

=2.0263.

По скважине 514 Полуньяхской площади. . Средние сопротивления глинистых и песчаных пластов 9.4236 и 12.4464 соответственно, дисперсия 91.8193 (глинистые пласты), число пластов 94. Средняя мощность пластов около 14м. t= 3.0585.

Различия незначительные. Объединение песчаных и глинистых слоев в свитах делает их различия пренебрежимо малыми. Такой результат не может удовлетворить. Необходимо, чтобы свиты существенно отличались друг от друга. Далеко (по глубине) залегающие пласты различаются значительно за счет уплотнения пород с глубиной, соседние практически неотличимы. По ходу экспериментов выявился своеобразный инвариант (x-Mx)/s.

Если каждую компоненту вектора x умножить на k, то Mkx=kMx. Дисперсия M(kx-kMx)2=k2M(x-Mx)2=k2σ2. Средний квадрат kσ. Отсюда отношение а/σ не зависит от постоянного сомножителя. Иными словами, если вектор наблюдений известен с точностью до постоянного множителя k, то отношение a/σ=const. Величина Mx/(Mx+σ) инвариантна относительно условий замера.

Сплайн находится как математическое ожидание кривой сопротивлений (или любого другого параметра). Чтобы сделать результаты независимыми от условий замера, достаточно найти среднее сопротивление по каждой скважине. Приняв среднее по первой скважине за a0, найдем ki=ai/a1. После соответствующей корректировки исходных данных результаты по скважинам можно сравнивать по абсолютной величине, их различия связаны только с локальной изменчивостью слоев.

В некоторых случаях могут оказаться полезными векторы, составленные из трех норм: . В них содержится больше информации о функции, чем в среднем значении по интервалу. Проведенные оценки по интервалам залегания пластов показывают, что различия могут быть значительными. Но более интересные результаты можно получить, если аппроксимировать функцию в интервале залегания пласта ортогональными полиномами.

Свойства выделенных элементарных тел задает спектр разложения кривой по ортогональным полиномам (многочленам). В главе 1 приведены полиномы, использованные в экспериментах. Графики первых пяти приведены на рисунке 1.

Характеристику крупных стратиграфических подразделений (подмножеств элементарных тел) можно получить статистической обработкой векторов коэффициентов разложения выбранной кривой по ортогональным полиномам. Результаты заметно лучше. Они приводятся в специальном пункте ниже.

Соседние файлы в папке госы